MẠCH n CỬA TUYẾN TỈNH THUẦN TRỎ
Đổi với mạch tuyến tính, phương pháp diện áp nút dùng để phần tỉch mạch điện là phương pháp thóng dụng nhất vì sự đơn giản và dễ dàng của nơ. Tuy nhiên phương pháp nãy cố một số nhược điển! sau:
- Phương pháp này chỉ cho phép một loại nguồn diều khiển, đớ là loại nguồn dòng điêu khiển bằng điện áp. Tất cà những loại nguồn điều khiển khác có mặt trong mạch đều phái được đưa về loại nguồn trên.
- Sự có mật của những phần tử nhiều cực không có ma trận dẫn nạp cũng gây khó khăn cho sự phân tích mạch điện bàng phương pháp này.
Để khác phục các khó khán trên người ta sẽ phân tích mạch điện dựa trên các phương pháp hỗn hợp n cức. Sở dĩ có danh từ "hễn hợp "vì cả dòng điện và điện áp sẽ đều xuất hiện như các ẩn số trong các phương trình viết cho các cửa.
7-1. Thành lập phương trình cho r¡ của tuyến tính thuần trở
Giả sử có mạch điện chứa các phần tử tuyến tính và không tuyến tính: điện trở, cuộn cảm, tụ điện cùng với các nguồn áp, hoặc dòng độc lập và bốn loại nguồn phụ thuệc. Lúc Ấy ta dưa các phần tử
hai cực: điện trở phi
tuyến, cuộn cảm, tụ
điện ra ngoài mạch Mạch A/ cú ứ của bao gồm ~ Í
Ị
điện (hình 7-1), sao - Điện trỏ tuyến tính |
- Các nguồn độc lập 1
- Các nguồn phụ thuộc | |
llình 7-1.
cho trong mạch điện chỉ còn lại các điện
trỞ tuyến tính, các
nguôn độc lập, và các
loại nguồn phụ thuộc.
Sau đó mỗi phần tử hai cực sẽ
được thay thế bằng nguồn độc lập (hình 7-2), Cửa chứa nguồn áp độc lập được gọi là cửa áp, cửa chứa nguồn dòng độc lập gọi là cửa dòng. Nguyên tác thay thế các phần tử hai cực bằng các nguồn độc lập như sau:
1. Thay thế điện trở phí tuyến được điều khiển bằng áp bởi nguồn áp độc lập 2. Thay thế điện trở phi tuyến được điều khiển bàng dòng bởi nguồn dòng độc lập.
ở. Thay thế các cuộn cảm bởi các nguồn dòng độc lập.
Trong hình 7 - 3 các nguồn áp được ký hiệu từ 1 đến mì, các cửa dòng được ký hiệu từ m, + 1 đến mị + m, Giết rằng m = mị + mm).
170
v2 Ê2y,+z
= - ".
#4€) _ C| „+:
[ Mạch 4ƒ có ¡¿ của bao 3 ? của ao gỗm gề —-— ...
^^; - Điện trổ tuyến tỉnh tạ
tạ, — ; - Các nguồn dộc lập ‹ ` - ^ Ni T85
pm, I0 - Các nguồn điều khiển 1e
Ÿ m,+#?,
ơ—x—— *~— ——
2a 4p đa 4070
HHnh 2s Các ma trận áp và dòng ở các cửa dược viết:
l † [Lấml+Ăù š ^ tị | ` m1
Cạ =| €2 €hụ “Í m2 + 2 ! = ta iụ — “m2
ẨmỊ Ẩ ni + m2 tị] 'm] + m2
Còn u là ma trận biểu thị các nguồn độc lập ở trong mạch Ä⁄.
Bởi vì mạch AZ chỉ chứa các điện trở tuyến tính, các nguồn độc lập, và các nguồn phụ thuộc, do đó quan hệ giữa các áp và dòng ở các cửa có thể được biểu diễn như sau:
^^
è, " ơầ , Ca +Nu T (7-2) ~
9L N
N,u = Sự, (4-2) có thể viết:
"1M" [>
dc ôt - ‹ +
Ha H bị tụ
HH, Hy Ị ©, + [ 5,
HN Hì,, Đý | S3h (7-38)
Các phần tử trong H và N là các hằng số thực. Phương pháp đơn giản nhất để xác định # và Š là phải tính từng phần tử h„ của H và từng phần tử Š ¡ của 5S.
Ví dụ để tỉm Š „ ta cân giải ra ¡, với điều kiện các cửa áp được ngắn mạch và các cửa đồng được hở mạch, có nghĩa là:
Đặt N, u =5,
a a?
3,„=i (T-4a)
a a
với e„ = 0ù, =0
Tương tự như vậy:
^ Œ7-4b)
với â, = 0,i, = ệ
9p =h
(Ma trận S được gọi là ma trận nguồn).
Còn mỗi phần tử của ii được tính với giả thiết (ho tất cả các nguồn độc lập bên trong
mạch M bằng 0, có nghĩa là S = 0, lúc đó:
đáp ứng ở cửa j (7-E)
hịy.= B
I tác động ở cửa k với các điều kiện sau:
L1
1. Ngoài cửa thứ k, tất cả các cửa áp được ngắn mạch các cửa dòng được hở tmmạch.
2. Tác động đặt ở cửa £¿ cũng là độc lập, và:
- Lâ nguồn áp nếu cửa & là cửa áp - Là nguồn dòng nếu cửa * là cửa đòng, ở. Đáp ứng ở cửa /được coi là:
- Dòng ở cửa 7 nếu cửa jlà sửa áp.
- Ấp ở cửa 7 nếu của ÿ là cửa dòng.
7-2. Mạch n cửa tuyến tính thuần trở không có các nguồn điều khiến
Chúng ta hãy xét mạch chỉ gồm các điện trở và các nguồn độc lập. Lúc đó các nguồn độc lập ¿ được đưa ra các cửa, vậy bên trong mạch M sẽ không còn các nguồn độc lập, do đó S = 0 trong trường hợp này.
Chúng ta có thể đặt các câu hỏi: liệu ma trận H có tồn tại không? và nếu tồn tại thì tính H như thế nào?
Ỏ đây chỉ đựa ra một số định lý, mà không chứng mỉnh.
Định lý 1
Cỏc điều kiện cần và đủ để thạch Mƒ cú ứz: cửa chỉ chứa cỏc điện trở cú được mỡa trận
HÍ như phương trình (7-9) là:
1. Các nhánh đại điện cbo các cửa áp không làm thành vòng kín, 2. Các nhánh đại điện các cửa vòng không nằm trong vết cất,
ứ,- TS ểÊ _ —ơ— Ấ
“FC °lá
%.| “ |®
4) _ &)
linh 7.3
Trong hỡnh 7 - 3ứ hai nguồn €Ă và e; làm thành hai vũng kớn. Trong hỡnh 7 - 3ð hai nguôn đòng ¡¡ và ¿› tạo thành vết cát.
Chúng ta cần chọn cây 7 sao cho các nhánh thuộc các cửa áp là các nhánh cây, các
„ ẹ S ĂMạch Aƒ cú m của Chỉ: chúa các các diện trỏ ẽ tuyến tớnh
+; *ử
`———x‹_——- ‹ cv
ty Hình 7-4 ồu c3ÿ
172
nhánh thuộc các cửa dòng là các bù cây hình 7 - 4. Một cây như vậy thường bao giờ cũng chọn được nếu các điều kiện trong định lý được thỏa mãn. Hãy cho tất cả các điện trở tuyếu tính bên trong mạch Ä thuộc cây vào ma trận điện trở đường chéo Z4, và tất cả các điện trở không thuộc cây vào ma trận điện dẫn đường chéo Y,,.
Hệ phương trình vết cắt cơ bản của mạch được viết:
h2 R G ởJ Ì;
ị L 0 Qìịo tị Hụ
Gi = [1, QuÌi = ÌQ =0
0 lrựy to Sạc ì,
(7-6) (Ma trận Q cớ các cột tương ứng với các nhánh trong mạch, các hàng tương ứng với các nhánh cây).
Hệ phương trình vòng cơ bản của mạch được viết:
L_# T7
to T Vy: lọ Q U,;
B tình _ [B, 1] tình = U, =0
- T T
Qự T Sự; O lị ức,
ŨU, (7-7)
(Ma trận l8 cớ các cột tương úng với các nhánh và các hàng tương ứng với các vòng).
Các điện trở trong mạch Ä⁄ được đặc trưng bởi các phương trÌnh:
` Uy = z lR hoặc Hụ = Tụ tụ {trong đó XYụ = Zq)
và: ơ. —
Các hệ phương trình (7-6), (7-7),(7-8) tạo thành toàn bộ hệ phương trình mạch theo quan điểm phân tích này.
Dể xác định được H trong (7-2), chung ta cần giải ì¡. và ú, theo tr, và MỊ, Để thực hiện được điều đơ, trước tiên chúng ta cần tìm uạ,, theo u;. và
Theo (7-6), và (7-7) chúng ta có:
y + Qpoic + Qui, =0 (7-9)
ly + Quo lo + Quy =9 (7-10)
7 Qục Vị - Qhuc uy + uQ, = ệ (7-11)
-Qiy tụ - Quruy +, =0 (7-12)
Thay (4-8)vào (4-10) để khử i,, và ic, chúng ta có
Yạ uy + Quoc YQ dG + Qui Ì¡ = ọ (7-13) 173
Giải VẶệ trong (7-11), và thay VỤ, vào (7-13), chúng ta cố:
Vụ =[Vu + Qua Yo Giol !Qpg YÝc So uy - Qụ, 1] (7-14)
Cũng tương tư nhự vậy chúng ta thay thế (7-8) vào (7-11) để khử uị,, để khử u,,, và 1,; và nhận được:
7 Qiu; _ Qạu; 2q Ủy + 25L; = 0 (7-18) Từ (7-10) rỳt ù\„ và thay vào (7-15), chỳng ta cú:
: n 7 - 7 7 7 7? :
Ìc = 1Z2 + Qua Zq Qua "11G; tị, - Qàc tị ê Qáo tị: Ÿ o2 Quy] (7-16)
Cuối cùng thay (7-16) vào (7-9), và (7-14) vào (7-12) giải ra Lị; VÀ 0Ị,
, = Qua Z” 62 bàn + Í Qụo 2` no “qạ¡- Quulỉ (7-17) u, =[Qj/Y ` - QUY” QuoÝQ họ uụ - Qả/Ý! Quy, (7-18)
trong đỏ:
Z= #g + Qàa 2q Qnc (7-19a)
Y =Yạ + Qua Y Q Qàc; (7-19b)
Sáp xếp các phương trình (7-17), (7-18) chúng ta có dạng ma trận sau:
lị; _ -(9i Z1 Qua) Qio2Z” QẠo 2a Quy - Qịị tị:
H Qiy- QˆY 'QuoYocQẮQ - (Q0/Y 1Q) Đị
Hị, H,.] ƒuụy,;
_ Hi, Hà, ly (7.20)
Phương trỡnh (7 - 20) cho biết dạng ma trận Iẽ mong muốn với giả thiết tồn tại cỏc ma trận ZÌ và Y'Ì pể chứng minh rằng Y'Ì tồn tại, chúng ta viết lại biểu thức (7- 196}.
ơ = Yit Qgọœ Quú Y¿ Qứo = [1s Quol F Y 0ƒ [1ẽ 7 (7-21 7.91)
0 Yj Qặu;
Vẽ mạch ă chứa cỏc điện trở tuyến tớnh feỏc điện trở khụng õm) do đố Ÿ), và Y,, sẽ là các ma trận đường chéo cố A Ÿ z 0, và như vậy tôn tại YÌ,
Sự tồn tại của ⁄ Ì cũng được chứng minh tương tự. Sự xác định ma trận H trong t7 - 20) sẽ được đơn giản hơn nếu chúng ta áp dụng các nhân xét sau đây trong tính toán:
¡. HỊ) = -HỨ, (Vi mạch điện tương hỗ) (7 - 22)
2. Theo định nghĩa Y, Z trong (7 - 19), các ma trận ngược YÌ 2Ì có quan hệ với nhau như sau;
+1 -Í 7
V =2 24 Quo 2 Qu; 2| (ù- 23a)
và
#` =YQ- Yo Qic YQ RG ÝG (7-90)
Như vậy theo hình (7 - 23) để tính ma trận nghịch đảo Z'Ì và YÌ tạ chỉ cần lấy nghịch đảo của một trong hai ma trận, ma trận nghịch đảo kia sẽ được tính với kết quả vừa nhận được.
174
Ví dụ 7 - 1
Hãy xét mạch điện vẽ ở hình (7 - 5). Bốn cửa sẽ được thành lập bởi 4 nguồn đômlập.
Hãy xác định ma trận H của mạch 4 cửa trên,
⁄ R G 4
L8 8 4 58 8 7 8.9 19
-] -1 -1 1L -1L -l 1 0 0 0
B= Il. -1 + 1 0 0 0 1Ô 0 0
0 0 1 1 0 0 01 09
0 L1 171 0 0 0 1
(7-24)
Hình 7š.
L0 0 0 0 90. : 1 1
0 1 0 0 0 0, 1 1
Q= 0 0 1 0 0 60; 1 1 ‹Í (1-95)
0.0 0 1 0 0.21 1 -L -ẽ
0 0 0 0 1 0 có] 0 -L ảỊ
0 0 0 0 80 1; 1 0 0 +
8o sánh (4 - 95) với (4 - 6) ìa có:
— ơ Gt
Qị.; = l
Q¡¡=H 0 0]
Q¿œ¿ =Í1L 1 1 1 1ƒ (1ù - 26)
1 1 1 0 0
Qịc) = 0 0 1 ôỉ
0 -l -1 -1 1
Các điện trở được đặc trưng bởi;
TQ = Y¿ = 0,5 (7 - 2?
Z§ =1; Yụ = lẹ
Vì hạng của Z là 1, của Y là 5 nên chúng ta nên tính Z'},
Z1~[2+5†1<—
7 1 1
-] ]
Ÿ =1= 1Ì: z1 l 1L 1 1=
7 1 1
[61 1 1 1Ị
7 N W 1 `1
1 6 1 1 1
`7 7 `7 `7
Ị 1 6 1 1
_ n 7 `" Tn
(7. 38)
1 1 1 6 1
4] W 7 —
+ 1 1 1 6
T1 — ` Tộ
Thay (7 - 26), (7 - 27), (7 - 28) vào (7 - 20) ta cớ:
14 2 4ơ
h T17 17 1? LÍ“
„|. 14 12 1 2
®| ” |7 T1 1 7 Hạ
w ằ 2 T17 1 10 TT 6 || .
tứ 10 â 1 3 6 12. |,
7 `” _m. tịp (7-29)
176
7-3. Mạch n của tuyến tính, thuần trở có nguồn điều khiến
Ỏ đây chúng tôi sẽ trình bầy phương pháp lập phương trình hỗn hợp dạng (7-2) của mạch điện bằng cách đưa các nguồn điều khiển ra các cửa của mạch. Nếu cố mạch điện chứa nguồn dũng phụ thuộc như hỡnh 7-6ứz ta cú thể đưa nguồn đồng ra cửa như nguồn, dòng độc lập, lúc ấy ta có:
Na. tí 2 (7-30)
Trong (7-30) nếu thay thế ¿¿ = i„„ chúng ta có hệ phương trình đặc trưng của mạch.
Nhưng ¿¡„ không được phép xuất hiện trong ma trận cột vế phải, vỉ vậy chúng ta sẽ đặc trưng dòng ¡: bằng "phân tử ngắn mạch" được biểu diễn như nguồn áp độc lập có điện áp bằng 0, và đồng chảy qua là đồng điều khiển, phân tử này cũng lại được đưa ra cửa (hỉnh 76c).
TT *1 [ [ tị
BÌ
ơ
—-++—-—Ì
` 4
Ủ đai
ơ
T1 l | Ỉ Đ
Hình 76,
Mạch 3 cửa ở hình 7—c áp dụng phương trình (7—20) ta có:
1 1 ơ
i — — 1 —— ||
l R. t
t2 = 1 ~ ly 0 t2 (7-81)
1 1
ị — 0 —= ||
3 5 đụ
và ra = 0
(7—32)
= (7-33)
17i
Từ (7—31), (7—32), (733) ta tìm được:
ị , (ỉ + 1)
iị= ——(ỉ ] R + 1)uw è
Qua ví dụ trên ta thấy rằng tư tưởng chính của phương pháp này là đưa các phần tử không phải là điện trở ra các cửa của mạch, chỉ giữ lại trong nàạch các điện trở. Các nguồn điều khiển có thể là được điều khiển bằng dòng, lúc này dòng điều khiển sẽ được biểu thị bằng nguồn ỏp cú điện ỏp bằng ỉ (gọi là phần tử ngắn mạch) và đưa ra ngoài mạch như một cửa của mạch, có thể là được điều khiển bàng điện áp, lúc đố áp điều khiển được biểu thị bằng nguồn dòng cố dòng điện bằng Ó (gọi là phân tử hở mạch) và đưa ra ngoài mạch như một cửa của mạch.
Tư tưởng này được thực hiện với những điều kiện sau:
1, Các nguồn áp điều khiển (hoặc nguồn áp độc lập) không tạo thành vòng kín.
2. Các nguồn dòng điều khiển (hoặc nguồn dồng độc lập) không tạo thành vết cất.
Nguyên tắc đưa các phần tử nguôn ra ngoài mạch như sau:
1. Đem tất cả các ngưồn áp độc lập và phụ thuộc ra ngoài mạch, và coi đở là các cửa áp.
2. Đem tất cả các nguồn dòng độc lập và phụ thuộc ra ngoài mạch và coi đó là các cửa dòng.
3. Đem các phần tử ngắn mạch (hoặc hở mạch) mà dòng (hoặc áp) của chúng là các đại lượng điêu khiển cho các nguồn phụ thuộc và coi chúng như cửa áp thoác đòng!.
Mạch Äí được vẽ trong hình 7~ 7 là kết quả của sự thực hiện một số phân tử ra ngoài mạch theo nguyên tác trên các ký biệu trên hình vẽ.
đá: Nguồn đồng được điều khiển bằng áp đđ: - Nguồn đồng được điều khiển bằng dòng đđ: — Nguồn áp được điều khiển bằng dòng đá: Nguồn đồng được điều khiển bằng áp nợn:: Phần tử ngắn mạch.
hm:- Phần từ hở mạch
ể: Các nguồn áp độc lập trước khi đem ra ngoài mạch j: Các nguồn dòng độc lập trước khi đem ra ngoài mạch Các ma trận áp và dòng ở các cửa được viết:
^ “ ^ “^
Hạ lạ dị Ỉ L5
ư _ lệ 1 ẽ + Đị ỉ
Mỹ = | tại l= | lạ H,=— | Đụu U= | lu
Hựa Tuy H4 lun (7-85)
Đam Íngm Địim lìm
Theo (?—20) ta có thể viết phương trình:
tự = Hi, - H,/| | tụ (786)
tụ Hịi, Hạ, ||
178
Để có được dạng phương trình hốn hợp (7—2) ta cần khử tất cả các ma trận áp và đồng, trừ các ma trận ¿,, 2, a? bạ, đụ, ứ, VÀ ÚỊ, Để đơn giản cho việc tính toán, ta hãy phân hạch ma trận theo các ma trân sau:
TỰ bày đã
LÃ í Ẻ
= d ,
Wị= ơ W,= _ W= ỏn
b đàng #hm
- Ha |
- :.
W.= La
_ ơ Ha
X, = €ạ X, = “dd X; = “nạm
L tụ ụ t{ tầm
Íqú
X;= Hu |. (7—37b)
li
Với các ma trận (7-37), (7—36) được viết dưới dạng
mm"
W, H; Hì; 1 H, XI
W› = H, H;; H„ H,, X; (7-38)
Wy Hài Hạ; . H;; H„ XS;
W, Hạ) Hy; Hà Hạ, X,
_dửa sỹ
Hình 7-4.
179
Đối với mạch hình 7—7, ta có thêm hai điều kiện:
1. Đối với các phần tử ngắn mạch và hở mạch 2. Đối với các nguồn phụ thuộc;
[ dự; F0 Hà,
ÄX;¿= lụa = 9 ẹ¿ Tyym =KW; (7~49)
Hạu lụa 0 MHậm
Ủạu đu 0
Trong đó K chứa các hệ số điều khiển của bốn loại nguồn phụ thuộc.
Thay (7—39) vào (7—88), viết các phương trình theo W\, Wạ, ta cố:
W¡ = H,Xi - H,;X; + HỊUX, (T-41a)
W; = H;,X) + HyX, + H,.X, (T—41b)
Thay (7—416) vào (7—40) và giải ra X:
X; =f1~ KH;]”'[KH,,X, + KH..Xj] (7-49)
Cuối cùng thay (7—42) vào (7—41a), chúng ta có:
W\ r ị = fH,i + H);(1— KH¿;)”!KH,]X, + h
+[H,; + Hị;(1 — KH,,) ÌKH, ]X, (T~43)
So sánh (?—43) với (7—-2) ta nhận được các biểu thức của H và S.
H=H+H¡;(1~ KH,” KH,, (?~44a)
ð =[H,„¿ l4 + H,2(1— KH.,)”ÌKH.„] 12 32 341 tị: . ,
(?—44b)
}j Ví dụ 7-9
Hãy tìm ma trận H của mạch điện ở hình 7?—8 a (cho # = 9).
Dem các nguồn điều khiển và các phần tử ngắn mạch (nhánh 7 vã 8) ra ngoài mạch, chúng ta cố mạch 6 cửa (hỉnh 7—8b).
180
Chọn cây có các nhánh 1, 4, ð, 6, 7, 8, theo phương trình (7—6@)
E R G 7 ẽị
10 0 0 0 0 1 0 Hy
01 0 0 0 0 1 ~1 kg
Qi=|0 0 1 0 09 0 -1 -1 „ | =0
0 0 0 1 0 0 0 lạ
0 0 0 0 1 0 0 1 ù
ơ—_—___—___—______
00.0 0 0 1 0 l b tạ
linh 7-8.
"Từ Q của (7—48) ta rút ra được các ma trận Q, Gì Quoc Q(¡. Thay thế các ma trận này vào (7—20), nhận được phương trình.
s1 “1 1 1 1 1_._r ơ
h 3 3 8 809.1 tị
11 1 Tạng
5 T8. 38 38 3 hs
. ] 1 1 1
b| “| 3 7575878 9° %
. 1 l 1 ]
T =3 T138. 78. 8. 9;
ly 000 0 0 Uy
uy 6 21 01 =6} |b (7~46)
e_=êi ¡.= Lí]
Hạa = [#s Hạ) lạa =l¿ Íạ] (-4?)
nam [¿y z4] Ínym = l2 iạ]
“.. eạ = [¿]
181
, Ì ọ 1 1 — Ũ
1 =8 " 3g. 3 #ị
Hạ 0 ~6 -1 _1 — Ú 1 bà
1 ¡ 1 1 1 ọ
_ = 8. 38 8 98 5
1 1 1 11 0
h6 3 3 38 3 4ó
+ 0 1 = 1 0
⁄ 3 3 3g... 38 “7
b 0 —1 0 0 0 0 uy | (7-48)
Xác định ma trận K
%sÍ -„ = |” "II? = Rị” (7~49) j— `
la 0 2 bọ Đg
Ì
Từ đó H được tính:
1 | 1 1] T
~5 0 —5 3 1 0
H= +
0 =6 —l 1 0 1 (7—50)
2 0 ạ 3 } 3Ì 2 0 củ 3 0 _ ỉ 2
0 2 Ọ 0 0 2 0 —] 2 0
VÌ mạch điện trên không có các nguồn độc lập bên trong do đó Š = 0. Phương trình hôn hợp được viết:
li _ —] 2 Cị `
„íị |2 0 i, 6U
Clurương 8