PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN THEO HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
1. Thành lập phương trình trạng thái đầu tiên
Nguyên tắc cơ bản ở đây là đem /đ cđ tụ điện và cuộn cảm ra các cửa mạch N, còn tất cả các điện trở, các nguồn độc lập, các nguồn điều khiển vào bên trong mạch N. Mỗi phần tử L, Œ đem ra ngoài cửa có thể được thay thế bằng cửa áp hoặc cửa dòng. Chỉ có một điều kiện duy nhất là tổ hợp trong biểu thức (7-10):
la | „ Hụ Hạn + |} + 5b (8—98)
Đụ H ba H ph by S b
Sau đó với các biểu thức:
LÒ = Cư,
tị = lau,
ta có thể khử các biến ¿a, „ị. Các thành phần đạo hàm có thể xuất hiện ở cả hai vế của phương trình (8—28). Chuyển các thành phần đạo hàm sang vế trái, các thành phần không đạo hàm sang vế phải, ta nhận được phương trình trạng thái đầu tiên dạng (8—27).
Ví dụ 8—4:
Hãy thành lập phương trình trạng thái đầu tiên của mạch điện hình 8-7
4 ®s
—————
| 4đ.
C, 2F
C "TT
E; Ì
` Hình 8-7.
Bài giải
Đem cỏc phần tử L, C ra ngoài mạch, chỳng ta cú mạch Nẹ 4 cửa. Cú 2 = 16 tổ hợp cửa. VÌ có vòng gồm C¡, C›, E#„ do đó ta không thể thay cả hai tụ điện bằng các cửa áp.
195
Cũng như vậy vÌ có vết cắt L„, Lx, Z7, chúng ta cũng không thể thay cả hai cuộn cảm bằng
các cửa dòng. : :
Hình sở
Chúng ta hãy đặt của I và cửa 4 là các cửa áp, cửa 2 và cửa 3 là các cửa đồng. Ấp dụng phương pháp viết phương trình hỗn hợp trình bày ở mục 4 và chú ý:
ị = Ty Tử, i¿ — 2 + =0, do đó 3y =ia, và í¡ = — Đ Hy Th cố phương trỉnh hỗn hợp sau:
# 0 0 =1 —] Ị 0 0
Hạ = 9 0 0 1 tạ + 0 —I1 dạ (8—29)
M) 1 0 0 0 E2 1 0 SA
Ha —1 —]1 0 1 bạ —1 0
Thay vào (8—29) các giá trị:
lị= 21, lạ = 2H2, Mạ = 2ủa; ¿ = 2í, chúng ta có:
2, 0 0 ~1 —I tị 0 0
Hạ = 0 0 0 1 2| + 0 1l |#„ (8—~30)
ty 1 0 0 Ô 2u 1 01 l2,
2 =1 —I 0 1 bà —] 0
ấp xếp lại phương trình (8-30) chuyển các đạo hàm sang vế trái, và các biến thường sang vế phải, cuối cùng ta có dạng phương trình đầu tiên.
2 2 0 0 tị 0 9 ~-1 0 L tì
0 0 2 2 M2 = |[T—] 0 1 0 M2
0 9 0 0 b 1 —l 0 0 bạ
0 0 0 0 | lạ 0 0 1 —] l
ơ————-„-——- CS ơ——~-————-~ Su
M _X = A' x
0 0
-1 9 5, (8-31)
+ 1. 0 ở,
90 —-l
—
B e
196
Trên quan điểm phân tích mạch bằng máy tính, chúng ta phải tìm phương pháp dễ đàng chương trỉnh hóa để xác định tổ hợp cửa. Trong phương pháp này đầu tiên chúng ta phải chọn cây theo thứ tự của các nhánh cây như sau: Các nguồn độc lập, các nguồn áp điều khiển, tụ điện, điện trở, cuộn cảm, nguồn dòng điều khiển, nguồn dòng độc lập.
Cây được chọn như vậy gọi là cấy chuẩn của mạch điện tuyến tỉnh, tích cực. Cây chuẩn phải chứa tất cả các nguồn áp độc lập và không chứa nguồn dòng độc lập nào. Những tụ điện không thuộc cây chuẩn được coi là tụ điện thừa, và các cuộn cảm thuộc cây chuẩn gọi là các cuộn cảm thừa.
Nguyên tắc đưa L, C ra các cửa như sau:
1. Tụ điện thuộc cây, và cuộn cảm thuộc cây được đưa ra ngoài mạch như các cửa áp.
2. Tụ điện thuộc cây, và cuộn cảm thuộc cây được đưa ra ngoài mạch như các cửa dòng.
Như trong ví dụ 8—4, cây chuẩn có thể chọn gồm các nhánh 1m, C;, #;, Lựụ. Lúc đó C,, và L„ được coi là các cửa áp và C›, L¿ như các cửa dòng (như đã minh họa trong hình
vẽ 8—8). :
3. Dưa phương trình đầu tiên về dạng phương trình chuẩn theo biểu thức (8—27).
Trong phương trình (8—26) ma trận x®) gồm tất cả các điện áp của tụ điện và dòng trên cuộn cảm, nhưng chúng không nhất thiết độc lập tuyến tính với nhau.
(Trong trường hợp mạch RLC không có vòng (E + C) và vết cắt (—L (ở + L) thì các phần tử trong xÍ) thường độc lập với nhau). Vậy nhiệm vụ của chúng ta là phát hiện ra các biến phụ thuộc trong xf”) và loại trừ chúng. Trong trường hợp mạch #LCM các điện áp tụ điện thừa, dòng điện cuộn cảm thừa có thể được loại trừ dễ dàng, và các biến còn lại là các biến độc lập với nhau. Tuy nhiên, đối với mạch tích cực thì không phải là tất cả các biến thừa đều có thể khử được, trong vài trường hợp thậm chí khi tất cả các biến thừa đã được khử thì vẫn còn một số biến trong số biến còn lại phụ thuộc vào nhau do ảnh hướng của nguồn điều khiển. Dể phát hiện ra các mỗi quan hệ ẩn của các biến như vậy, chúng ta phải thực hiện nhiều bước liên tiếp của một quá trình hồi qui. Các bước này sẽ là các thuật toán biến đổi hàng của ma trận để đưa các ma trận hệ số trong phương trỉnh đầu tiên dưới dạng:
[M®), Af®) pg@)J (8—332)
về dạng chuẩn mong muốn:
H, A, BỊ (8—33)
Dạng (8~33) tương đương với đạng nhận được nếu nhõn (8~ 33) với [Mỉ@)]~1, Ví dụ 8—5.
Giả sử có một mạch điện tích cực nhất định gồm 2 tụ điện và một cuộn cảm, Phương trình trạng thái đầu tiên của mạch được viết:
1 738 111e 2 38 21 [we 3
2 7 3l lằsạ¿l= |2 + 5||#z|+ |1| ° (8—34)
1 4 2|l1ủa 5 7 1] lhủa "
Hãy tìm phương trình của mạch có dạng (8-27).
Bồi giải
Dưa cỏc ma trận. [Mỉ), Ađ), B9) về dạng bậc thang bằng thuật toỏn đó núi đến 1987
trong chương 5. Sau khi biến đổi ta có phương trình:
LÔ 3 1Ị [ức 2 3 2| [#e 2
0 1 LlỊ |lúea¿i|i = |! =2 1Ì |[ée | +|c3|9® (8—38)
00 0| lia 4 6 -2| |ủa 2
Từ hàng cuối cùng của M chúng ta có:
từ đứ:
3 1, 1 (836)
coi =S— —tuc›+ —ily— —e C1 9 C2 9 L5 2 ~
Thay (8— 36) và đạo hàm của nó vào (8—35), ta có:
3 31T. 1 ọ ọ 1
— 32 — t3 c u < — 2|.
= + . + e
1L 1 ỉ : 13 —— 2 _ — | | 2 —Í L5 là -— 2 5 0
ơ.. xuan a —~ T—— —
M?% x0 = A@® xí + BU; + Bí2e (8-37)
là kết quả khử bước đầu tiên.
Trở lại bước đầu của qui trình, đưa MẪÙ và dạng bậc thang (chú ý có hàng cuối cùng là hàng 0) chúng ta có;
3 3 . - —
9 ? ) 0 0 l t2
= +
1 3
0 0 !143 ~- —=—— ~—ơ — H13
2 2
1
1 —
;l ® |: (8-38)
e © N
19 1
6 3
Từ (8—38), chúng ta có:
19 2,
ức¿ = —3l4— Tag“ a9 (8—38)
Thay (8—39) và đạo hàm của nó vào (8—38) để khử i(;ạy VÀ He2, ta CÓ:
1 10, 1.
_* — _— ~——£ — —— —_~ — _—
L3” — 13 s .ể .ề (8—40)
(8—40) chính là dạng phương trỉnh mong muốn.
198