ĐỀ TOÁN THI ĐẠI HỌC SỐ 3

Hình chiếu H của S lên đáy là trung điểm cạnh AB.. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng.. Quay hình thoi xung quanh đường chéo BD, ta thu được khối tròn xoay có diện tích

ĐỀ TOÁN SỐ 19 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP “GIẢI TOÁN TOÁN HỌC”

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

−

=+

=

− có bao nhiêu đường tiệm cận

Câu 9 Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào

trong bốn hàm số dưới đây?

31

5

a a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A

11 15

1 15

2 15

17 5

a

Câu 13 Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình bên dưới

A 3

1

x y x

− −

=

21

x y x

− −

=

31

x y x

− +

=

31

x y x

a

332

a

3312

a

33.4

a

Câu 18 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình 2f x + =( ) 1 0 là

Câu 21 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC=a 2 Hình chiếu H của S

lên đáy là trung điểm cạnh AB Cạnh bên SC=a 3 Tính thể tích khối chóp S ABC

A

3712

a

376

a

374

a

3718

a

Câu 22 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y= f x( ) đồng biến trên các khoảng nào sau đây?

A ( )1; 2 B ( )0;3 C (0; + ) D (−1;3)

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Tam giác SAB đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB SD ,

Câu 24 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình ( ) 1

Câu 26 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a, ABC =60 Quay hình thoi xung quanh đường chéo

BD, ta thu được khối tròn xoay có diện tích toàn phần bằng bao nhiêu?

254

a 

Câu 27 Biết hai đồ thị hàm số y=x3+2x2−3x+1 và y=2x2−1 cắt nhau tại hai điểm ,A B Tính độ

dài đoạn AB

Câu 28 Cho hàm số f x liên tục trên ( ) −3; 2 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Gọi M m lần ,

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x trên ( ) −3; 2 Tính M−m?

Câu 30 Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón bằng 9 Tính

đường cao h của hình nón

Câu 31 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a Cạnh bên 3

Câu 34 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên , có đạo hàm f( )x thỏa mãn

Hàm số y= f (1− nghịch biến trên khoảng nào dưới đây x)

f x

+

Câu 36 Cho lăng trụ đều ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng 2a Gọi M, N lần lượt là trung

điểm cạnh A B , BB Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (MC N ,) (ACC A )

Câu 38 Cho khối lăng trụ ABC A B C có thể tích bằng 30 Gọi O là tâm của hình bình hành 1 1 1 ABB A 1 1

và G là trọng tâm tam giác A B C Thể tích khối tứ diện 1 1 1 COGB là 1

Câu 41 Có hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh, hộp thứ hai

chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh Lấy ngẫu nhiên từ một hộp một quả cầu Xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ

AB= BC= ABC= Hình chiếu của Slên cạnh AB là

điểm K sao cho KB=3KA Biết SB SC cùng hợp với đáy một góc , 60 Tính thể tích khối 0chóp S ABC

32 21

Câu 43 Cho hình chóp S ABC có SA SB= =SC = , đáy là tam giác vuông tại A Một hình nón 4 ( )N

có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Thể tích lớn nhất của khối nón ( )N

Câu 44 Gọi S là tập chứa các giá trị tham số m để hai đồ thị hàm số ( 4 3 )

1

y=x x −mx + − +x m, 2

y=x cắt nhau theo số giao điểm nhiều nhất đồng thời các giao điểm cùng nằm trên đường tròn có bán kính bằng 1 Hỏi tập S có tất cả bao nhiêu phần tử

Câu 45 Cho hàm số y= f x( ) trên đoạn −2; 4 như hình vẽ

Gọi S là tập chứa các giá trị của m để hàm số

Câu 46 Cho hình trụ ( )T có đáy là các đường tròn tâm O và O , bán kính bằng 1, chiều cao hình trụ

bằng 2 Các điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn ( )O và ( )O sao cho góc giữa hai đường thẳng OA O B, 

bằng 60 Tính diện tích toàn phần của tứ diện OAO B0 

Hỏi hàm số y= f ( 1 sin+ x−1) có bao nhiêu điểm

cực đại trên khoảng (−2 ; 2 )?

Câu 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD=2a Tam giác SAB vuông

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết tổng diện tích tam giác SAB và đáy ABCD bằng

2334

a

Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

39

a

Câu 49 Cho hàm số y= f x( ) với f x( ) là hàm đa thức, có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

Câu 50 Cho hàm sô y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

ĐỀ TOÁN SỐ 19 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP “GIẢI TOÁN TOÁN HỌC”

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = và đạt cực tiểu tại 0 x = 2

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số y= −(3 a)x nghịch biến trên

Vậy tập nghiệm của phương trình S =1; 4− 

Câu 4 Một khối chóp có chiều cao bằng 2, diện tích đáy bằng 6 Tính thể tích khối chóp đã cho

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi h là chiều cao của khối chóp, ta có h = 2

Gọi Blà diện tích đáy của khối chóp, ta có B = 6

−

=+

−

=+ là x = − 2

Câu 6 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3

y=x − x+ thuộc đường thẳng nào dưới đây

A y= −x 1 B y= −x 7 C y= +x 7 D y= +x 1

y − = −  , do đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là B −( 1; 6)

Trong các đường thẳng có phương trình ở các phương án, nhận thấy tọa độ điểm A(1; 2) thỏa mãn phương trình đường thẳng d y: = +x 1 Do đó ta chọn D

Câu 7 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt

lim

4

x

x

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

Câu 9 Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A y x= −3 3x2+ 2 B y= − +x3 3x+ 2 C y= − +x3 3x2− 2 D y=x3− + 3x 2

Hướng dẫn giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có hàm số cần tìm là hàm số y ax= 3+bx2+ + với cx d a  0

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d  Do đó loại phương án0

B

Vậy chỉ có hàm số y= − +x3 3x2−2thoả yêu cầu bài toán

Câu 10 Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên

x y

31

e là hàm số mũ có cơ số có 2( )0;1

e

 Hàm số =  2 

x y

e đồng biến trên Chọn A

+) Hàm số

1

x y x

x x

=



Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 1 1 0− + =

Câu 12 Cho a là một số thực dương, viết biểu thức

2 3

5

a a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A

11 15

1 15

2 15

17 5

Câu 13 Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình bên dưới

1

x y x

− −

=

21

x y x

− −

=

31

x y x

− +

=

31

x y x

− +

=

− thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 14 Cho loga b =2 Giá trị của

5 2loga b

Câu 17 Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a có thể tích bằng

A

336

a

332

a

3312

a

33.4

B

C'

C

12

y = −

Từ hình vẽ ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) và đường thẳng 1

2

y = − là 4 Vậy số nghiệm của phương trình 2 ( ) 1f x + =0 là 4

Câu 19 Một hình trụ có chiều cao bằng 3 , chu vi đáy bằng 4 Tính thể tích của khối trụ?

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi h là chiều cao của hình trụ Ta có h=3

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ Ta có 2R=4  = R 2

Từ bảng xét dấu suy ra x = −1, x = , 1 x = là các điểm cực trị của hàm số đã cho 2

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Câu 21 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC=a 2 Hình chiếu H của S

lên đáy là trung điểm cạnh AB Cạnh bên SC=a 3 Tính thể tích khối chóp S ABC

A

3712

a

376

a

374

a

3718

S

Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a 2 nên AB=AC= a

a a

Câu 22 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y= f x( ) đồng biến trên các khoảng nào sau đây?

y= f x đồng biến trên khoảng ( )1; 2

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Tam giác SAB đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB SD ,

Theo giả thiết ta có:

Câu 24 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình ( ) 1

Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng y=3 cắt đồ thị y= f x( ) tại 1 điểm

Vậy số nghiệm của phương trình ( ) 1

Ta có BBT:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−;0) và (3; + nên hàm số đồng biến trên ) (−1; 0)

Câu 26 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a, ABC =60 Quay hình thoi xung quanh đường chéo

BD, ta thu được khối tròn xoay có diện tích toàn phần bằng bao nhiêu?

254

l = a

A

D B

Tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a AB=BC= Lại có a ABC =60 nên tam giác

Vậy độ dài đoạn AB bằng 3 5

Câu 28 Cho hàm số f x liên tục trên ( ) −3; 2 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Gọi M m lần ,

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x trên ( ) −3; 2 Tính M−m?

Câu 30 Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón bằng 9 Tính

đường cao h của hình nón

Vì SA⊥(ABC) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC )

Suy ra (SC ABC,( ))=SCA



Ta có bảng biến thiên sau:

Vì m nguyên âm nên m  − − 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1− − − − − − − 

Vậy có 9 giá trị nguyên âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +)

Câu 34 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên , có đạo hàm f( )x thỏa mãn

Hàm số y= f (1− nghịch biến trên khoảng nào dưới đây x)

 



Vậy hàm số y= f (1− nghịch biến trên khoảng x) (−2;0)

f x =ax +bx +cx+d có hai điểm cực trị x = −1; x = Lại có 2 f ( ) ( )−1 f 2 0,

suy ra đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x 1, 2, 3

Câu 36 Cho lăng trụ đều ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng 2a Gọi M, N lần lượt là trung

điểm cạnh A B , BB Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (MC N ,) (ACC A )

+) Xét tam giác A BB có M, N lần lượt là trung điểm của A B và BB

MN là đường trung bình của A BB MN A B //

Từ 1 và 2 suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MC N ,) (ACC A ) là góc giữa hai đường thẳng

B I và AB

Mà m suy ra m 1, 2,3, 4 Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài

Câu 38 Cho khối lăng trụ ABC A B C có thể tích bằng 30 Gọi O là tâm của hình bình hành 1 1 1 ABB A 1 1

và G là trọng tâm tam giác A B C Thể tích khối tứ diện 1 1 1 COGB là 1

Gọi M là trung điểm của A C 1 1

Từ bảng biến thiên, suy ra 6 2 m10   Vì m nên 3 m 5 m  4;5

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số ( 3 2 )

Vậy có 5 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 41 Có hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh, hộp thứ hai

chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh Lấy ngẫu nhiên từ một hộp một quả cầu Xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ

Suy ra số phần tử của không gian mẫu n  =( ) 10.12=120

+) Gọi A là biến cố “Hai quả lấy ra cùng màu đỏ''

Lấy một quả màu đỏ từ hộp 1 có 7 cách

Lấy một quả màu đỏ từ hộp 2 có 6 cách

AB= BC= ABC= Hình chiếu của Slên cạnh AB là

điểm K sao cho KB=3KA Biết SB SC cùng hợp với đáy một góc , 60 Tính thể tích khối 0chóp S ABC

Ta có BH là hình chiếu của SB trên mp(ABC), CH là hình chiếu của SC trên mp(ABC)

nên góc giữa SB và mp(ABC) là góc SBH và góc giữa SC và mp(ABC) là góc SCH

60

Suy ra đường thẳng HM đi qua trung điểm I của AB

Câu 43 Cho hình chóp S ABC có SA SB= =SC = , đáy là tam giác vuông tại A Một hình nón 4 ( )N

có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Thể tích lớn nhất của khối nón ( )N

Hướng dẫn giải

Chọn B

Hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác là trung điểm O của cạnh huyền BC

y=x cắt nhau theo số giao điểm nhiều nhất đồng thời các giao điểm cùng nằm trên đường tròn có bán kính bằng 1 Hỏi tập S có tất cả bao nhiêu phần tử

x x

+ Hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau theo số giao điểm nhiều nhất thì m   1

+ Gọi giao điểm của hai đồ thị là A( )1;1 , B −( 1;1), ( 2)

;

C m m + Theo giả thiết thì A, B, C cùng nằm trên đường tròn có bán kính bằng 1 Gọi đường tròn

a b

Đối chiếu điều kiện m   , ta có 1 m = thỏa mãn 0

Vậy có 1 giá trị tham số m thỏa mãn bài toán

Câu 45 Cho hàm số y= f x( ) trên đoạn −2; 4 như hình vẽ Gọi S là tập chứa các giá trị của m để

Câu 46 Cho hình trụ ( )T có đáy là các đường tròn tâm O và O , bán kính bằng 1, chiều cao hình trụ

bằng 2 Các điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn ( )O và ( )O sao cho góc giữa hai đường thẳng OA O B, 

bằng 60 Tính diện tích toàn phần của tứ diện OAO B0 

Gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng chứa đường tròn ( )O

Mà O A =O B nên O A B  đều Suy ra A B =O B =O A =1

Ta có: AB=AO=OB= 5 Do đó ABO= BAO c c c( − − và ) ABO cân tại A

Khi đó diện tích toàn phần của tứ diện OAO B là:

ABO ABO AOO BOO

Câu 47 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên , có đồ thị f( )x như hình vẽ

Hỏi hàm số y= f ( 1 sin+ x−1) có bao nhiêu điểm cực đại trên khoảng (−2 ; 2 )?

x x x

x x x x

3π

2

3π2

π2π

02π

y / x

Từ bảng xét dấu của y ta có hàm số có 3 điểm cực đại trên khoảng (−2 ; 2 )

Câu 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD=2a Tam giác SAB vuông

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết tổng diện tích tam giác SAB và đáy ABCD bằng

2334

a

Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

39

a

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với đáy nên SH ⊥(ABCD) Đặt AB=x x,( 0) Ta có

Câu 49 Cho hàm số y= f x( ) với f x( ) là hàm đa thức, có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

Khi m =6 thì f x =( ) 0 có nghiệm x =0 và nghiệm x 0 2 Do đó f x( )=x x.( −x0) ( )g x

Dễ thấy x= cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x0 y= f x( )x

Ta có:

0 0

Câu 50 Cho hàm sô y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

Bảng biến thiên của hàm số y=g t( ) trên khoảng ( )0; 2

Phương trình đã cho có nghiệm x  −( 1;1) khi và chỉ khi phương trình ( )2 có nghiệm