31 HSG Toan 9 Nguyen Van Dai

Chứng minh rằng: a Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau b Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau c Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố dịnh khi A chuyển động trê[r]

31 Bộ đề thi HSG Toán 9 Cấp huyện & Tỉnh – Cả Nước

Phần II

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

BÌNH ĐỊNH Năm học: 2017 - 2018

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên

2 Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằngnếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4

2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF là các đường cao Lấy M trên đoạn FD,lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC  Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NINH BÌNH

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán

Thời gian :150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 2

Câu 1 (4.0 điểm):

Cho phương trình x2−2 mx+m2−2 m=0 , trong đó m là tham số

1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn √x1+√x2=3

1 Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy hai điểm phân biệt C,

D sao cho CD = R (C thuộc cung AD) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AB tại M Tiếptuyến của nửa đường tròn (O; R) tại A và B cắt CD lần lượt tại E và F Gọi K là giao điểm của AC vàBD

a) Chứng minh tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông

b) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD

2 Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, BC = 2+2√3 và bán kính đường tròn nộitiếp tam giác ABC bằng 1 Tính độ dài cạnh AB và AC

Câu 4 (2.0 điểm): Cho ba số a , b , c thoả mãn

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN - BẢNG A

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Đề số 3

Câu 1 (3 điểm).

a Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm

có khối lượng bằng nhau (không được chia nhỏ các vật đó).

b Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2.

a Chứng minh: HPO HQO   

b Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng

HẾT

-Đề chính thức

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

NINH BÌNH

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

a) Dựng vị trí điểm M trên d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.

b) Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M di động trên d.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học 2014- 2015 MÔN: TOÁN

Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề

x y z

xy yz zx xyz

Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với

B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E, F thứ

tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’ Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau

b) Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố dịnh khi A chuyển động trên cungnhỏ BC

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền bằng 2015 Trong tam giác ABClấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách khônglớn hơn 1

- HẾT

-ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học 2013- 2014 MÔN: TOÁN

Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)

x y

AD, AB, BD Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng:

+ Nếu n không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5

+ Với p là ước nguyên tố lẻ của A ta luôn có p -1 chia hết cho 4

HẾT

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Bài 2 (4,0 điểm) Giải phương trình

b) Chứng minh DCJH đồng dạng với DHIB

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI Chứng minh HE.HD = HC2

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5 (2,0 điểm) Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng 2

b c  c a  a b  .

ĐỀ CHÍNH THỨC

-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Năm học 2013 – 2014

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương

b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

Chứng minh rằng a8n  3a4n  4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n.

a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC

sao cho AN = CM Gọi K là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng KD là tia phân giáccủa góc AKC

b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC) Biết BC = 4 4 3  và bán kính đường tròn nộitiếp ∆ABC bằng 2 Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC

Câu 5 (3 điểm).

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B

và C) Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếpxúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

a Cho phương trình: 2 x2  2 mx m  2  2 0  (tham số m) Tìm m để phương trình

có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn | 2 x x1 2  x1  x2  4 | 6 

, NIvà NJ lần lượt cắt (O) tại E và F

a Chứng minh MI  MB Từ đó suy ra BIJ và CIJ là các tam giác vuông

b Chứng minh I, J, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

b) Tìm giá trị của A khi x  6 2 5

c) Với giá trị nào của x thì

1 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi

H là hình chiếu của điểm A lên BC Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

a) Chứng minh tích OI.OM không đổi

b) Tìm vị trí của M để Δ MAB đều

c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định

Bài 5(1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

ĐỀ CHÍNH THỨC

(x + y)4 = 40y + 1.

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI Năm học: 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) Kẻ hai tiếp tuyến AB,ACvà cát tuyến ADE tớiđường tròn đó (B,C là 2 tiếp điểm và D nằm giữa A và E.Gọi H là giao điểm của AO và BC.

1 Chứng minh 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn

2 Chứng minh rằng: AH.AO = AD.AE

3 Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB, AC theo thứ tự ở M, N biết OA = 6cm; R = 3,6cm

4 Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC ở I,K Chứng minh rằng:

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

1) Tính sin2MBA sin2MAB sin2MCD sin2MDC

2) Chứng minh: OK2 AH R AH(2  )

3) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất.

Bài 5: (1,0 điểm)

Tìm n N* sao cho: n4 + n3 + 1 là số chính phương.

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI Năm học: 2011 - 2012

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ii) Tìm các giá trị của x để B 2 x  x23x 2 .

Câu 5 ( 6điểm):

Cho ABC (AB = AC) Vẽ đường tròn có tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D và E) Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại

-PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

1 Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức A

2 Tính giá trị của A khi x 17 12 2 

Cho đường tròn (O;R) AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc vớinhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của M trên

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC,

góc ACB bằng α, góc AMB bằng b Chứng minh rằng: sin   c os   1 sin  b

. -H ết -

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

THANH OAI

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

2 Cho n là số nguyên dương và n lẻ CMR: [(46 )n+296 13n]⋮1947

Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình: x2 3 x 2 x 3 x 2 x2 2 x 3

b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn

MP vuông góc với AB(PÎ AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( QÎ AE)

1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ

là hình chữ nhật

2 Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng

3 Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy

ra K là trung điểm của MP

4 Đặt AP = x Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) đểhình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất

Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

x A





 

Câu 3 (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2)

1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2) Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó

Câu 4 (6,0 điểm):

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi M là điểm nằm giữa A và B Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.

1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

2) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 4x2-(8y+11)x+(8y2+14)=0

Tìm y khi x lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Bài III (5 điểm)

1) Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.

2) Cho các số thực không âm x y thay đổi và thỏa mãn x+y=1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

B = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

Bài IV (6 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.

1) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K) đường kính AC Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).

Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích tam giác AMB.

2) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE.

So sánh và với cos ·AEB

Bài IV (2 điểm)

Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với k Î {1; 2; 3} Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.

1) Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng?

2) Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương?

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

b) x2  5x 8 2 x 2   

Câu 3:

a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0

c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số.

Câu 4:

a) Chứng minh rằng a4+b4

3+a3b − a2b2

b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện

a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).

Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F

a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

b) Giả sử HD =

1

c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK Chứng minh

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)



nhận giá trị nguyên?

Bài 2 (2,0 điểm)

a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3   , y 6 x   và y mx  có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (m) Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố

định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra

BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại

F.

a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi.

c) Chứng minh A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N Chứng minh OMN là tam giác vuông

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4  5x3  38x2  5x 6 0  

Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh

-PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của

H trên AB và AC Chứng minh:

a) DE2=BH.HC

b) AH3=BC.BD.CE

2) Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c Chứng minh

Âsin2

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

KỲ ANH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

d) (D) và (L) cắt nhau tại M và N Chứng minh OMN là tam giác vuông

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4  5x3  38x2  5x 6 0  

Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M

-PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

PHÙ NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 25

Câu 1 (4,0 điểm):

a Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

b Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Câu 2 (4,0 điểm):

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC vàgóc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức

a) BD.CE = 4

2

BC

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED

c) Chu vi tam giác ADE không đổi

Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:

Hết

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CAN LỘC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

y x xy

y x

1

21

:1

x m







c b

a Thì : ac bc  ab.

Bài 4 : (6đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R Điểm M di động trên đoạn OC Vẽ

đường tròn tâm (O’) đường kính MD Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F Đường thẳng ED cắt (O’) tại P

1 Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng

2 Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

3 Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất

Bài 5 : (3đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :

6

1)

1(2)

1(3)

1(

xyz

xyz x

z z

y y

……… Hết ………