Định nghĩa Phương trình biến x là mệnh đề chứa biến có dạng fx = gx x0 gọi là nghiệm của PT fx = gx fx0 = gx0 Giải PT là tìm tất cả các nghiệm của PT hay tập nghiệm của nó PT không
Trang 1Chương III: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1 Định nghĩa
Phương trình biến x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x)
x0 gọi là nghiệm của PT f(x) = g(x) f(x0) = g(x0)
Giải PT là tìm tất cả các nghiệm của PT (hay tập nghiệm của nó)
PT không có nghiệm ta nói PT vô nghiệm
2 Điều kiện của phương trình
Là điều kiện của biến x để hai vế của phương trình đều có nghĩa.
3 PT chứa tham số
Là PT ngoài ẩn x còn có các chữ cái khác được xem như các hằng số tham
gia vào PT và được gọi là tham số
Ví dụ: x2 + 2x – m = 0 là PT với tham số m
4 PT tương đương
Hai PT đgl tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm (kể cả tập rỗng)
Ký hiệu: ta dùng ký hiệu “” để nêu quan hệ tương đương của 2 PT
5 Phép biến đổi tương đương
Phép cộng (trừ): f(x) = g(x) f(x) � h(x) = g(x) � h(x)
Phép nhân (chia): f(x) = g(x) f(x).h(x) = g(x).h(x)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
h x h x
Chú ý: Phép chuyển vế: f(x) + h(x) = g(x) � f(x) = g(x) – h(x)
6 PT hệ quả
PT f1(x) = g1(x) (1) gọi là phương trình hệ quả của PT f(x) = g(x) (2) nếu mọi nghiệm của PT (2) đều là nghiệm của PT (1)
Ký hiệu: f(x) = g(x) f1(x) = g1(x)
7 Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế của PT thì ta được PT hệ quả
ii) Khi giải PT mà dẫn đến PT hệ quả thì phải thử lại nghiệm PT
tìm được vào PT ban đầu để loại nghiệm ngoại lai
II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC NHẤT, BẬC HAI
Định lí Viét
1 Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó,
1 2
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
�
-�
�
�
�
Trang 2Ngược lại, nếu u và v có tổng S và tích P thì u và v là các nghiệm pt X2
– SX + P = 0
3 Phương trình trùng phương
Dạng: ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)
Cách giải: đặt t = x2 (t � ) đưa về PT bậc 2 theo t Giải tìm t, đối chiếu0
với điều kiện t 0, rồi tìm x.
4 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Các dạng cơ bản: A = B ; A = ; A B + B =C
Cách Giải 1: Bình phương hai vế để khử dấu (dẫn đến PT hệ quả) Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai
Cách giải 2: Dùng công thức biến đổi tương
0
A
A B
�
� �
�
0
B
A B
A B
�
� �
�
= � �� =
�
III PT VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Hệ ba PT bậc nhất ba ẩn
a x by c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
�
�
�
�
� Cách Giải: Dùng PP cộng để khử dần từng ẩn số nhằm đưa hệ PT trình về
dạng tam giác:
1 1
a x d
a x b y d
a x b y c z d
�
� =
�
�
�
(PP Gausse)
BÀI TẬP
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Tìm điều kiện xác định của các PT sau đây
2
x
2
4
2 9
x
x x
+
= +
2
x
1
x
x
2
x x
x
+ + h.x2- 2x- 3= +3 1- x
Trang 31.2 Giải các PT sau đây
a 3- x+ =x 3- x+1 b.x+ x- 2= 2- x+2
x
x- = x- d.x2- 1- x = x- 2 3+
2
x
g. x+ + = +1 x 3 x+1 h. x- 5- x= +2 x- 5
i.3 2 1 4
x
+
=
4
x x
+
x
x x
+
-1.3 Giải các PT sau đây
x x
+
x x
2
x x
x x
x x
x
x+ = x+
1.4 Xác định m để mỗi cặp PT sau tương đương
a.3x – 2 = 0 và (m + 3)x – m + 4 = 0
b.x + 2 = 0 và m(x2 + 3x + 2) + m2x + 2 = 0.
c.2x – 3 = 0 và 2 2 1 0
2
mx
m
§2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI 2.1 Giải các phương trình sau đây
x x
x x
-c. x- 3(x2- 3x+2)=0 d. x+1(x2- x- 2)=0
Trang 4e. 1 2
x x
x
x
x
-=
x
-2.2 Giải các phương trình sau đây
a 5x+ = -6 x 6 b. 2x2+ = +5 x 2
e 2x- 3= -x 2 f. x2- 7x+10=3x- 1
g 3- x- x+ =2 1 h. 4x2+2x+10=3x+1
4 Giải phương trình
2
2
h x
x
2.3 Cho PT 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 Tìm m để PT cĩ 1 nghiệm gấp
3 lần nghiệm kia Tính các nghiệm trong trường hợp đĩ
2.4 Cho PT bậc hai x2 + (2m – 3)x + m2 – 2m = 0.
a.Xác định m để PT cĩ hai nghiệm phân biệt.
b.Với m nào thì PT cĩ hai nghiệm và tích của chúng bằng 8 Tìm các
nghiệm trong trường hợp đĩ
2.5 Cho PT mx2 + (m2 – 3)x + m = 0
a.Xác định m để PT cĩ nghiệm kép Tìm nghiệm kép đĩ.
Trang 5b.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả: 1 2 13
4
x +x =
2.6 Cho PT (m + 2)x2 + (2m + 1)x + 2 = 0
a.Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng –3
b.Với m nào thì PT có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó.
2.7 Cho PT 9x2 + 2(m2 – 1)x + 1 = 0.
a.Chứng tỏ rằng với m > 2 thì PT có 2 nghiệm âm phân biệt.
b.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả x1+x2= - 4
2.8 Cho PT (m + 1)x2 – (m – 1)x + m = 0
a.Xác định m để PT có một nghiệm bằng –3 Tính nghiệm kia.
b.Với m nào PT có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia Tính các nghiệm
trong trường hợp đó
2.9 Cho PT 3x2 + 5x + 2m + 1 = 0
a.Với m nào thì PT có hai nghiệm trái dấu.
b.Với m nào thì PT có hai nghiệm âm phân biệt
c.Với m nào thì PT có hai nghiệm dương phân biệt.
c.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả x13+x23=10 Tính các nghiệm trong trường hợp đó
2.10 Cho PT 3x2 + 2(3m – 1)x + 3m2 – m + 1 = 0
a.Với giá trị nào của m thì PT vô nghiệm.
b.Giải PT khi m = –1.
2.11 Cho PT (m + 1)x2 + (3m – 1)x + 2m – 2 = 0 Xác định m để PT có hai nghiệm x1, x2 màx1+x2= Khi đó, tìm các nghiệm x3 1, x2
2.12 Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây Vân mua 10 quả quýt, 7 quả
cam với giá tiền là 17800 Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 Hỏi giá tiền mỗi quả quýt, quả cam là bao nhiêu?
2.13 Có hai dây chuyền may áo sơ mi Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền
may được 930 áo Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo?
2.14 Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường Sau khi người thứ
nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ còn lại 1/18 bức tường chưa sơn Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường
Trang 62.15 Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1 Hiệu
của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba Còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba Tìm các phân số đó?
2.16 Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số
ngày nhất định Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được
9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn 1 ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5% Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm?
2.17 Hai người quét sân Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút,
trong khi nếu chỉ quét 1 mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ?
2.18 Tìm 2 cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật biết rằng
a.Chu vi là 94,4m và diện tích là 494,55m2
b.Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089m2
§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
3.1 Giải các hệ phương trình sau đây
d.
y z
z
�
-�
� + =
�
� =
�
e.
x y z
�
�
� + + =
-�
-�
f.
x y z
x y z
�
�
� + + =
�
� + + =
�
g.
x y z
�
-�
-�
� + - =
�
�
h.
x y z
x y z
�
�
-�
� + - =
�
�
i.
6
x y z
x y z
x y z
�
� + + =
�
� - + =
�
�
�
