Phương trình LG qua các năm

Dựa vào mối quan hệ giữa các cung Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)

Gửi tặng: www.Mathvn.com

Bỉm sơn 08.05.2011

MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông

Ví dụ như các công thức sau

sin xcos x 1

cos 2x2 cos x  1 1 2sin x

sin 2x2 sin cosx x

3

sin 3x3sinx4 sin x…

Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay không

sin 2xcos 2x 1

cos 4x2 cos 2x  1 1 2 sin 2x

sin 4x2 sin 2 cos 2x x

cos 2kx2 cos kx  1 1 2 sin kx

sin 2kx2sinkxcoskx

3

sin 3kx3sinkx4 sin kx

1 Dựa vào mối quan hệ giữa các cung

Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn

đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 4.sin 7

Giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Ta có sin 3 sin cos3 cos sin3 cos

Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó

Công thức nhân ba cos 3x4 cos3x3cos , sin 3x x3sinx4 sin3x

Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi

cos 3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 2 cos 1 cos 2 cos sin

2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 4 cos 3cos

Tương tự cho sin 3x

Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 3cos 4 – 8 cosx 6 x2 cos2 x 3 0

Giải:

Nhận xét 1:

Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau

1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4

Điều kiện: sinx 0

Phương trình sin 5x5sinxsin 5x5sinx

Nhận xét:

Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng

Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai

Vậy phương trình vô nghiệm

Hướng 2: Phân tích cung 5x2x3x, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba

Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìmx 0;14 nghiệm đúng phương trình: cos 3 – 4 cos 2x x3cosx40

32

- Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau

Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình:  3 

sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2 cos 4xsin x

2sinsin







x x

x x

HD:

Điều kiện:

3

22

02cos

k x x

x     

x x

x x

x x

x

2

1cos2

32

sin2

12cos2

32

cos3cos32sin



3

29

26

cos6

- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau

(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: sin4 cos4 7cot cot

Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế

khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung 3

 có mối quan hệ với nhau như thế nào

2sin)43

Đs:

6

2

,3

Bài tập tự giải:

Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm ;3 )

2( 



x của phương trình sau

x x

2

7cos(

3)

2 Biến đổi tích thành tích và ngược lại

Bài 1: Giải phương trình : sinxsin 2xsin 3xsin 4xsin 5xsin 6x0

x

k x

Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà

ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Đs: 2

3

7,

Bài 6: (ĐHHH – 2000) Giải phương trình:    2

2sinx1 3cos 4x2 sinx– 4 4 cos x3

Đs:

26

7

26

Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình: 3 3

cos xsin xsin 2xsinxcosx

Đs:

22

22

2

k x

Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình: 3

4 cos x3 2 sin 2x8 cosx

Đs:

2

24

Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung 6 2 4

cos 2x cos 4x cos 6x 0 cos 4 (2 cos 2x x 1) 0

Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

Chú ý: Có thể nhóm cos12xcos 8x  cos10xcos 6x0

Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: sin2 tan2 cos2 0

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0

42

Chú ý: Vì cosx0sinx 1 nên ta loại ngay được 2

cos 6x4 cos 2x3cos 2x  1

Vậy hệ trên tương đương sin 2x 0 cho ta nghiệm

Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình cos4 sin4 1

cos2

42sin2cos3

Phương trình

0cos2

3sin

2

120sincos31

cos22cos1cos

1cos

33

03

k x

Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình 2 2 2

sin xcos 2xcos 3x

Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 tan3 tan 3(1 sin )2 8cos2 0



TH 2: 1 sin xtanx0sinxcosxsin cosx x0(pt đối xứng với sin và cos)

Giải phương trình này ta được 2 ,

Bài tập tự giải:

Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x +

8

9)4(sin)4(

x x

k k x

k k x

Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình: 2 2  

sin 4 – cos 6x xsin 10, 5 10x

Đs: 20 10,

2

k x

54(sin

Đs:

,4

k x

k x

Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: 8 8 17 2

sin cos 2 sin 2 cos

1 sin cos (1 sin ) cos

x x

2sin

22

sin4tan

sin cos sin cos sin 2

2sin 2

1

x t

t x

21

Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x

Phương trình 2 sin2 cos2 1 sin 4 sin 2 1 0

2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )

tanxcotx2 cot 2x

Giải:

;5

24

Bài 8: (ĐH – A 2010) Giải phương trình:

1 sin cos 2 sin

14

cos

x x

x x

2sin8

12

cot2

12

sin5

92cos52cos8

12cos2

15

2sin2

118

12cos2

15

cos.sin

2

2 2

x x

x

loai x

62

12

cos

)(2

92

0cos

x x

)cos1(coscos

sincos

cos

x

x x

x x

x x

x x

loai x

x x

x x

x x

x x

x x

x

32

12

cos

)(1

2

cos

012cos2cos24cos2

coscos

.sin

4coscos

2

x x

cosx 3 sinx sin 2x 3 cos 2x

2

1 sin cos (1 sin ) cos

nên  

2

x  k k



    không phải là nghiệm của phương trình

Khi cosx 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được 3

Cách 1: Điều kiện: cosx 0

Phương trình 1 3sin 4 sin cos cos 3sin 4sin cos2

- Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho cos x 2

- Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng

2 sin cos

2 tancos

sin 2 2 sin cos

cos

x x

x x

x x

 từ đó ta

đặt t tanx

Cách 2:

,3

k k

 với tan1  1 2; tan2  1 2

Bài 4: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: cos3 x– sin3xsinx– cosx

Đs:  

1,2

4

Bài 9: (ĐHNN I – B 1999) Giải phương trình: 2    

sin x tanx1 3sinx cos – sinx x 3

b Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, bậc 4… của một hàm lượng giác

Bài 1: Giải phương trình 2sin2 xtan2 x 2

Bài 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình:   2

5sinx– 23 1 sin x tan x

Điều kiện: cos 0 sin 2 0

sin 2 0

x

x x

Điều kiện: sinx0, cosx 0

Phương trình s in 22 xsin 2 sinx xcosx 1 2cos2x

32

Ta có: cos 3xsin 3x4 cos3 x3cosx3sinx4sin3 x

4(cosxsin )(1 sin cos )x  x x 3(cosxsin )x (cosxsin )(1 4 sin cos )x  x x

Và 1 2 sin 2 x 1 4sin cosx x

Cách 2: Quy đồng hai vế… bạn đọc tự giải

22

c Đưa về các dạng phương trình đối xứng

Chú ý một số dạng đối xứng bậc chẵn với sin va cos

Đặt

2

2

1sin

2cos 2 , 1

1cos

2

t x

t x

Bài 1: (ĐHSP HCM – 2000) Giải phương trình 4 4

4(sin xcos x) 3 sin 4x2

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x

5

2 12

11

212

b Phương trình đối xứng với tan và cot

Bài 1: Giải phương trình: tan2 xcot2 x2(tanxcot )x 6 (*)

Vậy nghiệm của phương trình là: 7 (k Z)

k

k x

Bài 6: (DLĐĐ – 1997) Giải phương trình: tanxcotx2 sin 2 xcos 2x

Đs: 4 2  

k x

k k x

Bài 9: (ĐHYHN – 1998) Giải phương trình: 2 cot 2 – cot 3 x xtan 2xcot 3x

Phương trình vô nghiệm

Bài 10: (QGHN – 1996) Giải phương trình: tan2 x– tan tan 3x x 2

Bài 14: (CĐGT – 2001) Giải phương trình: 2 2 2 2

tan x.tan 3 tan 4x xtan – tan 3xtan 4x

Đs:  

x k

k k x

Dạng 1:  

2 2

Đặt t atanxbcotxa2tan2 xb2cot2 xt2 2ab

Thay vào phương trình ban đầu ta được một phương trình bậc 2 theo t

Bài 1: Giải phương trình 4 sin2 12 4 sin 1 7 0

sinsin

x x

x x

(2)cos x2 cosx 1 0(cosx1) 0cosx 1 xk2 ( k)

Bài 2: (ĐHTM – 2001) Giải phương trình 22 2 tan2 5(tan cot ) 4 0 (1)

  , sau khi thay vào

ta được một phương trình đối xứng với tan và cot

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k )

a Môt số bài toán cơ bản

Bài 1: (ĐHNT – D 1997) Giải phương trình 2 tan cot 3 2

sin 2 sin cos 2 cos

8 cos cos 8 cos cos 2 sin

8cos cos 2 sin 1cos 2 sin

Điều kiện cos 0

x x

Bài 5: (ĐHTCKT – 1997) Giải phương trình (1 tan )(1 sin 2 ) x  x  1 tanx

Điều kiện: cosx 0

(6 sin cos 3cos ) (2 sin 5sin 2) 0

3cos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(3cos sin 2) 0

Phương trình 2 tan 3 tan  tan 3 cot 2  2 2 sin 2 cos 2

4 sin 4 sin 2 cos 2 cos 2 cos 3 4sin 4 sin cos 3 cos 2 cos 3

4 sin 4 sin cos 3 cos 8sin 2 cos 2 sin 2sin 2 sin (*)

nghiệm này thoả mãn ĐK

Bài 10: Giải phương trình : 3 2    

2

4 cos 2 cos 2sin 1 sin 2 2 sin cos

02sin 1

Bài 11: Giải phương trình: 6 3 4

8 2 cos x2 2 sin xsin 3x6 2 cos x  1 0

2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2 sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

22(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )

Bài 12: Giải phương trình 1 2 cos sin 

2 sin cosx x 2 sinx

Bài 13: Giải phương trình:   3  

sin 2x cosx3 2 3 cos x3 3 cos 2x8 3 cosxsinx 3 30Giải

3

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2 sin cos 6 sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2cos1

x x

x x x

Bài 15: (ĐH – D 2004) Giải phương trình: 2 cos – 1 2 sinx  xcosxsin 2 – sinx x

3

;4

Bài 16: (ĐH – A 2007) Giải phương trình:  2   2 

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x

cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0

cos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(cos sin 2) 0

1 2

,2

30cos6cos

cossin2sincos

12

cos2

12cos14

1cos

4

1cos

2

1cos

2 2

Bài 22: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:  2 

cos 2xcosx 2 tan x– 1  2

cos1(cos)cos1()cos1)(

1cos0

2cos5cos

)1(coscos2

x x

x

x x

x

Phương trình (1 sin 2 x)(cosx1)2(sinxcos )(1 sin )x  x

(1 sin )[(1 sin )(cosx x x 1) 2(sinx cos )]x 0

b Một số bài toán đặc biệt

Bài 1: (QGHN – B 1999) Giải phương trình sin6 xcos6 x2(sin8 xcos8 x)

2x2

3

coscos

sin



x2xx

x1

x2xx

sin)cos(cos)sin(

2 2 2 2

(cos sin )(cos sin ) 0

Hi vọng qua chuyên mục nhỏ này sẽ giúp các em vững tin hơn khi bước vào phòng thi, tài liệu không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế vì tuổi đời còn trẻ kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế rất mong các bạn bỏ qua

Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long

Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa

“Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao… chào thân ái”