Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K.. Chứng minh rằng AB = CK.[r]
Trang 1BÀI TẬP ÔN THI HSG CẤP TRƯỜNG Bài 1: Chứng minh rầng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2: Cho
1 1 1
0( , ,x y z 0)
x yz Tính 2 2 2
Bài 3
Cho tam giác ABC Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia
BA, CA sao cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở
K Chứng minh rằng AB = CK
Bài 4: Giải phương trình
19 1997
10 2006
1
·
x
b)
x x x x
Bài 5:
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
2
2 1
P
x
có giá trị nguyên
Bài 6 : Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
83 2 3
x
x x x
Bài 7: Cho hình vuông ABCD Qua A kẻ hai đờng thẳng vuông góc với nhau
lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S
1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật
3, Chứng minh P là trực tâm SQR
4, MN là trung trực của AC
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng
Bài 8: Giải phương trình :
a) x2 - 2005x - 2006 = 0 b) x 2 + x 3 + 2 x 8 = 9
Bài 9: a) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hết cho 24
b) Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình:
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330
Bài 10: Cho biểu thức :
P
Trang 21.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3
Bài 11 Giải phương trình:
x x x x x x x x
Bài 12: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)
Bài 13: Chứng minh rằng trong một tam giác, trọng tâm G, trực tâm H, tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác là O thì H, G, O thẳng hàng
Bài 14:Cho biểu thức: A=3 19 33 9
36 3
14 3
2 3
2 3
x x
x
x x
x
a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định
b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0
c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 15: Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho PAC = PBC Từ P dựng PM
vuông góc với BC PK vuông góc với CA Gọi D là trung điểm của AB Chứng minh : DK=DM
Bài 16: a) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1
b) A(x) = x4 3x3ax b chia hết cho đa thức B x( )x2 3x4
Bài 17: Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1
Bài 18: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD
và DA
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b), hãy tính tỷ số diện tích của hai tứ giác ABCD và MNPQ
Bài 19: Giải phương trình:
1 x2 3x 2 x1 0
2
Bài 20: Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB
lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minhEDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm
EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Trang 3Bài 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di
chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
Bài 22: Cho biểu thức P = ( 3 9 27
3
2 3 2
x x x
x x
3
2
1
x - 3 9 27
6
2 3
x
x
) a) Rút gọn P
b) Với x > 0 thì P không nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 23 : Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45
Bài 24: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 )
c 13n + 3 d n2 + n + 1589
Bài 25: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a. a2 + a + 43
b. a2 + 81
c. a2 + 31a + 1984
Bài 26: Tìm n N để các số sau là số chính phương:
a n2 + 2004
b (23 – n)(n – 3)
c n2 + 4n + 97
d 2n + 15
Bài 27: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Bài 28: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó
bằng tổng lập phương các chữ số của số đó