Tia Bx vuông góc với AC. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC... c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008
Bài 1: (4 đ)
1) Cho biểu thức 4 3 102
x B
a) Tìm điều kiện có nghĩa của B b) Rút gọn B
2) Chứng minh rằng A n 8 4 n7 6 n6 4 n5 n4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.
Bài 2: (4 đ)
1) Cho đa thức bậc hai P x ( ) ax2 bx c Tìm a, b, c biết P(0)=33; P(1)=10; P(2)=2007 2) Chứng minh rằng: a b c a b c a b c abc với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Bài 3: (2 đ)
Cho
1
x
Tìm các số A, B, C, D, E để đẳng thức trên là đẳng thức đúng với mọi x>0 và x4
Bài 4: (6 đ)
Cho đoạn thẳng AC=m Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (B A, B C) Tia Bx vuông góc với AC Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD=BA và BE=BC
a) Chứng minh rằng CD=AE và CD AE
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD Gọi I là trung điểm của MN chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC
c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất này theo m
Bài 5: (4 đ)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vuông góc với CM Nối DH, vẽ HN vuông góc DH (N thuộc BC)
a) Chứng minh rẳng DHC đồng dạng với NHB
b) Chứng minh rẳng AM.NB=NC.MB
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008 Bài 1:
1) 4 3 102
x B
a) Giải phương trình x4 9 x3 9 x2 9 x 10=0
4 1 9 3 9 2 9 9 0
x2 1 x2 1 9 x x2 1 9 x 1 0
x 1 x 1 x2 1 9 x x2 1 9 x 1 0
x 1 x3 10 x2 x 10 0
x 1 x 10 x2 1 0
2
1
10
1 0
x
x x
x
Vậy biểu thức B có nghĩa khi x 1 và x -10
b) ta có: 4 3 102 1 à 10
x
2
2
10
10
x
x
2
2
1
1
2)
8 4 7 6 6 4 5 4 4 4 4 3 6 2 4 1
A n n n n n n n n n n
4 4 3 3 3 3 2 3 2 3 1
Với x > -10 và x 1
Với x < -10 và x 1
Với x > -10 và x 1
Với x < -10 và x 1
Trang 3 4 4
Vì n(n+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó n n 1 4 24 16 Vậy A 16
Bài 2:
1) P x ( ) ax2 bx c
P(0)=33 a 02 b 0 c 33 c 33
P(1)=10 a 12 b 1 c 10 a b 33 10 a b 23 (1)
P(2)=2007 a 22 b 2 c 2007 4 a 2 b 33 2007 4 a 2 b 1974 2 a b 987 (2) Trừ vế theo vế của (2) và (1) ta được a = 1000
Thay a = 1000 vào (1) ta được b = - 1023
2) a b c a b c a b c abc
Ta có:
2 2 2(1)
2 2 2(2)
2 2 2(3)
Lấy (1), (2) và (3) nhân vế theo vế ta được:
2 2
a b c a b c a b c abc
a b c a b c a b c abc
(đpcm)
Bài 3:
Đặt x m 0 m 2 Đẳng thức đã cho có dạng:
2
VP(*)=
2
2 2
2 2
Vì các hệ số của các hạng tử ở hai vế chứa lũy thừa cùng bậc của m phải bằng nhau ta có:
Trang 4A B
C B
A C B D
, giải ta tìm được A=1, B=-1; C=-2; D=-3; E=-4
Bài 4: (6 đ)
a) xét hai tam giác ABE và DBC, ta có:
AB=BD (gt)
BE=BC (gt)
ABE DBC 90
Vậy ABE DBC c g c ( ) CD AE
Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:
EDF BDC (đối đỉnh)
AEB BCD do ABE ( DBC )
EDF AEB BDC BCD
mà BDC BCD 90 0 nên EDF AEB 90 0 DFE 90 0 hay CD AE
b) Gọi M’, I’, N’ lần lượt là hình chiếu của M, I, N xuống AC
ABE
có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC)
Nên MM’ là đường trung bình của ABE 1
2
'
2 '
Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của DBC 1
2
'
2 '
Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc với AC) nên MNM’N’ là hình thang
I là trung điểm của MN, II’//MM’//NN’ (cùng vuông góc với AC) nên II’ là đường trung bình của hình thang MNM’N’
II
c) Vì ABE DBC nên SABE SDBC SABE SDBC 2SABE
mà ABE 1
2
Ta có:
Trang 5Vì AB+BC=m (không đổi) nên
2
4
Dấu “=” xảy ra m
AB BC
2
B là trung điểm của đoạn AC
Vậy max
2
m
4
(đvdt) B là trung điểm của đoạn AC
Bài 5: (4 đ)
a) Xét DHC và NHB có:
DHC NHB (vì cùng phụ với góc CHN)
DCH NBH (vì cùng phụ với góc HCB)
Do đó DHC NHB (g-g)
b) MBHvà BCH có:
MHB BHC ( 90 )
BMH HBC (vì cùng phụ với góc MBH)
Vậy MBH BCH (g-g) MB HB
1
Mà NB HB
2
DC HC ( ) (vì DHC NHB)
và BC=DC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MB=NB AM=CN
Suy ra AM.NB = NC.MB