Như vậy, trong ba số b ; b+1 và 2b +1 thì tồn tại 2 số là nguyên tố và một số được tạo bởi tích của hai số nguyên tố không trùng nhau và không trùng với hai số kia... Thạc sĩ: Nguyễn Tha[r]
Trang 1Thạc sĩ: Nguyễn Thanh Phong_GV: Trường THCS Nguyễn Trãi- huyện Lăk —- Dak Lak
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KI THI HOC SINH GIỎI CÁP TÍNH
Thời gian làm bài: T50 phút (không kế thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm)
xT.J TA x+4\x +4 Tim x sao cho pawl
2) Giải phương trình: (x”—4x](x” —4) = 20
1) Thu gon biểu thức P=
Bài 2 (2 điểm)
1) Cho phương trình xˆ +2(2m—3)x+ mˆ =0, với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm khác 0 là x,;x, ( chúng có thê trùng nhau) và biêu thức —+—— đạt
xy %2
giá trị nhỏ nhất
2) Cho Parabol (P): y = ax” Tìm điều kiện của a để trên (P) có điểm A(x,: yạ) với hoành độ
dương thỏa man diéu kién «fx? +1-./y, +4 =x, — Jy) +3
Bài 3 (4 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên đương (x; y) thỏa mãn x” — y”+4x—2y =18
2) Tìm tất cả các cặp số (a;b) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:
ï) a, b đều khác I và ước số chung lớn nhất của a, b là 1
1) Số N =ab(ab+1)(2ab+1) có đúng 16 ước số nguyên dương
Bài 4 (4 diém) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC lân lượt
tại D và E (Dz B,E #C) BE cắt CD tại H Kéo dài AH cắt BC tại F
1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp
2) Các đoạn thăng BH và DF cắt nhau tai M, CH và EE cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMEN
là tứ giác nội tiếp Tính số đo góc BÁC
Bài 5 (2 điển) Với x, y là hai số thực thỏa mãn: y°+3y?+5y+3=119—x? —v9x— x° Tính
giá trị lớn nhất của biểu thức 7 = x— y+ 22018
Bài 6 (2 điểm) Cho tam giác đều ABC Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn BC dưới một
góc băng 150° Chứng minh rằng: M⁄A” >2MB.MC
Trang 2Thạc sĩ: Nguyễn Thanh Phong GV: Trường THCS Nguyễn Trãi- huyện Lắk - Đấk Lắk
LOI GIAI DE THI Bài 1 (2 điểm)
1) Thu gọn biểu thức P= x-3‡2Vx+4VX +4 sao cho p— 2017
x>0 x>0
DKXD: {x+3Vx+24006 (Vx +1)(Vx+2) #0 x20
x+4J/x+4>0 (Jz +2) 20
2
_x-3+2xt4Wx+4 173424 (ve +2) —— x#Ajx+l Nx+I
x+3Vx +2 (Vx +1)(vx +2) (Vx +1)(vx +2) Vx +2
vy Paw 2018 nen: Vxtl 2017 — Vx+2 2018 n016 x= 2016"
2) Giải phương trình: (x”—4x](x”—4) = 20
2 _ 2 _ _
x=—VJ1141
Bai 2 (4 diém)
x=-V¥3+4+1
1) Cho phuong trinh x° + 2(2m—3)x+m’ =0, voi m 1a tham s6
Ta có: A'=(2m— 3)” — 4m” =—12mm +9 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì | v0
mM #
m>—
S&S 4«€Ằm>— (Ì)
m #0
xX, +X, =2(3-2m)
2
Theo định lí v1 — et ta có:
X,X, =m
3
x, | _xtx,_ 2(3-2m) (4 AE m
>A2 3 Dâu ”=” xảy ra khi và chỉ khi m = 3 Kêt hợp với điêu kién (1) thi m thỏa mãn Vay: MinA -> taim = 3
Trang 3Thạc sĩ: Nguyễn Thanh Phong_GV: Trường THCS Nguyễn Trãi- huyện Lak - Đăk Lăk
2) Cho Parabol (P): y = ax” Tìm điều kiện của a để trên (P) có điểm A(x,: yạ) với hoành độ
dương thỏa man diéu kién /x? +1—./y, +4 =x; —|yạ +3
Jo
Vi: A(X) i9))€(P) nén y=axe > x? =2.Do x, >0>x, =, [22
Ta có:
Vx, tl-.Jy,+4 =x, ay) +3
+1 —Alyạ+4= Ye yo PtP = OFT
Xét hàm số: ƒ (7)=Jr+1 —xÍr Dễ dàng chứng minh duge f(t) lu6n nghịch biến khi t > 0
Bài 3 (4 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn x”— y”+4x—2y =18
Ta có: x—=y?+4x—2y=18©(x+2) -(y+1} =23©(x- y+I)(x+y+3)=23
Vì x,ye Z” nên x, y thỏa man:
hoặc
2) Tìm tất cả các cặp số (a;b) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:
ï) a, b đều khác I và ước số chung lớn nhất của a, b là 1
1) Số N =ab(ab+1)(2ab+1) có đúng 16 ước số nguyên dương
Giải: Giả sử a < b Áp dụng định lí cơ bản của số nguyên tô thì a và b được phân tích như sau:
a= p".p?° p” và b=I".I° I”»" Trong đó p, p„ và I !„ là các số nguyên tố Vì a và b
là hai số nguyên tô cùng nhau nên /.> p„ Vì N có T6 ước nguyên dương nên số NÑ không thể
phân tích được ra được tích của 5 sô tự nhiên
Xét bài toán sau, Nêu A = a.b.c.đj trong đó a, b, c và là các sô nguyên tô thì sô các ước của A là:
4
dCs =16| Như vậy: Nếu W =ab(ab+1)(2ab+1) có 16 ước thì N là tích của 4 số nguyên tố
+ THỊ: các số a,b, ab+1 và 2ab+T là các số nguyên tố Như vậy, bài toán được viết lại là: Tìm các số nguyên tố a và b sao cho các số øb+l và 2ab+l là các số nguyên tố
- Nếu ab + I là số chăn thì øb+l=2— ab=1 (vô lí
- Nếu ab + I là số lẻ thì ab là số chẵn—=> ab =2 =b=2 và a= L (vô l0
Như vậy: các số: a, b, øb+1 và 2ab+l là không thể đồng thời là các số nguyên tố
+ TH2: a phai bang 1.
Trang 4Thạc sĩ: Nguyễn Thanh Phong_GV: Trường THCS Nguyễn Trãi- huyện Lăk —- Dak Lak
=> W=öj(b+1)(2b +1) Như vậy, trong ba số b ; b+1 và 2b +1 thì tổn tại 2 số là nguyên tố và một số được tạo bởi tích của hai số nguyên tô không trùng nhau và không trùng với hai số kia
- Giả sử b và b + I là số nguyên tô ( vô lí)
- Giả sử b và 2b + l là số nguyên tố => +l=2k ( k là nguyên tố), mà
b(b+1):6= 20065 0/35]
Nếu k =3 thì b+l =6 = 2.3 và b= 5 ;2b + =7 ( Thỏa mãn)
- Giả sử b + I và 2b +l là số nguyên tô thì b=2& ( k là số nguyên tố), mà
k=3 b(b+1):6 => 2k(b+1):6 > k(b+1):3>
b+1=3
Néu k =3> b=6=2.3>bD+1=7 va 2b+1=13 (thda man)
Nếu b +l=3—=b=2—>20+I=5 (vô l0
Vậy: S ={(1.5);(1.6):(5.1):(6.1)}
Bài 4 (4 điểm)
a/ Vì BC là đường kính nên CD L AB và
BF Ì AC >H là trực tâm của
AABC = AF Ì BC
— BDH = BFH =90° : ADH = AEH =90°
= ADHE và BDHE nội tiếp
b/ Vì MHNE nội tiếp
nên HN + MEN =180° > EHN = MEN
mà EHN = EFC ( cùng chắn cung EC)
nên: DFE=EFC_ (1)
ta lại có: EHN = DHB ( đối đỉnh)
mà DHB = DFB ( cùng chăn cung DB)
nén: DFB = DFE (2)
Tir (1) va (2) > DFB = DFE = ECF =60°
=> DHE =120° mà ADHE nội tiếp
—> BAC =60°
Bài 5 (2 diém) Voix, y la hai sé thuc thoa man: y?+3y? +5y+3=11V9-2x? —V9x* —x° Tinh
giá trị lớn nhất của biểu thức 7 = x— y+ 22018
Dk: -3<x<3
+) Ta có: y`+3y?+5y+3=II9—x? -v9x!—x§
Trang 5Thạc sĩ: Nguyễn Thanh Phong_GV: Trường THCS Nguyễn Trãi- huyện Lăk —- Dak Lak
3
Xét hàm số: ƒ (/)=”+2¡ Ta dễ dàng chứng minh được ƒ (¿) luôn đồng biến khi t > 0
—= y+l=w9-x” >y=w9-x -l
+) Ta có: 7 =x— y+2018§ >7 =x-w9—x +2019
Sử dụng phương pháp đạo hàm của ( Giải tích lớp 12) và sự biến thiên của hàm số để tìm ra điểm
rơi của bât đăng thức, áp dụng bât đăng thức (AM-ƠM)) ta dê dàng giải được bài toán
Bài 6 (2 điểm) Cho tam giác đều ABC Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn BC dưới một
góc băng 150° Chứng minh rằng: M⁄A” >2MB.MC
Vì M nhìn cạnh BC dưới một
góc 150” nên cung lớn BC có
số đo là 300” — cung bé BC
có số đo là 60°= ABOC đều
Gọi R là bán kính đường
=> AB=AC=BC=OB
O(0;0) ;
Vì M (x¿: yạ) thuộc đường
`
tròn
tron nén x+y, =R
{£85} (228)
=> MA? = 4R? -2RV3y,
=> MB ae +2) fs -28) = f2R? + RX, — Rv3y,
oem.) 4ˆ =4J2R? — Rx, — RxÍ3y,
=> MB.MC =,J2R? + Rx, — RAÍ3y, ¬|2R? — Rx, — RV3y, = (2£ -R3y,)` — Rx?
=> MB.MC = (2# - RV3y, ) —R°(R? — y2) =3R* -4R°V3y, +4R’y? =|R?V3 - 2Ry,
5
Trang 6Thạc sĩ: Nguyễn Thanh Phong_GV: Trường THCS Nguyễn Trãi- huyện Lăk —- Dak Lak
—R
Vì M chỉ thuộc cung nhỏ BC nên = <#q< :] và (Be <y R
Nén: MB.MC = 2Ry, —R?V3
Ta can chimg minh: 2(2Ry, — R’V3)<4R? -2RV3y, (1)
That vay: (1) <> 2y, —RV3 <2R-¥3y, <= 2y, +V3y, $2R+V3R & y, SR
6699
Vậy: (1) luôn đúng Dấu xảy ra khi và chỉ khi: yạ = Ñ
Kết luận: MA” >2⁄B.MC' khi và chỉ khi M là giao điểm giữa đường tròn tâm O bán kính R và
đường trung trực của đoạn thăng BC