Bài thi Giữa kỳ Lý thuyết Nhóm
Mã học phần: PHY10503
Họ và tên: Phạm Thế Hiếu MSSV: 19130159 Ngày 15 tháng 11 năm 2021
Cho ma trận
R =
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
1
Chứng minh bằng quy nạp
R2j = (−1)j
1 0 0
0 0 0
0 0 1
(j = 1, 2, ) (2)
Với j = 1 ta có:
R2= RR =
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
=
−1 0 0
0 0 0
0 0 −1
R2= (−1)1
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Như vậy ta thấy, với j = 1, thỏa mãn (2)
Giả sử (2) là đúng với j thì nó cũng đúng với j + 1, ta xét:
R2(j+1)= R2j+2= R2jR2=
= (−1)j
1 0 0
0 0 0
0 0 1
(−1)1
1 0 0
0 0 0
0 0 1
= (−1)j+1
1 0 0
0 0 0
0 0 1
(4)
Trang 2Suy ra R2j+1= (−1)jR (j = 1, 2, )
Ta có:
R2j+1= R2jR = (−1)j
1 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
= (−1)j
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
3
Tính ma trận: exp(θR) (θ là tham số thực)
Khai triển Taylor hàm Exponential, ta được:
exp(θR) =
∞
X
j=0
(θR)j j! =
∞
X
j=0
(θR)2j (2j)! +
∞
X
j=0
(θR)2j+1 (2j + 1)! (6) Xét tổng thứ nhất:
(θR)2j = θ2j(−1)j
1 0 0
0 0 0
0 0 1
∞
X
j=0
(θR)2j
(2j)! =
∞
X
j=0
(−1)j
(2j)!θ
2j
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Mà cos x =
∞
X
j=0
(−1)j
(2j)! x
2j
→
∞
X
j=0
(θR)2j
(2j)! = cos θ
1 0 0
0 0 0
0 0 1
=
cos θ 0 0
0 0 cos θ
Xét tổng thứ hai:
(θR)2j+1= θ2j+1(−1)jR (10)
∞
X
j=0
(θR)2j+1 (2j + 1)! =
∞
X
j=0
(−1)j (2j + 1)!θ
2j+1R (11)
Mà sin x =
∞
X
j=1
(−1)j
(2j + 1)!x
2j+1
∞
X
j=0
(θR)2j+1
(2j + 1)! = sin θR =
0 0 − sin θ
sin θ 0 0
Trang 3exp(θR) =X
j=0
(θR)2j
(2j)! +
X
j=0
(θR)2j+1
(2j + 1)!
=
cos θ 0 0
0 0 cos θ
+
0 0 − sin θ
sin θ 0 0
=
cos θ 0 − sin θ
sin θ 0 cos θ
(13)