BỘ tài LIỆU ôn tập TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH II

Trong tinh hình đó, nhôm “BK – Đại cương môn phai” đã biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM MÔN GIẢI TÍCH II” để giúp các bạn thuận tiện hơn trong việc ôn tập.. Nhóm tác giả: Team Gi

BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI

BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM

GIẢI TÍCH II

Biên soạn bởi: Team GT2 – BKĐCMP

Hà Nội, tháng 9 năm 2021

MỤC LỤC

Đề bài… ……… ……1 Lời giải tham khảo……….………18 Tài liệu tham khảo……….95

LỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh

vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ôn tập Trong tinh hình đó, nhôm “BK – Đại cương môn phai” đã biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM MÔN GIẢI TÍCH II” để giúp các bạn thuận tiện hơn trong việc ôn tập

Nhóm tác giả: Team Giải Tích II BK- Đại cương môn phái

(Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu)

Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Thanh Tùng

Do quá trình soạn bộ tài liệu gấp rút cùng với những hạn chế nhất định về kiến thức, dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những saisót về tính toán, lỗi đánh máy, mọi ý kiến góp ý của bạn đọc xin gửi qua đường link fb “fb.com/tungg810” hoặc email tungcrossroad@gmail.com

Tài liệu chỉ mang tính chất tham khảo, không có tác dụng thay thế các giáotrình, sách giáo khoa chính thống Xin chân thành cảm ơn!

I Bài tập trắc nghiệm Tích phân Euler

Câu 1: Kết quả của tích phân

D. 6

D.

D.

AI. Bài tập trắc nghiệm Tích phân đường

1. Tích phân đường loại I:

( x + y )ds với là đoạn thẳng nối điểm (0; 0) và (4; 3)

C

3

C.4 D.6

với là đường gấp khúc đi qua các điểm

C với là chu tuyến của tam giác

≤ 9, theo chiều dương, bạn lập luận “Ta đặt P =

làm vậy có đúng không? Nếu sai, thì sửa lại đáp án chính xác

= m − x điểm A(1, 0), B( −1, 0)

A. 7 4 − arctan 2

B.

3 Ứng dụng của tích phân đường

C

D

7

4 + 2 arctan 2

7

Câu 41: Tính diện tích của miền D giới hạn bởi : {

7

III Bài tập trắc nghiệm Tích phân mặt

(1 + 2)

(1 + 3)4

biết là phần mặt paraboloid = 2 +2 thỏa

9

B

31210

2 Tích phân mặt loại II:

Câu 58: Cho =

1 9

với mặt

là biên của

(

−2+

5)3

11

Câu 65: Biết xdydz + zdxdy =

S

a

trình = −√ 2 + 2 , −1 ≤ ≤ 0 khi nhìn từ chiều dương trục

Tính 2 +

C.0 D.5 Câu 66: Tính

chiều dương giới hạn mặt cầu = √1 − 2 − 2

A 6

B−

−8

là mặt

A 2 Câu 69: Tính

B 3

(2 x + xy ) dydz + ( y + 2 xz ) dzdx

với là mặt nằm

trong của nửa cầu = −√16 − ( 2 + 2 + 2 )

là mặt ngoài của tứ diệnvới

(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

12

3 Ứng dụng của tích phân mặt:

Câu 73: Tính diện tích mặt :

= 2 + √ 2 + 2 ,

≤ 3

A

C â u

kiện

7 (đvdt)

B 3

(đvdt)

74: Tính diện tíchmặt cong với

1≤ ≤2, ≥0

C.

2 (đvdt)

là phầnmặt nón= √ 2

D.

với

(đvdt)

điều

A

(đvdt)

B.

33

(đvdt)

Câu 75: Tính diện tích mặt

paraboloid

= 4 − 2 − 2 nằm phía trên mặt

là

IV.Bài tập trắc nghiệm Lý thuyết trường

1. Trường vô hướng:

Câu 78: Tính đạo hàm theo hướng⃗ = (1,2, −2)

Câu 81: Tính góc giữa hai vecto

Câu 83: Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm = sin − cos tại gốc tọa độ là lớn nhất

Câu 89: Biết = (3

thế, tìm hàm thế vị

Câu 92: Tính thông lượng của =

A. −17

Câu 93: Tính thông lượng của = (

A 25

Câu 94: Tính thông lượng của trường vecto = 2

ngoài của miền giới hạn bởi = 0, = √1 − 2 , = 0, = 2

3

ngoài của miền : | − | ≤ 1, | − | ≤ 1, | + | ≤ 1

Câu 98: Tính lưu số của = (

theo đường cong là

= 0 hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ chiều dương trục

− 1) 2 với hướng cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc O.

A 3 Câu 100: Tính thông lượng của

A 3

17

V Lời giải tham khảo

5 − 4

⇒ ∫ 0

Câu 2: Kết quả của tích phân

2sin 6

Câu 5: Tính tích phân

19

Câu 8:

Tính tích phân 1 x 5(ln x)10 dx

Câu 9: Biểu diễn tích phân

Câu 12: Tính ( x + y )ds với là nửa đường tròn {

Giải:

y )ds

= −18 với : = √9 − 2

Nửa đường tròn : { 2 +

2 = 9 Tham số hóa ≥ 0

: + =2 ⇔( −1) + =1

∫( − ) = ∫ (1 + cos − sin ) = 2

Câu 15: Tính

Đáp án: D. √2

Giải:

y ) ds

với cung : 2= cos 2 ,

để

Giải:

√9 sin2 cos4 + 9 cos2 sin4

= 3 sin

Tại (1,0): {

24

⇒ ∫( 2 + 1)

= 3

∫(sin 6 + 1) sin cos

= 3

∫(sin 7 + sin ) (sin )

C â u 1 7 :

Tính

là đường cong kín, hướng âm, giới hạn miền . Áp dụng công thức Green:

Ta có: đường ∪ là đường cong kín giới hạn miền ( ):

( , ) = ∫ ( , 0) + ∫ ( , )

36

⇒ Tích phân không phụ thuộc đường đi

Cách 1: Chọn đường đi là đường gấp khúc Chọn đường đi là đường gấp khúc

37

Tích phân trên phải dùng tích phân từng phần hai lần, tương đối

dài Cách 2: Chọn đường đi là một đường cong

Nhận xét: Tích phân( là hằng số) phức tạp là do biểu thức 2 + vì để làm đơn giản tích phân cần khử biểu thức này ⇒ Biến 2 + = ⇒2 + =

Do tích phân không phụ thuộc đường đi nên sẽ chọn đường đi mới thỏa mãn

2 + =

Để tìm , ta dựa vào điểm đầu (1,0) và điểm cuối (0,1)

Đường cong mới ′ : 2 + = đi qua , ⇒ { 12 + 0 = ⇒ = 1 0 2 +1=

Chọn đường đi ′ : = 1 − 2 đi từ (1,0) đến (0,1) ⇒ = −2

Chọn đường đi mới dạng ′

Đặt = [ 2 + + sin( )], = 2 + + sin( )

Để biểu thức [2 + + sin( )] + [2 + + sin( )] là vi phần toàn phần của một hàm số ( , ) nào đó ⇔′ =′

Q x

⇒ Không sử dụng được công thức Green

AB : y

Cách 2: Chọn đường đi là đường thẳng

Câu 39: Tính (2 xy

L

− 5) dx + (2 x + 3 y )dy với là biên của miền xác định bởi

các đường = 2 , = 0, = 1, chiều dương

0

≤

≤ 1

: { 0

Câu 42: Tính công của lực⃗ = ( + 2 ) ⃗+ (3 + 4 ) ⃗ làm dịch chuyển một

chất điểm từ (1,3) đến (2,4) dọc theo đoạn thẳng (đvc: đơn vị công)

Chọn đường đi là đường gấp khúc với (0,1) và (1,0), (0,0)

47

Miền đối xứng qua , ( , , ) = 4 lẻ với biến ( ,

Hình chiếu của mặt lênlà : 1 ≤ 2

)

57

Hình chiếu của mặt lênlà

Hình chiếu của mặt lên là : 2 + 2 ≤ 1, ≥ 0, ≥ 0

Câu 61: Biết

=

2 xydydz + ( x + y 2 ) dzdx + (4 x + y 2 )dxdy = S

a

bvới mặt là biên của

61

Bổ sung thêm mặt ′ : { 2 + 2 ≤ 1 hướng xuống dưới

ngoài

62

= cos

Đặt { = sin

=

0 Mặt ′ : { = 1 ⇒= 0 , ( ⃗⃗, ) < /2

Giải:

65

= 2

Bổ sung thêm mặt ′: {

2 + 2 ≤ 4 , hướng lên xuống dưới

trình = −√ 2 + 2 , −1 ≤ ≤ 0 khi nhìn từ chiều dương trục Tính 2 +

Áp dụng công thức Stoke:

Hình chiếu của mặt lên là : 2 + 2 ≤ 1

Đặt ( , , ) = − 2 − 2

Do ( ⃗⃗, ) < /2 nên ⃗⃗ = (

⇒ cos =

Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II

= ∬( cos + cos + cos ) = ⋯ = ∬ 1.

69

= sin

Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II

70

pháp tuyến trong giới hạn miền

Đặt

71

−√(16 − 2 )/2 ≤ ≤ 0

0≤ ≤4 0≤ ≤2

tuyến hướng ra ngoài.

Mặt kín giới hạn miển : 0 ≤ ≤ √1 − 2, 0 ≤ ≤ 2, hướng pháp tuyến ngoàiĐặt = 2 2 , = 2 , = − 2 ⇒ ′ = 4 , ′ = 2 , ′ = −2 liên tục.

Bổ sung thêm mặt′: + = 2 hướng theo chiều âm trục nằm trong mặt parabol =2 +2

Ta có mặt ∪ ′ là mặt kín, hướng pháp tuyến trong, giới hạn miền

Mặt ′ : + = 2 hướng theo chiều âm trục có hình chiếu lên là

: ( + 1/2) 2 + 2 = 9/4, vecto pháp tuyến ⃗⃗ = (−1,0, −1), | ⃗⃗| = 1/√2 Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại

II

=

1

∬[−1.( + )+0.( + )−1.( + )] = 2

Hình chiếu của lênlà : 1 ≤ 2 + 2 ≤ 4

Đáp số: A.

Giải:

(5 5 −1) 6

đạo hàm của theo hướng ⃗ tại (1,1, −2) là:

Để nhiệt độ tăng nhanh nhất ⇔

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⇔⇈()⇔=()

= ( (1 + 2 + 2 2 + 3 2 ) 2

⇒()=(

Vậy theo nhiệt độ tăng nhanh nhất theo hướng ⃗ = (

Câu 81: Tính góc giữa hai vecto

Để tốc độ biến thiên của tại (0,0,0) là lớn nhất thì cần theo hướng

80

Câu 92: Tính thông lượng của =

= 2 + 2 , ≤ 4, hướng ra ngoài (Chọn kết quả gần đúng nhất)

85

Bổ sung thêm mặt ′ : { 2 + 2 ≤ 4 hướng lên trên

(∬ sin = 0 do tính chất đối xứng của miền , hàm ( , ) = sin lẻ với )

Câu 93: Tính thông lượng của = (

trên mặt nón = 1 + √ 2 + 2 cắt bởi hai mặt phẳng = 2, = 5

Mặt ∪ ′ ∪ ′′ là mặt cong kín, hướng pháp tuyến trong, giới hạn miền

Câu 94: Tính thông lượng của trường vecto = 2

ngoài của miền giới hạn bởi = 0, = √1 − 2 , = 0, = 2

Giải:

4 +

Câu 95: Tính thông lượng của trường vecto =

(Đề bài không nói gì về chiều thì hiều là đường cong cho chiều dương).

Áp dụng công thức Stoke:

= ∬ 5 − − 3

Vecto pháp tuyến của là ⃗⃗ =

⇒ = ∬(5.

( là hình tròn qua tâm cầu)

Câu 99: Tính lưu số của

cong trong đó là giao của mặt cầu 2 + 2 + 2 = 4 và mặt nón có phương trình = −√ 2 + ( − 1) 2 với hướng cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc O.

Giải:

Lưu số cần tính:

Đường cong kín chiều âm là biên của phần mặt cong của cầu nằm trong nón

Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại II và tích phân mặt loại I:

2

Câu 100: Tính thông lượng của = (6 − 2

Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II

⇒ Φ = ∬ 2 (6 − 2 3 ) + 2 3 (2 − 3 ) + 3 (2 3 − 4 ) = 0 √ 2 + 4 4 + 9 2

94

Tài liệu tham khảo:

− Bài giảng môn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu

− Bài tập giải sẵn Giải tích 2 (Tóm tắt lý thuyết và chọn lọc), thầy Trần Bình

− Bài tập Toán học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Trần Xuân Hiền, PGS.TS NguyễnXuân Thảo

− Bộ đề cương Giải tích II, Viện Toán ứng dụng và Tin học

− Bộ đề thi Giữa kì và Cuối kì môn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

95