Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn .O/: Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E: Trên đường tròn ngoại tiếp ta[r]
Trang 1THPT CHUYEN DHSP HA NOI
Võ Quốc Bá Cân — Nguuễn Lê Phước - Nguuễn Mạnh Linh
1 Đề thi
Bài 1 Cho các số thực x, y không âm thỏa mãn điều kiện
(x +1) +1)=2
Tính giá trị của biểu thức
P= vgx?+y2?- /2(x2 + 1)(y?+l)+2+xy
Bài 2 Cho các số thực không âm x, y, z thay đối thỏa mãn
x?+y2+z?+x2y?+y2z2+z?x? =6
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
@=x+y+z
Bài 3
a) Cho a, Ð là hai số nguyên dương phân biệt Xét biểu thức
_ (a + b)?
~~ a + ab? —a2b — 53 Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên
b) Cho z, Ð là hai số nguyên dương, đặt
Chứng minh rằng 4 và 8 không đồng thời là số chính phương
Bài 4 Cho tam giác 4BC có ba góc nhọn, 4B < AC và nội tiếp đường tròn (Ó) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BÓC cắt các đường thắng 4? và AC theo thứ tự tại D và E Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BÓC lây điểm P sao cho AP vuông góc với PC Đường thắng qua song song với OP cắt PC tại Q Chứng minh rằng
a) PB = PQ
b) Ó là trực tâm của tam giac ADE
c) ZPAO = ZOAC.
Trang 2Bài 5 Có 45 người tham gia một cuộc họp Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu hai người có số người quen băng nhau thì lại không quen nhau Gọi Š là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp) a) Xây dựng ví dụ để § = 870
b) Chứng minh rằng S < 870
2 Lời giải và bình luận các bài toán
Bài 1 Cho các số thực x, y không âm thỏa mãn điều kiện
(x +) 4+ 1) =2
Tính giá trị của biểu thức
P=yx?+y?- v2œ?+1)0?+l1)+2+xy
Lời giải Đặt Š = x + y và 7 = xy Từ giả thiét, tacd S + T = 1, suyra
x? + y? — Vv2(x?+1)(y?+1)+2= §?-27 +2- v2[—7)2 + %3]
= §?-2(1— S)+2— /2(S2 + S?)
= $2,
Từ đó ta có
P=S+T—I
£ ¬
Bài 2 Cho các số thực không 4m x, y, z thay đối thỏa mãn
x?+y?+z?+x?y? + y2z? + z2x? =6
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
@=x+ty+z
Lời giải Giá trị lớn nhât của P: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
x? y? + 1 > 2xy, y?z? +l>2yz, z?x”-+1>2zx
Cộng các bất đẳng thức trên lại theo về, sau đó cộng hai về của bất đẳng thức thu được với x? + y* + z7, ta được
(x+y+z)<x?+y7+z2+x?y?+ y”zZ+z?x?+3 =9
Từ đó suy ra
O <3
Mặt khác, dễ thấy dấu đăng thức xảy ra khi x = y = z = 1 nén taco két luan max O = 3
Trang 3Giá trị nhỏ nhât của P: Ta sẽ chứng minh Ó > 4⁄6 với dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
x = 46, y =z =0 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
2xy + x*7y? <x? + y? 4+ x7y? <x*ty?4+ 774 x7y? + y2z7 + 27x? = 6,
từ đó suy ra
xy< J7—-1 <2
Chứng minh tương tự, ta cũng có
yZ<2, ZX <2
Do đó, ta có
O?=x”+y +z”7+2xy+2yz+2zx >x”+y“+z”+x?y + y”z7+z7x? =6,
hay
Ó > V6
Bài 3
a) Cho a, Ð là hai số nguyên dương phân biệt Xét biểu thức
_ (a +b)?
— g3 -+ gb2 — q2b — b3`
Chứng minh rằng M⁄ không thể nhận giá trị nguyên
b) Cho zø, Ð là hai số nguyên dương, đặt
A=(a+b)?—2a*, B=(a+b)— 2b7
Chứng minh rằng 4 và 8 không đồng thời là số chính phương
Lời giải a) Ta có biến đổi
_ (a + b)?
— (a—b)(a2 +b?) Giả sử M 14 s6 nguyén, khi dé tacé (a + b)* chia hét cho a* + b? Suy ra 2ab chia hét cho ø2 + b2 Điều này vô lý do
0<2ab=a*+b*-—(a—b)*? <a*4+)?
Vậy M không thể là số nguyên
b) Giả sử tôn tại các số nguyên duong a, b sao cho (a + b)? — 2a? va (a + b)* — 2b? đều là số chính phương Trong các cặp số nguyên dương (z, b) như vậy, ta xét cặp sao cho
a nhỏ nhất Đặt
(a + b)? — 2a? = x”, (a + b)? — 2b? = y?
Trang 4VỚI x, y nguyên dương Ta có
(a+ b)* —x* = 2a’
nén a + ở và x cùng tính chẵn lẻ, suy ra (2 + b)2 — x7 chia hết cho 4 Từ đó ta có 22 chia hết cho 4, suy ra ø chia hết cho 2
Chứng minh tương tự, ta cũng có Ð chia hết cho 2, suy ra x, y chẵn Từ đó, ta có
đều là số chính phương Do đó cặp số ($ 2) cũng thỏa mãn yêu cầu Điều này mâu thuẫn với cách chọn cặp (z, b) Vậy với mọi z, b nguyên dương, các số 4 Ö không thể đồng
Bài 4 Cho tam giác 48C có ba góc nhọn, 4B < AC và nội tiếp đường tròn (Ó) Đường tròn ngoại tiếp tam giác Ð ÓC cắt các đường thắng 4 8 và AC theo thứ tự tại D
và E Trên đường tròn ngoai tiép tam gidc BOC lay điểm P sao cho 4P vuông góc với
PC Đường thẳng qua Ö song song với OP cat PC tai OQ Chứng minh rằng
a) PB = PQ
b) Ó là trực tâm của tam giác 4A DE
c) ZPAO = ZQAC
Lời giải a) Ta có “#PQ = ZBOC vaZPQB = ZOPQO = ZOBC néncac tam giác PBO va OCB dong dang (g-g) Ma OB = OC néntaco PB = PQ
A
Trang 5b) Tac6 ZOBE = ZOCE = ZOAC, ma ZOBA = ZOAB nén ZEAB = ZEBA Tu đó suyra EA = EB Laicé OA = OB nén OE L AB
Chứng minh tương tu, ta cing co OD L AC nén O la truc tam cua tam giac ADE
c) Gọi 7 là giao điểm tht hai cia CP va (O) Tacéd ZBPC = ZBOC = 2ZBTC nén
PT = PB.Ma PB = PQ nén PT = PO Ma ZAPO = 90° nén
1 LPAQ = ZPAT = 90° — ZATP = 90° — ZABC = 90° — 2⁄40C = ZOAC
Bài 5 Có 45 người tham gia một cuộc họp Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta
thấy rằng: nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau Gọi Š là
số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp)
a) Xây dựng ví dụ để S = 870
b) Chứng minh rằng $ < 870
Lời giải a) Chia 45 người thành 9 nhóm, nhóm thứ ¡ có 7 người (l < 7¡ < 9) Ta xét ví dụ
khi mỗi người ở một nhóm đều quen tất cả mọi người ở nhóm khác, nhưng không quen ai ở chính nhóm mình Nói cách khác, mỗi người ở nhóm ¡ quen đúng 45 — ¡ người khác Khi đó
1
S = 7-444 2-43 + -+ 9-36) = 870
b) Goi a; 14 s6 ngudi quen ding i người khác (I < ¡ < 44) Nếu một người P quen i ngudi thì anh ta không quen ai trong ø; người này, nghĩa là P quen nhiều nhất 45 — a; ngudi, hay
i < 45 —a;,suyraa; € 45 —ï Ta có ai + - + đaa = 45 và
l
S = 5 (a1 + 2a + -'' + 44a44)
l
< 264i + 36a; + - + 36a3¿ + 37434; + - + 44444)
l
— 2 (360i + đa + - + đaa) + 437 + 2438 + + + 8a44)
1
= 870
Khang định được chứng minh LÌ