De thi HSG cac tinh

Câu 4 3.0 điểm.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm.. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OMN.[r]

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi : Toán- Lớp 10

Thời gian :180 phút (Không kể thời gian giao đề)

-Câu 1 (4.0 điểm) Cho tam thức bậc hai f x  x2 (3m1)x2m2 2m (m là tham số)

a) Giải bất phương trình f x   0khi m 2

b) Tìm m để phương trình f x   0có hai nghiệm x x1 ; 2sao cho 3 x1  x2 x x1 2

Câu 2 (4.0 điểm) Cho phương trình: x2 3x 2m x2 3x m 2 m 2 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình với m 3

b) Tìm m để phương trình đã cho có 4 nghiệm

Câu 3 (4.0 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 2

2

x y m





a) Giải hệ phương trình với m 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Câu 4 (3.0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A1;4 và B4;3

b) Đường thẳng d qua A, d cắt trục hoành tại M (hoành độ của M dương), d cắt trục tung tại N (tung độ của N dương) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OMN.

a) Chứng minh rằng

2

2

c

S

b) Cho M là điểm tùy ý, xác định vị trí của M để: f M( )                          MA MB MB MC MC MA  .                                                         .  .

đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 6 (2.0 điểm).

 

2 2

2

4

5 2

x x

x













b) Cho x y, là hai số thực dương thoả mãn điều kiện x 1 x2 y 1 y2  2015

Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y 

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi : Toán- Lớp 10

Câu 1

a Với m=2 thì f x x2 5x4 f x x2 5x  4 0 x1;x4

Nghiệm bất PT f x     0 1 x 4

2

1

m

2

2

Với m 1ta được  3m 3 2  m2 2m 2m2m  3 0( Vô nghiệm)

Đáp số :

1 3;

2

1.0 1.0 0.5 0.5

0.5 0.5

Câu 2 Điều kiện : x2 3x 0

a Với m 3 ta được PT : x2 3x 6 x2 3x 8 0  x2 3x  2 hoặc

2

x  x 

+Khi : x2 3x  2 x1;x4

+ Khi:

Đáp số: x1;x4;

;

-b Đăt t x2 3x ( ĐK t 0)

Ta được PT : t2 2mt m 2  m 2 0 *  Phương trình đã cho có 4 nghiệm

khi PT (*) có 2 nghiệm không âm Khi đó ta phải có :

2

2 0

2 0

m









Đáp số : m 2

0.5 0.5 0.25

0.25 0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

Câu 3

4

x y







Hệ có nghiệm duy nhất x y   ;   2; 2



1.0 1.0

0.5 0.5 0.5

Để hệ có nghiệm thì S2  4P m 22  4m2  m 2  m2    4 2 m 2

0.5 Câu 4

a Đường thẳng đi qua hai điểm A1;4 và B4;3có PT chính tắc





Nên có PT tổng quát là : x3y13 0

Vì MN qua A nên

2

8;" "

8

a ab

b









Diện tích tam giác vuông OMN( vuông ở O)là S

Vậy S nhỏ nhất bằng 8 khi d qua M(2;0), N(0;8)

1.0 1.0

0.25

0.25

0.25 0.25 0.25

Câu 5

a Dễ thấy

cot

4

A

S



;

cotB

4

S



Vây cotA cotB

4

S



-b

1

2

 

(1)

1

2

 

(2)

1

2

 

(3) Cộng (1), (2), (3) ta được:

2

Gọi G là trọng tâm ABC Ta luôn có MA2MB2 MC2 3MG2GA2GB2GC2

Như vậy:

2

2

1.0 1.0 0.25

0.25 0.25 0.25

Câu 6

 

2 2

2

4

5 1 2

x x

x

 

2 2

2

1 2

5 2

x

x











 



Từ đó ta tìm được : x 2 hoặc  2  x 1

Giả sử x0là một nghiệm của PT : x48x216mx16m232m16 0(2)

Khi đó PT : x04 8x02 16mx0  16m2 32m 16 0  phải có nghiệm m

Suy ra PT : 16m2 16x0  2m x 04 8x0  16 0  phải có nghiệm m.Do đó

Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0

Thay x 2vào (2) ta được : m2 4m   4 0 m 2.

-b Đặt t x 1x2 thì dễ thấy t 0 và

2

t x t





(1)

Từ giả thiết ta có

1

t

Từ đây cũng suy ra

2015 2.2015.

t y

t





(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó

t

2014

2 2015

x y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

2014

2015 , khi

2014

2 2015

x y

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25