Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng

đã chúng minh các đ%nh lý điem bat đ®ng ngaunhiên tőng quát, trong đó các tác gia chi ra rang vói m®t so đieu ki¾n nhatđ%nh, neu các quy đao cna toán tu ngau nhiên có điem bat đ®ng tat đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ

HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN

TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cúu cna tôi Các ket qua nêutrong lu¾n án là hoàn toàn trung thnc và chưa tùng đưoc ai công bo trongbat cú m®t công trình nào khác

NCS Pham The Anh

Các khái ni¾m cơ ban 9

1.2 Điem bat đ®ng cna toán tu ngau nhiên 131.3 Điem trùng nhau cna các toán tu ngau nhiên 18

2 Điem bat đ®ng và điem trùng nhau cua các toán tE hoàn

2.1 Toán tu hoàn toàn ngau nhiên 212.2 Điem bat đ®ng cna toán tu hoàn toàn ngau nhiên 272.3 Điem trùng nhau cna các toán tu hoàn toàn ngau nhiên 47

3 Úng dnng vào phương trình toán tE hoàn toàn ngau nhiên 60

3.1 Úng dung cna các đ%nh lý điem trùng nhau 603.2 Úng dung cna các đ%nh lý điem bat đ®ng 66

4

Ket lu¾n và kien ngh% 73

Các ket qua chính cna lu¾n án 73Hưóng nghiên cúu tiep theo 73

Danh mnc công trình khoa HQC CUA tác gia liên quan đen lu¾n

Tài li¾u tham khao 75

5

DANH MUC CÁC KÝ HIfiU VÀ CHU VIET TAT

N T¾p hop các so tn nhiên

R T¾p hop các so thnc

R+ T¾p hop các so thnc dương

C [a; b] Không gian các hàm so liên tuc trên [a; b]

L (X) Không gian các toán tu tuyen tính liên tuc tù X vào X

L X(Ω) Không gian các bien ngau nhiên X-giá tr%

L X(Ω) Không gian các bien ngau nhiên X-giá tr% kha tích cap p

A, F σ-đai so

B(X) σ-đai so Borel cna X

A × F σ-đai so tích cna các σ-đai so A và F

2X HQ các t¾p hop con khác rong cna X

C (X) HQ các t¾p hop con đóng khác rong cna X

H (A, B) Khoang cách Hausdorff giua hai t¾p hop đóng A, B

Graph(T) Đo th% cna toán tu ngau nhiên T

P Đ® đo xác suat

p-lim Giói han cna sn h®i tu theo xác suat

h.c.c Hau chac chan

[x] Phan nguyên cna so thnc x

0

p

và đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder [51] (1930) Các ket qua này đãđưoc mo r®ng đoi vói các lóp ánh xa khác nhau, trong các không giankhác nhau và đã đưoc úng dung trong nhieu lĩnh vnc cna toán HQc.

Ta có the thay úng dung cna các nguyên lý điem bat đ®ng trong vi¾cgiai quyet van đe ton tai lòi giai cna phương trình (toán tu, vi phân,tích phân, ), trong các bài toán xap xi nghi¾m,

Tiep theo các ket qua trong trưòng hop không ngau nhiên, rat nhieuket qua ve bài toán điem bat đ®ng ngau nhiên đã đưoc nghiên cúu Vàogiua th¾p niên 1950, O Hans và A Spacek o trưòng Đai HQc Tőng hopPrague đã khoi xưóng nhung nghiên cúu đau tiên ve điem bat đ®ng cnatoán tu ngau nhiên và các van đe liên quan (xem [28, 53]) Các tác gia đãđưa ra các đieu ki¾n đn ban đau đe toán tu ngau nhiên có điem bat đ®ngngau nhiên Sau các công trình cna O Hans và A Spacek, m®t so dangtương tn cna các đ%nh lý điem bat đ®ng tat đ%nh női tieng khác cho trưònghop ngau nhiên cũng đã đưoc chúng minh Cùng vói vi¾c nghiên cúu cácvan đe ve điem bat đ®ng ngau nhiên, các van đe ve phương trìnhtoán tu ngau nhiên cũng đã đưoc quan tâm đen Các nghiên cúu vephương trình toán tu ngau nhiên là sn mo r®ng, ngau nhiên hóa lý thuyetphương trình toán tu tat đ%nh Tuy nhiên, phan lón các ket qua đatđưoc cna lý

thuyet phương trình toán tu ngau nhiên t¾p trung vào vi¾c đưa ve bàitoán điem bat đ®ng ngau nhiên đe chi ra sn ton tai và duy nhat nghi¾mngau nhiên.

Lý thuyet phương trình toán tu ngau nhiên và điem bat đ®ng ngau

nhiên thnc sn đưoc quan tâm nghiên cúu sau sn ra đòi cuon sách Random

integral equations (1972) và bài báo tőng ket Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) cna A T Bharucha-Reid (xem [15, 16]).

Trong bài báo cna mình, A T Bharucha-Reid đã chúng minh đ%nh lý điembat đ®ng cho ánh xa co ngau nhiên, đó chính là dang ngau nhiên cnanguyên lý ánh xa co Banach và đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder dangngau nhiên Tù đó, nhieu tác gia đã thành công trong vi¾c mo r®ng các ketqua ve điem bat đ®ng ngau nhiên đã có ho¾c chúng minh dang ngau nhiêncna các đ%nh lý điem bat đ®ng cho toán tu tat đ%nh (xem [11, 21, 32,

37, 60]) Vào nhung năm 1990, m®t so tác gia như H K Xu,

K K Tan, X Z Yuan, đã chúng minh các đ%nh lý điem bat đ®ng ngaunhiên tőng quát, trong đó các tác gia chi ra rang vói m®t so đieu ki¾n nhatđ%nh, neu các quy đao cna toán tu ngau nhiên có điem bat đ®ng tat đ%nhthì toán tu ngau nhiên có điem bat đ®ng ngau nhiên (xem [14, 54, 60]).Gan đây, m®t so tác gia như N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal

đã đưa ra m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng ngau nhiên tőng quát mo r®ngcác ket qua cna các tác gia trưóc và trên cơ so đó dang ngau nhiên cnanhieu đ%nh lý điem bat đ®ng cho toán tu tat đ%nh đã đưoc chúng minh(xem [47, 50]) Đ¾c bi¾t, trong bài báo [57] các tác gia D H Thang và T

N Anh đã chúng minh các ket qua tőng quát ve sn tương đương ton tainghi¾m cna phương trình tat đ%nh vói phương trình ngau nhiên, sn tontai điem bat đ®ng cna toán tu tat đ%nh và toán tu ngau nhiên

Tiep theo bài toán điem bat đ®ng ngau nhiên, bài toán điem batđ®ng ngau nhiên chung cna nhieu toán tu ngau nhiên cũng đã đưocnghiên cúu m®t cách ky lưõng Tuy nhiên, đieu ki¾n đe nhieu toán tu

có điem bat đ®ng chung thưòng là phúc tap, do đó bài toán điem trùngnhau ngau nhiên đã đưoc quan tâm nghiên cúu Bài toán điem trùngnhau ngau nhiên đưoc nghiên cúu nhieu đoi vói các toán tu đa tr%, giuac¾p toán tu đơn tr% và toán tu đa tr% (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36,

41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52])

M®t cách tőng quát, có the xem toán tu ngau nhiên như m®t ánh xabien moi phan tu cna không gian metric thành m®t bien ngau nhiên.Bên canh đó, ta coi moi phan tu cna không gian metric như là m®t bienngau nhiên suy bien nh¾n giá tr% là phan tu đó vói xác suat 1 Vói cáchquan

ni¾m như v¾y, ta có the đong nhat không gian metric X như t¾p con (gom các bien ngau nhiên suy bien) cna không gian L X(Ω) các bien

ngau nhiên X-giá tr% Tù đó, vói moi toán tu ngau nhiên liên tuc f tù

xác đ%nh cna toán tu ngau nhiên, trong [1, 5, 58] các tác gia đã đưa ra

khái ni¾m toán tu hoàn toàn ngau nhiên, trong đó ánh xa bien moi bien

ngau nhiên nh¾n giá tr% trong không gian metric thành bien ngau nhiênnh¾n giá tr% trong không gian metric Su dung các tính toán thuan túyxác suat, các tác gia đã chúng minh đưoc m®t so ket qua ban đau tương

tn như cna O Hadzic và E Pap ve điem bat đ®ng cna toán tu hoàn toànngau nhiên

0

N®i dung cna lu¾n án bao gom đ%nh lý ve sn thác trien toán tu ngaunhiên thành toán tu hoàn toàn ngau nhiên, là cơ so đe xét đen các bài

toán ve điem bat đ®ng, điem trùng nhau và bài toán ve phương trình toán

tu hoàn toàn ngau nhiên Ngoài ra lu¾n án đe c¾p đen các ket qua nghiêncúu ve điem bat đ®ng, điem trùng nhau cna các toán tu hoàn toàn ngaunhiên, tù đó áp dung các đ%nh lý điem bat đ®ng và đ%nh lý điem trùngnhau đe tìm nghi¾m cna phương trình toán tu hoàn toàn ngau nhiên.Lu¾n án gom 3 chương

Chương 1 trình bày tőng quan ve các khái ni¾m và ket qua đã bietcna các tác gia khác liên quan đen đ%nh lý điem bat đ®ng và điem trùngnhau ngau nhiên cna các toán tu ngau nhiên Các ket qua cna chươngnày đưoc trích dan và bo qua chúng minh chi tiet

Chương 2 trình bày khái ni¾m toán tu hoàn toàn ngau nhiên, đ%nh

lý thác trien toán tu ngau nhiên thành toán tu hoàn toàn ngau nhiên,tính liên tuc theo xác suat cna toán tu hoàn toàn ngau nhiên Tiep theo,chương này trình bày các ket qua nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna m®t

so dang toán tu hoàn toàn ngau nhiên Cuoi cùng, m®t so ket qua veđiem trùng nhau cna các toán tu hoàn toàn ngau nhiên đưoc đe c¾p đen.N®i dung chính cna chương này các đ%nh lý ve sn ton tai điem bat đ®ng

và điem trùng nhau cna toán tu hoàn toàn ngau nhiên

Chương 3 trình bày ket qua nghiên cúu ve úng dung các đ%nh lý điembat đ®ng, điem trùng nhau cna các toán tu hoàn toàn ngau nhiên Cácúng dung đó là chúng minh sn ton tai nghi¾m cna phương trình toán tuhoàn toàn ngau nhiên và su dung đ%nh lý điem trùng nhau ngau nhiên

đe chúng minh sn ton tai điem bat đ®ng ngau nhiên N®i dung chính cnachương này là các đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m phương trình toán tu hoàntoàn ngau nhiên

Các ket qua cna lu¾n án đã đưoc trình bày tai Seminar cna B® môn

Xác suat - Thong kê, Khoa Toán - Cơ - Tin HQc, Trưòng Đai HQc KHTN

- ĐHQGHN, tai H®i thao Xác suat Thong kê mùng THQ GS Nguyen DuyTien 70 tuői (Hà N®i, 18/08/2012), tai Đai h®i Toán HQc Vi¾t Nam lanthú 8 (Nha Trang, 10-14/08/2013), và đưoc công bo trong các bàibáo [1, 2, 3] trang 77 cna lu¾n án

Lu¾n án đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan cna GS TSKH.Đ¾ng Hùng Thang Tác gia xin bày to lòng kính TRQng và biet ơnsâu sac và chân thành tói GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang, Thay đã quantâm hưóng dan và chi bao tác gia trong suot nhung năm cuoi đai HQc,quá trình HQc cao HQc và trong quá trình nghiên cúu sinh

Tác gia xin bày to lòng biet ơn các thay cô trong Khoa Toán - Cơ

- Tin HQc đã cung cap nhieu bài giang và giói thi¾u cho tác gia nhieutài li¾u bő ích

Tác gia xin cam ơn các thành viên tham dn Seminar Toán tu ngaunhiên cna b® môn Xác suat - Thong kê đã tao đieu ki¾n cho tác gia đưoctrình bày và giúp đõ tác gia kiem tra các ket qua nghiên cúu

Tác gia xin cam ơn các cap lãnh đao, các đong nghi¾p trong cơ quan

HQc vi¾n Ky thu¾t Quân sn và Đoàn 871 B® Quoc Phòng đã taođieu ki¾n cho tác gia đưoc hQc t¾p và nghiên cúu

Cuoi cùng, tác gia xin bày to lòng biet ơn gia đình, ban bè đãluôn đ®ng viên, chia se giúp đõ đe tác gia có the hoàn thành đưoc quátrình HQc t¾p cna mình

Hà N®i, ngày 10 tháng 03 năm 2015

Nghiên cúu sinh Pham The Anh

Chương 1 KIEN THÚC CHUAN B± VÀ TONG QUAN

Trong chương này, chúng tôi nhac lai các khái ni¾m cơ ban và trìnhbày m®t cách tőng quan các ket qua ve điem bat đ®ng, điem trùngnhau cna các toán tu ngau nhiên mà chúng tôi se su dung làm tien đe đexây dnng các ket qua trong các phan sau cna lu¾n án Các ket qua đưoctrích dan và không đưoc chúng minh chi tiet

Cho Ω là t¾p khác ∅, đưoc GQI là không gian mau HQ F các t¾p con cna

Ω đưoc GQI là m®t σ-đai so neu thoa mãn các tính chat ∅ ∈ F, Ω \ A ∈

A n ∈ F vói MQI An ∈ F, n = 1, 2, Moi phan

tu cna σ-đai so F đưoc GQI là m®t t¾p đo đưac C¾p (Ω, F) GQI là m®t

không gian đo đưac Ánh xa P : F → [0.; 1] đưoΣc GQI là đ® đo xác

suat

A n ∈ F sao cho A m ∩ A n = ∅, m ƒ= n Vói moi A ∈ F, P (A) GQI là đ® đo

xác suat cna t¾p A σ-đai so F GQI là đay đu vói đ® đo xác suat P

neu MQI t¾p con cna t¾p có xác suat 0 là t¾p đo đưoc B® ba (Ω,

F, P ) GQI là không gian xác suat M®t không gian xác suat GQi là đay

đn neu F là σ-đai so đay đn Không gian metric kha ly và đay đn đưoc

GQI là không gian Polish (xem [29]).

Cho X là m®t không gian metric, σ-đai so Borel B(X) cna X là σ-đai

so nho nhat chúa tat ca các t¾p mo cna X Trong toàn b® lu¾n án, khi nói đen σ-đai so các t¾p con cna không gian metric ta hieu đó là σ-đai

so Borel

Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo đưoc Khi đó σ-đai so trên

X × Y ký hi¾u boi A × B đưoc xác đ%nh là σ-đai so nho nhat chúa các

t¾p A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B Vói hai không gian tôpô X, Y bat kỳ

ta có B(X × Y ) chúa B(X) × B(Y ) Tuy nhiên neu X và Y là các không

gian Polish thì B(X × Y ) = B(X) × B(Y ) (xem [54]).

Cho (Ω, F) là không gian đo đưoc và X là không gian metric Ánh xa

ξ : Ω → X GQI là F-đo đưac neu

ξ −1 (B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ F (1.1)vói MQI B ∈ B(X) Neu (Ω, F, P ) là không gian xác suat, ξ : Ω → X

là ánh xa F-đo đưoc thì ξ đưoc GQI là m®t bien ngau nhiên nh¾n giá tr%

trong X hay bien ngau nhiên X-giá tr% T¾p hop tat ca các lóp

tương đương cna các bien ngau nhiên X-giá tr% đưoc ký hi¾u là L X(Ω)

và đưoc

trang b% tô pô h®i tu theo xác suat

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Ánh xa f : Ω × X → Y đưoc GQI là toán tu

ngau nhiên tù X vào Y neu vói moi phan tu x ∈ X ánh xa ω ›→ f (ω, x)

là m®t bien ngau nhiên Y -giá tr% Toán tu ngau nhiên tù X vào X

đưoc GQI là toán tu ngau nhiên trên X Toán tu ngau nhiên tù X vào

R đưoc GQI là phiem hàm ngau nhiên.

Vói moi x co đ%nh, f (ω, x) là m®t bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trong Y Do đó ta có the coi toán tu ngau nhiên tù X vào Y như m®t quy tac cho tương úng moi phan tu x ∈ X m®t bien ngau nhiên nh¾n giá tr

% trong Y Nói cách khác, toán tu ngau nhiên tù X vào Y chính là ánh

xa tù X vào L Y (Ω)

Nh¾n xét 1.1.2 Các ví du ve toán tu ngau nhiên có the đưoc tìm thay

trong các tài li¾u [1, 55, 56] và nhieu tài li¾u khác

0

0

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tu ngau nhiên Toán tu ngau nhiên f GQI là m®t ban sao cna toán tu ngau nhiên g neu vói MQI x ∈ X

f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c (1.2)

Ta thay t¾p các ω mà f (ω, x) ƒ= g(ω, x) nói chung phu thu®c vào

x Theo quan điem xác suat, neu hai bien ngau nhiên bang nhau h.c.c.

thì có the coi là trùng nhau Vì ca toán tu ngau nhiên và ban sao cna nó

xác đ%nh cùng m®t ánh xa tù X vào L Y (Ω) nên trong nhieu trưòng hop

có the đong nhat toán tu ngau nhiên vói ban sao cna nó

Đ%nh nghĩa 1.1.4 1 Toán tu ngau nhiên f : Ω × X → Y đưoc GQi là

đo đưac neu ánh xa f : Ω × X → Y là F × B(X)-đo đưoc.

2 Toán tu ngau nhiên f : Ω × X → Y đưoc GQI là liên tnc neu vói moi

ω quy đao f (ω, ) cna f là ánh xa liên tuc tù X vào Y

3 Toán tu ngau nhiên f : Ω × X → Y đưoc GQI là Lipschitz (ngau nhiên) neu ton tai bien ngau nhiên không âm k(ω) sao cho vói

MQi x, y ∈ X

d (f (ω, x), f (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y). (1.3)

4 Toán tu ngau nhiên f : Ω × X → Y đưoc GQI là co (ngau nhiên) neu

f là toán tu Lipschitz vói k (ω) ∈ [0; 1), ∀ω ∈ Ω.

Đ%nh lý 1.1.5 ([29, Đ%nh lý 6.1]) Cho X, Y là các không gian Polish

và f : Ω × X → Y là toán tu ngau nhiên liên tnc Khi đó f là toán tu

ngau nhiên đo đưac Hơn nua neu ξ : Ω → X là bien ngau nhiên thì

ánh xa ω ›→ f (ω, ξ(ω)) là m®t bien ngau nhiên Y -giá tr%.

0

Nh¾n xét 1.1.6 Tù Đ%nh lý 1.1.5 ta thay vói toán tu ngau nhiên, tính

Lipschitz suy ra tính liên tuc, tính liên tuc suy ra tính đo đưoc

Đ%nh nghĩa 1.1.7 (Điem bat đ®ng ngau nhiên) Bien ngau nhiên ξ

: Ω → X GQI là điem bat đ®ng (ngau nhiên) cna toán tu ngau nhiên

f : Ω × X → X neu

f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c. (1.4)

Neu ξ : Ω → X là ánh xa nào đó (không đo đưoc) thoa mãn (1.4), thì ξ còn đưoc GQI là điem bat đ®ng tat đ%nh cna f Ta nh¾n thay neu

f : Ω × X → X có điem bat đ®ng ngau nhiên thì f có điem bat đ®ng

tat đ%nh Ngưoc lai không đúng Đe đơn gian, trong các phan sau ta hieuđiem bat đ®ng là điem bat đ®ng ngau nhiên, trù trong các ket qua có nói

rõ ve điem bat đ®ng ngau nhiên và tat đ%nh

Đ%nh nghĩa 1.1.8 Phương trình toán tu ngau nhiên đơn tr% là phương

trình có dang

vói f, g : Ω × X → Y là các toán tu ngau nhiên tù X vào Y

Đ%nh nghĩa 1.1.9 1 Phương trình (1.5) đưoc GQI là có nghi¾m

tat đ%nh vói hau het Ω neu ton tai t¾p D có xác suat 1 sao cho vói moi ω ∈ D ton tai phan tu u(ω) ∈ X sao cho

f (ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)). (1.6)

Khi đó u(ω) GQI là nghi¾m tat đ%nh cna phương trình (1.5)

2 Phương trình (1.5) đưoc GQI là có nghi¾m ngau nhiên neu ton tai bien ngau nhiên ξ : Ω → X sao cho

(1.7)

Khi đó ξ GQI là nghi¾m ngau nhiên cna phương trình (1.5).

L%ch su phát trien cna bài toán điem bat đ®ng bat đau tù các đ%nh lýđiem bat đ®ng cna L E J Brouwer, S Banach và J Shauder Đau tiên, taxem xét bài toán điem bat đ®ng cna toán tu liên tuc tőng quát và cna toán

tu thoa mãn các đieu ki¾n co Vào đau the ki 20, L E J Browder đã ghidau an đau tiên bang vi¾c đưa ra đ%nh lý điem bat đ®ng cho hàm liên tuc

tù hình cau đóng vào chính nó Sau đó là nguyên lý ánh xa co cna S.Banach đưoc chúng minh năm 1922 ([7]) và đ%nh lý điem bat đ®ng

J Shauder năm 1930 ([51])

Đoi vói điem bat đ®ng ngau nhiên, năm 1957 trong bài báo cna mình

O Hans ([28]) đã bưóc đau đưa ra các đieu ki¾n đam bao m®t ánh xangau nhiên có điem bat đ®ng ngau nhiên dưói dang xap xi đen nghi¾mcna phương trình ngau nhiên

Cùng vói sn phát trien cna các đ%nh lý điem bat đ®ng trong trưònghop tat đ%nh, các đ%nh lý điem bat đ®ng ngau nhiên cũng đã bat đauđưoc nghiên cúu nhieu sau bài báo cna O Hans Năm 1976 trong bài báotőng quan cna mình, tác gia A T Bharucha-Reid ([16]) đã chúng minh đ

%nh lý điem bat đ®ng cho toán tu co ngau nhiên

Đ%nh lý 1.2.1 ([16, Đ%nh lý 7]) Cho T : Ω × X → X là toán tu co ngau

nhiên, X là không gian Banach kha ly Khi đó T có điem bat đ®ng duy nhat.

Cũng trong bài báo [16], tác gia A T Bharucha-Reid đã xét đenphương trình giá tr% riêng ngau nhiên dang (T (ω) − λI)x = y(ω) (tác

gia ký hi¾u T (ω, x) boi T (ω)x) và đưa ra đieu ki¾n đe phương trình có

nghi¾m

Đ%nh lý 1.2.2 ([16, Đ%nh lý 8]) Cho T (ω) là toán tu co tù không gian

Banach kha ly X vào chính nó, k (ω) là bien ngau nhiên không âm nh¾n

giá tr% thnc b% ch¾n h.c.c Khi đó vái mői so thnc λ ƒ= 0 sao cho k(ω) <

|λ|

h.c.c đeu ton tai toán tu ngau nhiên S (ω) là ngh%ch đao cua T (ω) − λI,

vái I là toán tu đong nhat trên X.

Ngoài ra trong bài báo [16], tác gia A T Bharucha-Reid chúng minhdang ngau nhiên cna đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder, túc là đưa ra đieuki¾n đe m®t toán tu ngau nhiên liên tuc có điem bat đ®ng

Đ%nh lý 1.2.3 ([16, Đ%nh lý 10]) Cho E là t¾p compact, loi trong không

gian Banach kha ly X và T (ω, x) là toán tu ngau nhiên liên tnc trên E.

Khi đó ton tai bien ngau nhiên E-giá tr% ξ (ω) là điem bat đ®ng cua T.

Năm 1979 trong bài báo [31], tác gia S Itoh đã chúng minh h¾qua ve điem bat đ®ng cho toán tu ngau nhiên compact

H¾ qua 1.2.4 ([31, H¾ qua 2.2]) Cho E là t¾p compact (ho¾c kha ly

và đóng) trong không gian Banach X, T : Ω × E → E là toán tu ngau

nhiên compact theo nghĩa T (ω, ) là compact vái MQI ω ∈ Ω Khi đó T

có điem bat đ®ng.

Đen năm 1993 trong bài báo [54], các tác gia K K.Tan và X Z Yuan

đã có nhung chúng minh đau tiên ve moi liên h¾ giua điem bat đ®ng tat đ

%nh và điem bat đ®ng ngau nhiên Không gian Suslin là không gian tôpô Hausdorff và là anh liên tuc cna không gian Polish T¾p con Suslin cna

không gian tôpô là không gian con cna không gian tôpô và cũng là không

gian Suslin Ký hi¾u I và J lan lưot là t¾p các dãy con vô han và huu

han cna t¾p so nguyên dương GQIG là HQ các t¾p hop nào đó và F : J

Tù đó, neu MQI t¾p con nh¾n đưoc tù G theo cách như trên cũng thu®c

G, thì G GQI là HQ Suslin Su dung phương pháp hàm cHQN, các tác gia đãthu đưoc các ket qua sau

HQ Suslin, X là không gian tôpô và X0 là t¾p con Suslin cua X.

Gia su Đ%nh lý 1.2.5 ([54, Đ%nh lý 2.3]) Cho (Ω, Σ) là không gian

đo, Σ là T : Ω × X0 → 2 X có đo th% Graph (T ) ∈ Σ × B(X0 × X).

Khi đó T có

là T (ω, ) có điem bat đ®ng trong X0 vái mői ω ∈ Ω.

điem bat đ®ng ngau nhiên khi và chs khi T có điem bat đ®ng tat đ%nh, túc

Suslin và X0 là t¾p con Suslin cua không gian metric kha ly X Gia

su Đ%nh lý 1.2.6 ([54, Đ%nh lý 2.5]) Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là

HQ T : Ω × X0 → C(X) là toán tu ngau nhiên liên tnc Khi đó T có

Đ%nh lý 1.2.7 ([18, Đ%nh lý 1]) Cho X là không gian Hilbert kha ly,

T : Ω × X → X là toán tu ngau nhiên liên tnc sao cho ton tai ánh xa u :

Ω → X (không yêu cau đo đưac) thóa mãn ||T (ω, x)ưu(ω)|| ™ ||

xưu(ω)||

vái MQI ω ∈ Ω và x ∈ X Khi đó vái MQI bien ngau nhiên ξ0 : Ω → X và

dãy bien ngau nhiên (ξn(ω)) xác đ%nh bái dãy l¾p Ishikawa

Trong bài báo [12] năm 2006, các tác gia I Beg và M Abbas su dungphương pháp l¾p đe chúng minh sn ton tai điem bat đ®ng cna toán tungau nhiên co yeu

Đ%nh lý 1.2.8 ([12, Đ%nh lý 5.2]) Cho F là t¾p con loi, đóng cua không

gian Banach kha ly X, và T : Ω × F → F là toán tu ngau nhiên co yeu

theo nghĩa vái bat kỳ x, y ∈ F

ǁT (ω, x) − T (ω, y)ǁ ™ ǁx − yǁ − f (ǁx − yǁ) ∀ω ∈ Ω (1.8)

trong đó f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tnc, không giam, f (t) =

0

khi và chs khi t = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ Khi đó T có điem bat đ®ng.

Cũng trong bài báo [12], các tác gia I Beg và M Abbas đã chúng

minh đ%nh lý ve quá trình l¾p đen điem bat đ®ng cna toán tu ngau nhiên

co yeu

Đ%nh lý 1.2.9 ([12, Đ%nh lý 5.3]) Cho F là t¾p con loi, đóng cua không

gian Banach kha ly X, và T : Ω × F → F là toán tu ngau nhiên co

yeu Gia su dãy bien ngau nhiên (ξn(ω)) tù Ω vào F , đưac GQI là dãy l¾p Mann (xem [38]), xác đ%nh bái công thúc

ξ n+1 (ω) = (1 − αn) ξn (ω) + αn T (ω, ξn (ω)) vái mői ω ∈ Ω, (1.9)

∞

ngau nhiên bat kỳ Khi đó dãy l¾p

(ξn(ω)) h®i tn ve điem bat đ®ng

cua T.

Năm 2010 trong bàibáo [57], các tác gia D H.Thang và T N Anh bangphương pháp hàm cHQN đãchúng minh ket qua sau đoivói phương trình toán tungau nhiên

Hơn nua neu vái hau het ω ∈

Tù đ%nh lý này, các tác gia

đã thu đưoc ket qua sau chi ramoi liên h¾ giua sn ton taiđiem bat đ®ng tat đ%nh vàđiem bat đ®ng ngau nhiên

có điem bat đ®ng tat đ%nh.

Đ%nh lý 1.2.11 cho thayđoi vói trưòng hop toán tu ngaunhiên đo đưoc, van đe ton taiđiem bat đ®ng ngau nhiêntương đương vói sn ton taiđiem bat đ®ng tat đ%nh cho

hau het ω M¾t khác van đe

điem bat đ®ng tat đ%nh đãđưoc nghiên cúu gan như đay

đn, vói so lưong rat lón cáccông trình Như v¾y trưóc khi

có bài báo [57], vi¾c chúngminh sn ton tai điem batđ®ng ngau nhiên cna toán tungau nhiên đo đưoc mà

su dung ket qua trong trưòng hop tat đ%nh ket hop vói đ%nh lý hàm cHQN

đen đây không còn nh¾n đưoc nhieu sn quan tâm nua Vì the, đeđưa ra các ket qua ve điem bat đ®ng cho toán tu ngau nhiên đođưoc, các tác gia thưòng chúng minh trnc tiep thông qua phương phápdãy l¾p mà không su dung cách chúng minh dna trên đ%nh lý hàm

cHQN như trưóc Đen bây giò nhieu dang dãy l¾p đã đưoc su dung,đien hình là các dãy l¾p Picard, dãy l¾p Mann, dãy l¾p Ishikawa, dãyl¾p ba bưóc, dãy l¾p an,

Su dung phương pháp l¾p, so các ket qua ve điem bat đ®ng ngau nhiênđưoc chúng minh phong phú hơn rat nhieu so vói su dung phương pháphàm cHQN

nhiên

Tiep theo sn xuat hi¾n bài toán điem bat đ®ng cna toán tu ngau nhiên,bài toán điem trùng nhau cna các toán tu ngau nhiên cũng đã đưoc quantâm đen Lan lưot các công trình [11] năm 1994, [17] năm 1995, [45]năm

2000, [46] năm 2000, [40] năm 2003, [47] năm 2004, [33] năm 2004 , [41]năm 2005, [48] năm 2005, [49] năm 2006, [34] năm 2006, [22] năm 2006,[35] 2007, [36] năm 2008, [42] năm 2010, [20] năm 2010, [57] năm 2010,[25] năm 2011 đã đưa ra nhieu ket qua quan TRQNG ve điem trùng nhaucna các toán tu ngau nhiên

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho T1, T2, , T n : Ω × X → X là các toán tu ngau nhiên Bien ngau nhiên ξ : Ω → X GQI là điem trùng nhau (ngau nhiên)

cna các toán tu ngau nhiên T1, T2, , T n neu

T1(ω, ξ(ω)) = T2(ω, ξ(ω)) = = Tn(ω, ξ(ω)) h.c.c. (1.10)

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Ánh xa đo đưoc ξ : Ω → X đưoc GQI là điem

trùng nhau (ngau nhiên) cna toán tu ngau nhiên f : Ω × X → X

và toán tu ngau nhiên đa tr% T : Ω × X → CB(X) neu vói MQI ω

quy đao đn (xem [40])

Đ%nh lý 1.3.3 ([40, Đ%nh lý 3.1]) Cho X là không gian Banach kha ly,

S, T : Ω × X → CB(X) là hai toán tu ngau nhiên đa tr% liên tnc, f :

Ω × X → X là toán tu ngau nhiên sao cho S(ω, X) ∪ T (ω, X) ⊆ f (ω,

(1.11)

vái MQI x, y ∈ X, MQI ω ∈ Ω và α : Ω → (0; 1) là ánh xa đo đưac Khi

đó ton tai duy nhat điem trùng nhau cua S, T và f.

Dna trên phương pháp l¾p, năm 1994 các tác gia I Beg, N.Shahzad đã chúng minh đ%nh lý ve điem trùng nhau cna m®t toán tungau nhiên và m®t toán tu ngau nhiên đa tr%

Cho (X, d) là không gian Polish Ánh xa T : X → CB(X) và f :

X → X GQI là tương thích neu vói bat kỳ dãy (xn) thu®c X thoa mãn

S

limn fx n ∈ lim n Tx n (neu các giói han ton tai) thì limn H (f Txn , Tfx n) =

0 Toán tu ngau nhiên f : Ω × X → X và T : Ω × X → CB(X)

GQI là tương thích neu f (ω, ) và T (ω, ) là tương thích vói MQI ω ∈ Ω

(xem [8], [9])

Đ%nh lý 1.3.4 ([11, Đ%nh lý 5.1]) Cho T : Ω × X → CB(X) là toán

tu ngau nhiên đa tr% và f : Ω × X → X là toán tu ngau nhiên liên

tnc sao cho T (Ω, X) ⊆ f (ω, X) vái MQI ω ∈ Ω Neu f, T là tương thích và vái MQI x, y ∈ X, ω ∈ Ω,

H (T (ω, x) , T (ω, y)) ™ λ (ω) d (f (ω, x) , f (ω, y)) (1.12)

vái λ : Ω → (0; 1) là ánh xa đo đưac thì ton tai duy nhat điem

trùng nhau cua f và T.

Ket lu¾n: Trong chương này, chúng tôi đã trình bày m®t cách tóm

lưoc các khái ni¾m liên quan đen bài toán điem bat đ®ng và điemtrùng nhau cna các toán tu ngau nhiên Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trìnhbày m®t cách tőng quan các ket qua đã nh¾n đưoc trong quá trình hìnhthành và phát trien cna bài toán điem bat đ®ng và điem trùng nhau cnacác toán tu ngau nhiên

Chương 2 ĐIEM BAT Đ®NG VÀ ĐIEM TRÙNG NHAU CUA CÁC TOÁN TU HOÀN TOÀN NGAU NHIÊN

Toán tu ngau nhiên f : Ω × X → Y có the coi là m®t tác đ®ng bien phan tu x trong X thành đau ra ngau nhiên f (ω, x) nh¾n giá tr% trong Y Trong m®t so trưòng hop, ngay ca đau vào cũng b% anh

hưong boi môi trưòng ngau nhiên, m®t tác đ®ng bien các phan tu ngau

nhiên nh¾n giá tr% trong X thành đau ra ngau nhiên nh¾n giá tr% trong Y đưoc GQI là toán tu hoàn toàn ngau nhiên tù X vào Y

Chương này trình bày ket qua ve sn thác trien toán tu ngau nhiênthành toán tu hoàn toàn ngau nhiên Tiep theo đó, các ket qua ve điembat đ®ng và điem trùng nhau cna các toán tu hoàn toàn ngau nhiên đưocxét đen Chú ý rang đ%nh lý điem bat đ®ng và điem trùng nhau cna cáctoán tu hoàn toàn ngau nhiên không đưoc suy ra m®t cách trnc tiep tùcác đ%nh lý tương úng trong trưòng hop tat đ%nh, hay trong trưòng hopngau nhiên

N®i dung chương này bao gom các muc: 2.1 Toán tu hoàn toàn ngau

nhiên, 2.2 Điem bat đ®ng cua toán tu hoàn toàn ngau nhiên, 2.2 Điem trùng nhau cua các toán tu hoàn toàn ngau nhiên Các ket qua trong

chương này đưoc công bo trong các bài báo [1, 2, 3] trang 76 cna lu¾nán

Trong các chương tiep theo, chúng tôi xét X là không gian Banach

kha ly và (Ω, F, P ) là không gian xác suat đay đn Gia su f : Ω×X

→ X là toán tu ngau nhiên liên tuc Theo Đ%nh lý 1.1.5, neu f là toán

tu ngau nhiên

liên tuc thì vói MQI bien ngau nhiên u : Ω → X, ánh xa ω ›→ f (ω, u(ω))

đo đưoc và cũng là bien ngau nhiên Do đó ta có the xét

xác đ%nh boi Φu(ω) = f (ω, u(ω)) vói MQI u ∈ L X(Ω)

Khi đó có the coi X là t¾p con các bien ngau nhiên suy bien

(bien ngau nhiên nh¾n m®t giá tr% cu the co đ%nh vói xác suat 1) cna

t¾p các bien ngau nhiên L X (Ω) Hơn nua, han che cna Φ trên X trùng vói toán tu ngau nhiên f Tù đó, ta nh¾n đưoc Φ là sn mo r®ng cna f lên toàn b® L X(Ω) và ta GQI Φ : L X (Ω) → L X(Ω) là toán tu hoàn toànngau nhiên

Không gian L X (Ω) các bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trong X vói tô pô

h®i tu theo xác suat là không gian đay đn theo nghĩa moi dãy (un) trong

L X (Ω) h®i tu đen phan tu u ∈ L X(Ω) khi và chi khi dãy đó là cơ ban

theo xác suat Không gian L X(Ω) cũng là không gian metric hóa đưocvói nhieu metric khác nhau (sn h®i tu theo các metric đó tương đươngvói sn h®i tu theo xác suat) Khi đó ta có the coi Φ như là m®t ánh xagiua hai không gian metric Tuy nhiên o đây chúng tôi xét đen góc đ®xác suat cna toán tu Φ, vói các gia thiet dna trên các bieu thúc xác suat

chú không dna trên các metric cna L X(Ω)

Sau đây là đ%nh nghĩa toán tu hoàn toàn ngau nhiên

Đ%nh nghĩa 2.1.1 ([1, Đ%nh nghĩa 3.3.1]) Cho X, Y là các không gian

Banach kha ly

1. Ánh xa Φ : LX (Ω) → L Y (Ω) đưoc GQI là toán tu hoàn toàn ngau

(un) thu®c L X(Ω) thoa mãn limn u n = u h.c.c., ta có limn Φun = Φu

h.c.c

3 Toán tu hoàn toàn ngau nhiên Φ đưoc GQI là liên tnc theo xác

suat neu vói moi dãy (un) trong L X(Ω) thoa mãn limn u n = u

theo xác suat, ta có limnΦun = Φu theo xác suat.

Đ%nh nghĩa 2.1.2 Toán tu hoàn toàn ngau nhiên Φ : LX (Ω) → L Y (Ω)đưoc GQI là mo r®ng cna toán tu ngau nhiên f : Ω × X → Y neu vói moi

Đ%nh lý 2.1.3 Cho f : Ω × X → Y là toán tu ngau nhiên có ban

sao liên tnc Khi đó ton tai toán tu hoàn toàn ngau nhiên liên tnc Φ :

L X (Ω) →

L Y (Ω) sao cho Φ là má r®ng cua f.

Chúng minh GQI g là ban sao liên tuc cna f Đ%nh nghĩa Φ : L X (Ω) →

L Y (Ω) boi công thúc

vói moi bien ngau nhiên u ∈ L X(Ω) Ta chúng minh đ%nh nghĩa này là

xác đ%nh tot Th¾t v¾y, theo Đ%nh lý 1.1.5, g : Ω × X → Y là đo đưoc, vì v¾y ω ›→ g(ω, u(ω)) là đo đưoc Tiep theo ta se chúng minh neu h là ban

sao liên tuc khác cna f thì

0

Do X là không gian kha ly, ton tai dãy (xn) trù m¾t trong X Vói moi xn,

ton tai t¾p Ωn có xác suat 1 sao cho g(ω, xn) = h(ω, xn) vói MQI ω ∈ Ω n.

Co đ%nh ω ∈ Ω0, vì dãy (xn) trù m¾t trong X nên ton tai dãy con (xnk )

h®i tu đen u(ω) Tù tính liên tuc cna ánh xa x ›→ g(ω, x) và ánh xa

x ›→ h(ω, x)

x n k ) = h (ω, u(ω)) (2.18)

Tù (2.17) và (2.18) ta thu đưoc h(ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)) vói MQI ω ∈ Ω0

Tù (2.15) de dàng chúng minh đưoc toán tu hoàn toàn ngau nhiên Φ

là liên tuc và là mo r®ng cna f

Đ%nh nghĩa 2.1.4 ([1, Đ%nh nghĩa 3.3.2]) Cho Φ : LX (Ω) → L Y(Ω) là

toán tu hoàn toàn ngau nhiên

1 Φ đưoc GQI là k(ω)-Lipschitz neu ton tai bien ngau nhiên nh¾n giá tr

% không âm k(ω) sao cho vói moi c¾p u, v ∈ L X(Ω)

ǁΦu(ω) − Φv(ω)ǁ ™ k(ω)ǁu(ω) − v(ω)ǁ h.c.c. (2.19)

Chú ý rang t¾p bo đưoc phu thu®c vào u, v.

2 Φ đưoc GQI là k(ω)-Lipschitz theo xác suat neu ton tai bien ngau

nhiên nh¾n giá tr% không âm k(ω) sao cho vói moi c¾p u, v ∈ L X(Ω)

3 Φ đưoc gQI là k(ω)-co neu Φ là k(ω)-Lipschitz vói k(ω) < 1 h.c.c.

4 Φ đưoc GQI là k(ω)-co theo xác suat neu Φ là k(ω)-Lipschitz theo xác suat vói k(ω) < 1, ∀ω ∈ Ω.

5 Φ đưoc gQI là không giãn neu Φ là 1-Lipschitz.

6 Φ đưoc GQI là không giãn theo xác suat neu Φ là 1-Lipschitz theo xác

M¾nh đe 2.1.6 Cho Φ : L X (Ω) → L Y (Ω) là toán tu hoàn toàn ngau

nhiên Khi đó tính liên tnc cua Φ suy ra tính liên tnc theo xác suat cua Φ.

Chúng minh GQI (un) là dãy bien ngau nhiên thu®c LX(Ω) sao chop- limn u n = u Ta phai chúng minh p-limn Φun = Φu Ngưoc lai, gia su Φun không h®i tu đen Φu theo xác suat Khi đó ton tai t > 0, s >

0 và dãy con (un k ) sao cho vói MQI un k

P (ǁΦun k − Φuǁ > t) ≥ s.

Vì p-limk u n k = u, ton tai dãy con (u J

n ) h®i tu h.c.c tói u Vì Φ liên tuc,

và suy ra mau thuan.

M¾nh đe 2.1.7 1 Neu Φ : L X (Ω) → L Y (Ω) là toán tu hoàn toàn ngau

nhiên k (ω)-Lipschitz thì Φ liên tnc.

2 Neu Φ : L X (Ω) → L Y (Ω) là toán tu hoàn toàn ngau nhiên

k(ω)-Lipschitz theo xác suat thì Φ liên tnc theo xác suat.

Chúng minh Khang đ%nh đau tiên de dàng chúng minh, ta chúng minh

khang đ%nh thú hai Vói moi u, v ∈ L X(Ω)

P (ǁΦu − Φvǁ > t) ™P (kǁu − vǁ > t)

=P (kǁu − vǁ > t, ǁu − vǁ ™ r) + P (ǁu − vǁ > r)

≤P (rk > t) + P (ǁu − vǁ > r)

=P (k > t/r) + P (ǁu − vǁ > r).

Gia su rang p-limn u n = u, khi đó

P (ǁΦun − Φuǁ > t) ™ P (k > t/r) + P (ǁu n − uǁ > r).

Vì v¾y vói moi r > 0

lim sup P (ǁΦun − Φuǁ > t) ™ P (k > t/r).

Cho r → 0 ta nh¾n đưoc

lim sup P (ǁΦun − Φuǁ > t) = 0.

Vì toán tu hoàn toàn ngau nhiên không giãn theo xác suat là trưòng

hop riêng cna toán tu hoàn toàn ngau nhiên k(ω)-Lipschitz theo xác

2.2 Điem bat đ®ng cua toán tE hoàn toàn

ngau nhiên

Cho f : Ω × X → X là toán tu ngau nhiên, bien ngau nhiên X-giá tr% ξ

là điem bat đ®ng ngau nhiên cna toán tu ngau nhiên f neu

Tù đó ta có đ%nh nghĩa điem bat đ®ng cna toán tu hoàn toàn ngau

nhiên sau đây, đ%nh nghĩa đã đưoc xét đen trong [1]

Đ%nh nghĩa 2.2.1 ([1, Đ%nh nghĩa 3.3.3]) Cho Φ : LX (Ω) → L X(Ω) là

toán tu hoàn toàn ngau nhiên Bien ngau nhiên X-giá tr% ξ ∈ L X(Ω) đưoc

GQI là điem bat đ®ng cna Φ neu

Tiep theo, ta chúng minh đ%nh lý điem bat đ®ng cna toán tu hoàntoàn ngau nhiên co yeu Đ%nh lý điem bat đ®ng cna toán tu hoàn toànngau nhiên co yeu là mo r®ng cna đ%nh lý ve điem bat đ®ng cna toán tuhoàn toàn ngau nhiên co Trưóc het, ta có các đ%nh nghĩa sau

Đ%nh nghĩa 2.2.2 Cho f : Ω × [0; +∞) → [0; +∞) là ánh xa sao

cho vói moi ω ∈ Ω, f (ω, t) = 0 khi và chi khi t = 0 và vói MQI t

∈ [0; +∞)

0

thì f (ω, t) ™ t h.c.c Toán tu hoàn toàn ngau nhiên Φ : L X (Ω) → L X(Ω)

đưoc gQI là f (ω, t)-co yeu neu vói moi c¾p u, v ∈ L X(Ω)

ǁΦu(ω) − Φv(ω)ǁ ™ ǁu(ω) − v(ω)ǁ − f (ω, ǁu(ω) − v(ω)ǁ) h.c.c (2.23) Nh¾n xét 2.2.3 Neu Φ là k(ω)-co thì Φ là f (ω, t)-co yeu vói f (ω, t)

= (1 − k(ω))t.

Đ%nh nghĩa 2.2.4 Cho f : [0; +∞) → [0; +∞) là ánh xa sao cho f

(t) = 0 khi và chi khi t = 0 và f (t) ™ t vói MQI t thu®c [0; +∞).

Toán tu hoàn toàn ngau nhiên Φ : L X (Ω) → L X(Ω) đưoc gQI là f (t)-co yeu theo xác

suat neu vói moi c¾p u, v ∈ L X (Ω) và t > 0

P (ǁΦu − Φvǁ > t) ™ P (ǁu − vǁ − f (ǁu − vǁ) > t) (2.24)

Nh¾n xét 2.2.5 • Neu Φ là k-co theo xác suat thì Φ là f (t)-co yeu

theo xác suat vói f (t) = (1 − k)t, k ∈ (0, 1).

• Neu Φ là f (t)-co yeu theo xác suat thì Φ là không giãn theo xác

suat, do đó Φ liên tuc theo xác suat

Đ%nh lý 2.2.6 Cho Φ : L X (Ω) → L X (Ω) là toán tu hoàn toàn ngau

nhiên f (ω, t)-co yeu, và vái mői ω ∈ Ω, hàm t ›→ f (ω, t) là không giam

Khi đó Φ có duy nhat điem bat đ®ng.

Chúng minh GQI u0 là bien ngau nhiên X-giá tr% nào đó Ta xác đ

%nh dãy (un) ⊂ L X(Ω) boi công thúc

u n+1 = Φun , n = 0, 1, (2.25)

Tù (2.23), vói moi c¾p (i, j)

Do đó ton tai t¾p D có xác suat 1 sao cho vói moi ω ∈ D và vói MQI c¾p

(i, j)

(2.26) Đ¾c bi¾t, vói moi ω ∈ D và vói MQI c¾p (i, j)

Khang đ%nh 1 Vói moi ω ∈ D

lim ǁui+1(ω) − ui(ω)ǁ = 0.

Th¾t v¾y, tù (2.27) ta nh¾n đưoc

ǁu i+1(ω) − ui(ω)ǁ = ǁΦui(ω) − Φui−1(ω)ǁ

Tù đó suy ra rang

lim ǁui+1(ω) − ui(ω)ǁ = L(ω) ≥ 0, ∀ω ∈ D.

Ta chúng minh rang L(ω) = 0 vói MQI ω ∈ D.

Ngưoc lai, gia su ton tai ω ∈ D sao cho L(ω) > 0 Khi đó ǁu i+1(ω) −

v¾y vói moi i

ǁu i+2(ω) − ui+1(ω)ǁ = ǁΦui+1(ω) − Φui(ω)ǁ

™ ǁu i+1(ω) − ui(ω)ǁ − f (ω, ǁui+1(ω) − ui(ω)ǁ)

™ ǁu i+1(ω) − ui(ω)ǁ − f (ω, L(ω))

= ǁui+1(ω) − ui(ω)ǁ − L.

i

i

C®ng tat ca các bat đang thúc trên vói i = 0, 1, , n − 1, ta nh¾n

đưoc vói MQI n

ǁu n+1(ω) − un(ω)ǁ ™ ǁu1(ω) − u0(ω)ǁ − nL,

đieu này dan đen mâu thuan

Khang đ%nh 2 Ton tai ξ ∈ L X (Ω) sao cho lim un = ξ h.c.c.

sao cho ǁu N+1(ω) − uN (ω)ǁ < min{s, f (ω, s)} Ta se chúng minh vói moi Co đ%nh ω ∈ D Vói moi s > 0 cho trưóc, tù khang đ%nh 1 ton tai N

túc là (2.28) đúng vói n+1 Vì v¾y (2.28) đưoc chúng minh Tù đó (un(ω))

là dãy Cauchy vói moi ω ∈ D, đieu đó dan đen khang đ%nh 2.

Vì Φ là liên tuc, tù (2.25) cho n → ∞ ta nh¾n đưoc ξ = Φξ h.c.c Do

đó ξ là điem bat đ®ng cna Φ.

0

Gia su rang η là điem bat đ®ng khác cna Φ Khi đó ton tai t¾p D J vói

xác suat 1 sao cho vói MQI ω ∈ D J

ǁξ(ω) − η(ω)ǁ = ǁΦξ(ω) − Φη(ω)ǁ

™ ǁξ(ω) − η(ω)ǁ − f (ω, ǁξ(ω) − η(ω)ǁ).

Do đó f (ω, ǁξ(ω) − η(ω)ǁ) = 0 và ǁξ(ω) − η(ω)ǁ = 0 vói MQI ω ∈ D J,

túc là ξ = η h.c.c.

Nh¾n xét 2.2.7 Neu Φ là f (t)-co yeu thì Φ là f (t)-co yeu theo xác

suat, đieu ngưoc lai không đúng

Ví dn 2.2.8 Gia su (Ω, F, P ) là không gian xác suat vói Ω = [0; 1], F

là σ-đai so Lebesgue các t¾p con cna [0; 1] và P là đ® đo Lebesgue trên [0; 1] Vói X = R xét toán tu hoàn toàn ngau nhiên Φ : L X (Ω) → L X(Ω)xác đ%nh boi

dan đen Φ là 1-co theo xác suat

Tiep theo, gia su Φ là co yeu, ta có

ǁΦu (ω) − Φv (ω)ǁ ™ ǁu (ω) − v (ω)ǁ − f (ω, ǁu (ω) − v (ω)ǁ) h.c.c