Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:.. Tiệm cận xuyên..[r]
Trang 1
TRUONG THPT DUONG HAO HOC
TO TOAN
ĐỀ CƯƠNG
ON THI TN THPT QUOC GIA
(C): y = x?- 4x +3
di: y = 4x - 6
Tan An, 2017
Trang 2
Mục lục
1 TIỆM CAN CUA DO THI HAM SO
11 Ly thuyét 2
1.1.1 Tiệm cận ding 2 Q Q Q Quy va
1.1.2 Tiệm cận ngang
11.3 Tiệm cận xuyên Q1 va
1.1.4 Một số hàm đặc biệt
12 Mots6baitoan 2 0
1.2.1 Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1.2.2 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1.2.3 Tìm tiệm cận xiên của đồ th hàm số 1.2.4 Một số bài toán liên quan đến tiệm cận
Trang 3Chuong 1
TIEM CAN CUA DO THI HAM SO
1.1 Lý thuyết
1.1.1 "Tiệm cận đứng
Dường thẳng z = zọ được gọi là #@m cận đứng của đồ thị ham sé y = ƒ(z})
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f(a) = +00 lim f(a) = —oo
z->#g 1-0
lim f(a) = +00 lim ƒ(#) = —œo
1.1.2 "Tiệm cận ngang
Dường thẳng + = 1o được gọi là tiệm cận ngang của do thi ham sé y = ƒ(z)
nêu ít nhât một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f(x) = yo im ƒ(#) = Yo
z->+eœc
1.1.3 Tiệm cận xuyên
Duong thang = a# + b (a # 0) được gọi là fiệm xiên của đồ thị hàm số
y = f(x) néu it nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim [ƒ(2) — (az + b)| =0 lim [f(x) — (a + b)| =0
* Lưu ý: Dể xác định hệ số a, Ò trong phương trình tiệm cận xiên, ta có thể
áp dụng công thức sau:
a= lim —(a¥0);b= lim [f(x) — az]
hoặc
m JY” (z0) ,b= lim |[ƒ(z) — az]
#->—OA # #—>—O©
Trang 4Dat biét: Néu a = 0 thi ta có tiệm cận ngang
1.1.4 Một số hàm đặc biệt
* Ham nhat bién y = với ad £ bc
co+d Hàm này có tiệm cận đứng là # = —-
a
Ham nay có tiện cận ngang là = —
C
2
* Hàm hữu tỈ „ = ————— = m+ + mn + v6i ab 4 0
Hàm này có tiệm cận đứng la x = —n:
Hàm này có tiện cận xiên là = ?nz# + mn
1.2 Một sô bài toán
1.2.1 Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
* Phương phap
- Tim tap xác định
- Tìm các giới hạn
lim f(a) +
+->Zg
trong đó zọ là các điểm đầu khoảng xác định
- Nếu một trong giới hạn trên bằng +oc thì đường thắng # = zọ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
* Một số bài toán
Bài toán 1.1 Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
8) Ung Y= Bad) UY TSS
2 +2 + 9 3 %2 — 3z + 2
Lời giải
) 32 —7
a —
7 Ap 4
Tap xac dinh: D=R \ {1}
i 32 —7 - im oe! toc
„ H+ 4g — 4 Y5 in 4e 4
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là z = 1
3x2 — 6 3# — 6
b)
z2— 3+9 (a — 1)(a — 2)
Trang 5Tap xdc dinh: D = R \ {1; 2}
lim Oe TS dư 8 _— +œ và lim và ee Ý dư 5 _—_— œ
xt (x — 1)(œ — 2) z->L~ (x — 1)(œ — 2)
Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thi ham số
lim —_—_—— = —o0 dư 5 co va lim va ————= dư 8 +00
x32+ (a — 1)(a — 32) x1- (x — 1)(a — 2)
Suy ra # = 2 là tiệm cận đứng của đồ thi ham số
Vay đồ thị có hai tiệm cận đứng là z = I và z = 2
2 Ộ
ut Tập xác định: D = (3; +œ)
c)y= —
2% +5
r33t \/¢ — 3 Suy ra # = 3 là tiệm cận đứng của đồ thi ham số
* Chú ý: Vì tập xác định = (3; +œ) nên ta chỉ xét giới hạn khi z —> 3Ÿ
d) y= x—3
7 „2 +9
Tap xac dinh: D = R
Vì tập xác định của hàm số là R nén dé thi khong c6 tiém can ditng
x — 2 x —2
0) Y= z2—=3z+2_ Fs (z—1)(x— 2)
Tập xác định: 2= R\{1;2}
l 1m ra? = hm lim —~ = 4 = +0Oo
z->1T (x — 1)(œ — 2) z->l† # —
lim = = lim ——— = —
x17 (x — 1)(œ — 2) rol-x—-1 7 nén x = 1 la tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
lim —_— _“— —= ln —— = | z—2 (œ — 1)(+ — 2) z2 — Ì
nên x = 2 khong là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy đồ thị có hai tiệm cận đứng là z = l
1.2.2 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
* Phương phap
- Tim tap xác định
- Tìm các giới hạn
lim ƒ(z)
B00
Trang 6- Nếu một trong giới hạn trên bằng b thì đường thăng = ð là tiệm cận ngay của đồ thị hàm số
* Một số bài toán
Bai toan 1.2 Tim các tiệm cận ngang của các đồ thị hàm sô sau
3 5 — 4a — x? 2 2z + 2
Lời giải
a) y =——————
Ụ 5 — 4+ — +2
Tập xác định: 2 =R\ {1;—5}
14242
2427 43 ~ +a
toto 5 — dr — +2 too DF
v2 8
Suy ra đường = —I là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
b) _ W#øÝ—=l+ðz+3
go 2z +2
Tập xác định: = (—œ; —1) U [1;-+œ)
1 3
i im vz”—1+5z+3_ = (TT? Ty — 3
z—=>+œo 2r+ 2 z—=>+œo 2
Suy ra Dường # = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi #z —> +œ
i 3
LX
Suy ra Dudng y = 2 là tiém can ngang cua dé thi ham sé khi r 4 —oo
1.2.3 Tim tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
* Phương phap
- Tim tap xác định
- Tìm các giới hạn:
+ Nếu ƒ(#) = az-+b+
n4 + n thì „im |ƒ(œ)—~az+b = nên 1 = a#-LD
Trang 7là tiệm cận (xiên hay ngang) của đồ thi ham số
+ Nêu ƒ(z) chưa viết được như trên thi ta tim a,b theo cach sau:
f(x)
a= lim —— (a #0) ;b= lim (f(x) — a]
hoặc
a= tim 1) (@ 40) :b= lim [f(e) — az
* Lưu ý: Néu a = 0 thì ta có đường tiệm cận tìm được là tiệm cận ngang
* Một số bài toán
Bài toán 1.3 Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm sô sau:
ø) = 4z + 5 + b)U= Va? — 4x 4+ 4z
2z — 8
Lời giải
Tập xác định 2 =R\ 14}
Suy ra đường thắng = 4z + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
b) y= Va? — 4a + 4z
Tap xdc dinh D = (—oo; 0] U [4; +00)
Giả sử = az + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
+ Khi x > +00
y Vu? — 4x + 4z
a= lim —= hm
= lim (yi 24) =5
L>+00 v
b= lim (y—5a) = lim (2? = 4x — x)
z->+eœc z->+œ=
rito Jp dg tp toto h 44
Xv Vay khi x > +00 thi đồ thị có tiệm cận xiên la y = 5x — 2
Trang 8+ Khi 7 >> —œo
y Vu? — 4x + 4z
a= lm —~= lm
#->—Qœ° # #—>—œ %
4
= lim #->—Qœ© = =3 %
b= lim (y—3z) = lim ( — de + 2)
- -
= lim —————= lu —————=2 t>—0 4/72 — Ar — x Z—>—Qœ h 4 1
Xv Vậy khi z —> —œ thì đồ thị có tiệm cận xiên là = 3z + 2
1.2.4 Một số bài toán liên quan đến tiệm cận
#2 -L ma — Ì x—l
Tìm m sao cho tiệm cận xiên của (Cm„) tạo với hai trục tọa độ một tam giác
có điện tích bằng 2
Bài toán 1.4 Cho (C;,) : =
Lời giải
u=z+m+l+———=
#—]
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là d: = #z -+rn + 1
* Goi A= dM (Oz), suy ra A(—m — 1;0)
* Goi B= dn (Oy), suy ra B(x;m + 1)
Theo giả thuyết ta có
2 m+ 1 = 2
©(m+1)/“=4«© mài — s2
es m=l1
m=—3
Vay m = I hoặc m = —3 thi tiệm cận xiên của (Œm,) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2
Bài toán 1.5 Cho hàm sô (C): = z —
œẹ —
a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M năm trên (C) đến
ĩ
Trang 9hai đường tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vào vi trí M
b) Tim M € (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ
nhất
Lời giải
Ta có
7
—=2+——
* Tiệm cận đứng của (C) la x = 3
* Tiém can ngang cua (C) la y = 2
Gia su M là S (m 72 +) € (C) (C)
Khi đó, khoảng cách di, đạ tương ứng từ M đến tiệm cận ngang và tiệm cận
đứng của (©) là
do — x9 — 3|
Vậy dịda = ï = const
b) Theo bất đắng thức côsi thì
d, + dy = + |xo — 3) > 2V7
I#o — 3|
Suy ra
(di + dz) min = 2V7 khi va chi khi
7
|#o — 3|
— là — = |zo — 3| © |#o — 3| = V7 _ 3) SO »o=3— V2 ry =
Vậy trên (C) có hai điểm cần tìm là
M(3 + V7;2 + V7) và M(3 — V7;2 — V7)
+ -+ 3z — 1
z— 2ˆ a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M năm trên (C) đến hai đường tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí M
b) Tim M € (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ
nhất
Bài toán 1.6 Cho hàm số (C): ¿ =
Trang 10Lời giải
Ta có
9
Uu=z+o+ #— 2
* Tiệm cận đứng của (©) la x = 2
* Tiệm cận xiên của (C) là = z + 5
Giả sử M Ízuip + 5 + ;) € (C)
0
Khi đó, khoảng cách di, đạ tương ứng từ M đến tiệm cận ngang và tiệm cận
đứng của (©) là
dy = x9 — 2|
9
to — (20 +54 )+5
v2 V2|zo — 9|
9 94⁄2 Vậy dịda = —= = 9v2 = const J 2
b) Theo bất đắng thức côsi thì
đị + dz = |#o — 2| + 9
V2|zo — 2| V2 4⁄2
Suy ra
khi va chi khi
Vậy trên (C) có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán
z2—ø-+l z—]
Tìm M € (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai tiệm cận
là bé nhất
Bài toán 1.7 Cho hàm số (C): =
Lời giải
Ta có
ng
Trang 11* Tiém can ditng cua (C) la x = 1
* Tiệm cận xiên của (©) là = #
Giao điểm hai tiệm cận là 7(1; 1)
1
Giả sử Mĩ (me + ) € (C)
Xp —1
khi đó
1 2
MI= (2 — 1) + (ay — 14 )
ro — 1
2 1
Théo bất dắng thức Côsi ta có
1 2(ay — 1)? + ——— > 2v2
(% — 1°
Vì thế từ (1) ta có
MI > \/2V2+2
Vay
1
0—
1
1
m =l+ a5 2
| ty = 1— WA
Vậy trên (C) có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán
Bài toán 1.8 Cho hàm sô (C): = a 5
Xv —
Tìm Ä⁄ € (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Lời giải
Ta có
Oo
10
Trang 12* Tiệm cận đứng của (C) la x = 3
* Tiém can ngang cua (C) la y = 1
Gia sit M (ps1 + ) E (C)
0 3
Khi đó, khoảng cách di, dạ tương ứng từ M đến tiệm cận ngang và tiệm cận
đứng của (©) là
_ 5
|#o — 3|
do — x9 — 3|
dy
Theo giả thuyết ta có
_ "¬= al r=
dị = da © |#o — 3| 5 = |zo — 3| © |#o — 3| = VES zo=3— V5
Vậy trên (C) có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán
* Bài tập tương tự
Bài 1 Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm sô sau:
3a° + 4a —
—= 27 — Ð djy=
c) y = 2x +3 dy 73
e+tart+2 f) —# + ö
Bai 2 Tim các tiệm cận của các đồ thị hàm sô sau:
1 a)U=—=2z— 4+ wz2— 4z + 3 bìwu= oe
Vz 2z + (m + 1)+ — 3
„ + +Tmn
a) Dinh m dé tiém can xién ham so di qua A(1;5)
b) Tim m để giao điểm 2 tiệm cận của (C,,) thudc (P) : y = 2? — 3
Bài 3 Cho (C?„) : =
11