DE KIEM TRA HSG TOAN 7

a Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.. PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH.[r]

PHÒNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH

TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Môn: Toán Năm học 2017-2018

Thời gian:150 phút(không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (1,0 điểm)

a Tính hợp lý các biểu thức sau:

4 8  4 8

b Tìm x biết: 3 12: |2 x −1| = 2122

Bài 2 (1,0 điểm)

Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z  và 3x-7y+5z=30

Bài 3 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA

a) Chứng minh: CD // AB

b) Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N

Chứng minh rằng: ABH = CDH

c) Chứng minh: Δ HMN cân

Bài 4: (4,5 điểm)

a) Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11

b) Chứng minh rằng :

Với mọi số nguyên dương n thì : 3n2 2n2 3n 2n

   chia hết cho 10 c) T×m 3 sè nguyªn tè sao cho tÝch cña chóng gÊp 5 lÇn tæng cña chóng

Bài 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x+1

2−|x −2

3|

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh

PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM

TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2017 -2018

Môn:Toán

Lớp: 7

Bài 1

(1,0đ)

b Nếu x>1

2 Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)

72 : (2x – 1) = 2122 <=> 2x – 1 = 72 : 2122 = 72.22

21=

11

3 <=>x = 143 : 2 = 73 > 12 Nếu x<1

2 Ta có:

7

2 : (1 - 2x) = 2122 <=>x = 38 : (-2) = −4

3<

1 2 Vậy x = 73 hoặc x = −4

3

1,0đ

0,5đ

0,5đ

Bài2

(1,0đ ) Ta có

2x 3y

(1)

5x 7z

(2) Từ (1) và (2)

21 14 15

x

y

14 4  2 ;

z

15 4  4 Vậy

0.5đ

0.5đ

Bài 3

(2,5đ)

a/ Chứng minh CD song song với AB.

Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:

BK = CK (gt)

B ^ K A=C ^ K D (đối đỉnh)

AK = DK (gt)

 ABK = DCK (c-g-c)

 D ^ C K=D ^ B K ; mà A ^ B C +A ^ C B=900  A ^ C D= A ^ C B+B ^ C D=900

 A ^ C D=900=B ^ A C  AB // CD (AB  AC và CD  AC)

b Chứng minh rằng: ABH = CDH

Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:

BA = CD (do ABK = DCK)

AH = CH (gt)

 ABH = CDH (c-g-c)

Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:

AB = CD; A ^ C D=900

=B ^ A C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c)

 A ^ C B=C ^ A D

mà: AH = CH (gt) và M ^ H A=N ^ H C (vì ABH = CDH)

 AMH = CNH (g-c-g)

 MH = NH Vậy HMN cân tại H

0.25đ

0,5đ 0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

Bài 4

(4,5đ) a) Ta có: abcabc = a.10

5 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c

= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)

= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)

= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)

= 11.91( a.102 + b.10 + c) ⋮ 11

0.5đ 0,5đ 0,5đ

b 3n2 2n2 3n 2n

   = 3n2 3n 2n2 2n

0,5đ

A

K

C H

=3 (3n 21) 2 (2 n 21)

=3 10 2 5 3 10 2n  n  n  n110

= 10( 3n -2n-1)

Vậy 3n2 2n23n 2n 10 với mọi n là số nguyờn dương

0,5đ 0,5đ

c Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có:

a.b.c = 5(a+b+c) => abc  5

Vì a, b, c có vai trò bình đẳng Giả sử: a  5, vì a P => a = 5 Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) <=> 5+b+c = bc <=> bc-b-c +1 = 6

<=> b(c-1) – (c-1) = 6

(c-1)(b-1) = 6

Do vậy: b-1 = 1 => b = 2

Và c-1 = 6 và c = 7

b-1 = 2 => b = 3 (loại vì c = 4  P)

và c-1 = 3 và c = 4 Vai trò a, b, c, bình đẳng

Vậy bộ số (a ;b ;c) cần tìm là (2 ;5 ;7)

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Bài 5

(1đ)

Với x ≥2

3 thỡ x −2

3≥0 ⇒|x −2

3|=x −2

3 thay vào B, ta tớnh được B = 7

6 (1)

Với x<2

3 thỡ

¿

0⇒|x −2

3|=− x +2

3

¿x −2

3

¿

thay vào B, ta tớnh được B =

2 x −1

6

Vỡ x<2

3 nờn 2 x <4

3 Suy ra 2 x −1

6<

4

3−

1

6=

7

6 Vậy B < 76 (2) Từ (1) và (2) suy ra B  76 Do đú: max B = 76 khi x ≥2

3

0,25đ

0.25đ 0,5đ

- HẾT