Chuyên đề: Cực trị hàm nhiều biến

Phương pháp: Ta tách biểu thức đã cho một cách thích hợp và ghép các biểu thức lại sao cho khi áp dụng các bất đẳng thức đúng đã biết, thì triệt tiêu biến... Phân tích: Đ[r]

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Phạm Thị Hồng Nhụy

I Các kiến thức chuẩn bị

I.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Định nghĩa Cho A là một biểu thức đại số (một biến hoặc nhiều biến)

* Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu thỏa hai điều sau:

a) A  m với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định D của A

b) Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m Kí hiệu: m =

D min A

* Số M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu thỏa hai điều sau:

a) A  M với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định D của A

b) Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị M Kí hiệu: M =

D max A

I.2 Các bất đẳng thức cổ điển

a Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean-Geometric mean)

Định lí Cho a1; a2;…; an là các số không âm, n 2 Khi đó ta có 

1 2 n

a a a

a a a n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1a2   an

Hệ quả Cho a1; a2;…; an là các số không âm Khi đó ta có

b Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Định lí Cho dãy số a1, a2, …., an và b1, b2, ….,bn >0. Khi đó ta có

(a1 b2+ a2 b2+…+ anbn )2 2 2 2  2 2 2

(a a a ) b b b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n

b  b   b Với quy ước bj =0 thì ai=0

Hệ quả Cho dãy số a1, a2, …., an và b1, b2, ….,bn>0 Khi đó ta có

II Các bài toán

Dạng 1 Tách ghép các biểu thức

Phương pháp: Ta tách biểu thức đã cho một cách thích hợp và ghép các biểu thức lại sao cho khi áp dụng các bất đẳng thức đúng đã biết, thì triệt tiêu biến Các phương pháp thường sử dụng là: Thay số bằng chữ, thêm bớt, kỹ thuật tạo ngược dấu,…

Bài 1 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a b c 1   Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

Phân tích: Biểu thức đã cho là biểu thức hoán vị vòng quanh Nhận thấy

2bc, 2ca, 2ab có thể dùng AM-GM để đưa mẫu củ các phân thức về giống nhau

là a2 b2 c2 Tuy nhiên khi đó ta không thể đưa về a+b+c để sử dụng giả thiết

vì khi đó ngược dấu: 2 12 2 1 2

3

    (Cauchy Schwarz).

dụng khéo léo giả thiết ở chỗ a b c  1 nên A.1 A.(a+b+c) 2 Sau đó tách

(a+b+c) 2 thành a2 2bc  b2 2ac  c2 2abvà sử dụng kết quả quen

thuộc       

1 2 3

1 2 3

a a a Ta có lời giải sau:

Giải: Do a b c 1   nên ta có:



2 2

2 2 2

9

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 1

3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9

Bài 2 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

A

Phân tích: Trước hết, A là biểu thức hoán vị vòng quanh Dấu “=” xảy ra

khi ba biến bằng nhau và bằng 1 Tiếp theo, với mong muốn khi đáng giá bằng

AM-GM thì triệt tiệu mẫu nên ta đánh giá với 3 số

3

a ; 1 b 1 c ;

Từ đó ta có lời giải sau:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

3

3

3

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

A a b c

3 3 abc 3 3

Khi a = b = c = 1thì dấu bằng xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3

4

Bài 3 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2 b 2 c 2 3 Tìm giá trị nhỏ

A

b c c a a b

Phân tích: Đây là bài tương tự bài 2 A là biểu thức hoán vị vòng quanh,

thì triệt tiệu mẫu nên ta đánh giá với 2 số   



3 a b c

a ;

b c 4 Từ đó ta có lời giải

sau:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

2



3

2

b c a

c a 4 (2) ;



3

2

c a b

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

2 2 2

Mặt khác ta có:

2 2 2

2 2 2

a b c ab bc ca

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:

 A a 2 b 2 c 2 3

Dễ thấy, khi a = b = c = 1 thì A = 3

2

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 3

2

Bài 4 Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện a b c 3 Tìm giá   

trị nhỏ nhất của biểu thức

A

a 2b b 2c c 2a

Phân tích: Ta cũng có A là biểu thức hoán vị vòng quanh Dấu “=” xảy ra

khi ba biến bằng nhau và bằng 1 Nếu ta thực hiện giống bài 2 và bài 3 thì phần

dư sẽ làm cho bài toán phức tạp hơn Do đó, trước khi đánh giá bằng bất đẳng thức đúng đã biết, ta tách  

a

a 2b a b b Khi đó công việc tiếp theo

là dùng AM-GM cho mẫu thức mà không bị đổi chiều Từ đó ta có lời giải sau:

Giải: Ta có:

 

3

3

Tương tự ta có:

 

 

3 2

b bc 3

3 2

c ca 3

c 2a

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:

2

3 2

3

Mặt khác ta có:

3 (1’)

3 (2’) ;

3 (3’)

Cộng theo vế (1’), (2’) và (3’) ta có

 

2

2

a b c

2 .3 1 3 . 3

             

Từ (*) và (**) ta có: A 3 2 1.  

Dễ thấy, khi a = b = c = 1 thì A = 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1

Bài 5 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a b c 3 Tím giá trị nhỏ   

1

Phân tích: Cách làm tương tự bài 4, ta tách  

a

a 2b a b b Từ

đó ta có lời giải sau:

Giải: Ta có:

3 2

3

Tương tự ta có:

 

2

3 2 3

b b 2 c b

3

2

3 2 3

3

c 2a

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2

2

3 2

3

Mặt khác ta có:

 

(2')

3 2 2bc c

c b



 (3')

3 2 2ca a

a c

3

Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được:

 

 

 

3 2 3 2 3 2

2

a b c 2

a b c

a b c 2 3

Từ (*) và (**) ta được A 1

Dễ thấy, khi a = b = c = 1 thì A = 1 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1

Dạng 2 Đổi biến số

Bài 6 Cho tam giác ABC, có AB = c, BC = a, CA = b Tìm giá trị nhỏ nhất của

b c a c a b a b c

Phân tích: Trước hết, B là biểu thức hoán vị vòng quanh Dấu “=” xảy ra

khi a= b = c Bài toán khá đơn giản, vì ta chỉ cần đặt

b c a x; c a b y; a b c z thì sẽ đưa được về các phân thức có mẫu chỉ là một chữ Từ đó ta có lời giải

sau:

Giải:

Đặt

    

    



    



b c a x 0

c a b y 0

a b c z 0

 y z z x x y 

B



2 y x 2 z x 2 z y . . .

2 x y 2 x z 2 y z 3

Khi x = y = z hay a = b = c thì B = 3

Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất là 3

Bài 7 Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa a c b c   1 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức sau:

     

B

Giải: Đặt:

    

x , y , a b x y

Khi đó:

B

x y

 2 2 2

2 2

x y

x 2xy y



2 2

2 2

1

4

 

 



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi      

 

x 2 y 2  3 x 2 y 2 1 (loại)

Kết hợp với xy = 1, ta tìm được x 5 1 ,y 5 1 .

giá trị của a, b, c để B có thể bằng 4 như sau:    

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 4

Bài 8 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1 

Tìm GTNN của biểu thức:

A

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

Phân tích: Trước hết ta đánh giá x+y, z+x và x+y rồi sau đó mới đổi biến

Từ đó ta có lời giải sau:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

x 2 yz y 2 zx z 2 xy A

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

2x x xyz 2y y yzx 2z z zxy

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

2y y

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

Đặt:







1

9

a y y 2z z

1

9

9

Khi đó

A

2 6 4.3. b a c . 3. c a b . 2 6 12 3 2

Dấu “=” xảy ra    a b c 1 Vậy GTNN của A là 2

Dạng 3 Dựa vào trường hợp dấu bằng xảy ra để đánh giá

Trong các bất đẳng thức, dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

i Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được

tại tâm

ii Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta đi đánh giá một cách thích hợp

Bài 9 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c 1   Tìm GTLN của

Phân tích: Do C là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN

của A đạt tại a b c   1   a b 2 , b c 2 , c a  2

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2

a b

  

2

b c

b c

  

2

c a

c a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

A a b  b c  c a 

2 a b c 3.

  

Dấu “=” xảy ra           a b b c c a 2 a b c 1

Vậy GTLN của D là 6

Bài 10 Cho a, b, c  2 ; 2 thỏa a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của   

C = 4 a 2  4 b 2  4 c  2

Phân tích: Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta

dự đoán dấu “=” xảy ra khi: a b c 1 Khi đó   

  



  



2 2 2

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:





(1)

(2)

(3)

2 2

2 2

2

7 b

2 3

7 c

2 3

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

2 2 2

2 3

Mà theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

 

2

2 2 2

a b c

3

nên



2

a b c 21

3

Dễ thấy, khi a = b = c = 1 thì C = 3 3

Vậy C đạt giá trị lớn nhất là 3 3

Bài 11 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ   

nhất của C a b c    3 9  4

a 2b c

Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi a 2b 3c 20   tại

a 2,b 3,c 4





 



 



a 2

3 3

a 2

 





b 3

3 3

2

2b 2





 



 



c 4

4

4 1 c

Từ đó ta có lời giải sau:

Giải: Ta có           

A

    

3 3 2 5 13

Dấu “=” xảy ra   a 2,b 3,c 4  

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 13

Bài 12 Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 6   Tìm GTNN của

     

Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài

căn Giả sử với các số  ,  ta có:



2

2 2

2 2

1 a

b c

Tương tự

2

2 2

2

2 2

 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a b c 2   

     





4

1

, chọn











1

4





Ta có lời giải:

Giải Ta có

2

2 2

3

17

       



3

3 17

2

Với a b c 2   thì A =

2

17 3

Vậy GTNN của A là 3 17

2

Và sau đây là các bài tương tự:

Bài 13 Tìm GTNN của C = 

3 3

x y

xy z với x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Giải Ta có:

  

3 3

y y y x

3 3 3

 

 

 

3 4

3 3

y

4 x

3

xy z

 C4 

4

3 3 9 12

4 . 1

3 x y z

=

4

3 3 9 12 3 9 12



4

3 9 12

=

56 12

2

3

Vậy C 

14 3

2

3

(x;y;z) x ;y ;z

Vậy C đạt giá trị nhỏ nhất là

14 3

2

3

Bài 14 Cho các số thực a, b, c thỏa

 

 



 



a 2

b 6

c 12

Tìm GTLN của

C

abc

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

2

3

4

4

abc abc

4 64 8 2

Khi đó ta có: A 1  3 1  1  5  3 1

2 2 3 9 8 2 8 2 3 9

Dấu “=” xảy ra

Vậy GTLN của A là 5  3 1

Bài 15 Cho số thực a, b thỏa 36a 2 16b 2 9 Tìm GTLN và GTNN

của A   2a b 5

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

 

  

2

2

2a b

 

     

2 25 2a b

16

2a b

Ta có:

GTNN của A là 25

hay a 2 ,b  9

GTLN của A là 25

haya 2 ,b 9