Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm hoặc lời giải sơ lược, học sinh trình bày lời giải phải chi tiết, chặt chẽ mới đạt điểm tối đa.. Học sinh làm bài theo cách khác - nếu đúng được số điểm tư[r]
Trang 1UBND THÀNH PHÔ HẠ LONG KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI CAP THANH PHO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MON: TOAN của giám thị số 1:
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kê thời gian giaođề) — —†
Câu I: (5,5 điểm)
a) Cho hai số dương z,b và số c khác 0 thỏa mãn J1 1g
a be
Chimg minh rang: Ja+b=Ja+c+WVb+c
b) Cho ø là số tự nhiên, chứng minh rằng:
B=4a(a +2017)(a + 2018)(a+4035)+ 201772018? là số chính phương
Câu II: (3,0 điểm) Giải phương trình:
(x7 + 6x+5)V10— x? =x +4x° —7x-10
Câu IH: (2,5 diém) Cho a, b 1a hai số nguyên thỏa mãn (2a+3b) : 7:
Chứng minh rằng (227 — 48ab — 3b”) t7,
Câu IV: (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính ĐC Lấy 7 là trung điểm của AC , Qua 7 kẻ đường thắng vuông góc với ĐC, qua C kẻ đường thăng vuông góc với ÁC, chúng cắt nhau tại E
a) Chứng minh rằng AE vuông góc với BI
b) Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn đường kính 8C, cắt đường thắng BI
2
tại K Chứng minh rằng IK = CE r:
BK 2.EI c) Cho BC =a, khi E thuéc duodng tron duong kính BC, hãy tính độ dài doan thang AB theo a
Cau V: (2,0 diém) Cho hai s6 duong x;y thỏa mãn x+ y>4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức A= x“ + y`+—+—~.
Trang 2HUONG DAN CHAM DE THI CHON HOC SINH GIOI MON TOAN 9
Nam hoc 2017-2018
 LỜI GIẢI SƠ LƯỢC BIEU
a) T+~+~=0© ab + be +ca =0 a b ec 0,5
Lại có - = -+?) mà a, b dương nên c < 0Ö
Va+b=va+c+vb+c
(5.5điểm) | c› 0 = 2c — 2c luôn đúng nên đăng thức được chứng minh
b) B= 4a(a+2017)(a +2018)(a + 4035) + 2017.2018”
đặt 2017.2018 =b
c6 a,be N=>2t+be N= Bla so chinh phuong 0,5
(x2 +6x +5)V10 — x2 =x3 + 4x? -—7x-10 (1)
Pt(1) © (x + 1)(x + 5)V10 —x2 =(x+1)(x+5)(x-— 2)
c
Giải (2)
(3diém) aro = — 0,5
Giải (3)
PIG) 10 — x2 ne a ba yt nh = 0
Giải phương trình bậc hai tìm được hai nghiệm là x=-1 va x =3 0,5
Vậy phương trình có nghiệm x = —1;x = 3 0,25
Câu II | Có 2a° — 48ab — 3bˆ = (2a + 3b)(a — b) — 49ab Id (2,5điêm) |Do (2a + 3b): 7 ; a, b nguyên nén a — b nguyên
Từ (1) và (2) > [Œa + 3b)(a — b) — 49ab]| : 7 0,25
Trang 3
(7điớm) | Gọi G là giao của IE với BC; H là giao của AE và BI ,
AB IC AB AI
b)
IK GC
Chimg minh AIGC~ABAC > GC.BC = AC.IC = = AC? 0.75
GC AC CE? = = do AABC~ACIE
2
0,25
C)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABC
Có BC? = AB* + AC?
1 45
A=x*+y*+-+—
x y
Từ (1) và (2) > xˆ + yˆ + 10 > 2x + 6y
1 45
> — + —
^ (X Ty x x y y 0,5
>4+2+30
Vậy A > 26 0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1;y = 3 025
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 26 đạt được tại x = 1;y = 3
Trang 4
Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm hoặc lời giải sơ lược, học sinh trình bày lời
giải phải chỉ tiết, chặt chẽ mới đạt điểm tối đa
Học sinh làm bài theo cách khác - nêu đúng được số điểm tương đương
Tổ châm thảo luận, thống nhất chia điểm thành phân.