CHƯƠNG 3 bài toán cực trị môn toán cao cấp

tài liệu toán cao cấp giúp bạn có thêm kiến thức môn học cũng như nắm chắc hơn về chương này, tài liệu rất chi tiết giúp bạn không bỏ lõ học phần nào qua đó giúp bạn nắm chắc môn toán cao cấp hơn và hiểu bài hơn

BÀI 3 THIẾT LẬP BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1 Bài toán thực tế

Có n loại dầu thô, khối lượng 𝑎𝑗 tấn 𝑗 = 1, 𝑛

Cần sản xuất 𝑚 loại dầu thành phẩm với lượng đặt trước là 𝑏𝑖 i= 1, 𝑛 Biết rằng cứ 1 tấn dầu thô thứ 𝑗 khi sản xuất thành 𝑎𝑖𝑗 tấn dầu thành

phẩm thứ 𝑖

Cứ 1 tấn dầu thô thứ 𝑗 khi sản xuất mất chi phí là 𝑐𝑗($)

? Hãy xác định khối lượng dầu thô mỗi loại cần đưa vào sản xuất để thực hiện đơn hàng với chi phí nhỏ nhất

- Gọi khối lượng dầu thô cần sản xuất là 𝑥𝑗 tấn 𝑗 = 1, 𝑛

- Điều kiện 0 ≤ 𝑥𝑗 ≤ 𝑎𝑗, 𝑗 = 1, 𝑛

- Chi phí sản xuất:

෍

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗 → 𝑚𝑖𝑛

- Khối lượng dầu thành phẩm thu được là:

෍

𝑗=1 𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 𝑖 = 1, 𝑚

Thiết lập bài toán

Tìm 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thỏa mãn:

𝑓 𝑥 = ෍

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗 → 𝑚𝑖𝑛

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, 𝑚

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 , 𝑗 = 1, 𝑛

Hàm mục tiêu

Ràng buộc về dấu Ràng buộc chung

3 Định nghĩa

Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là hàm mục tiêu

𝑥 thỏa mãn 2 , (3) gọi là phương án

𝑥 thỏa mãn 1 , 2 , (3) gọi là phương án tối ưu (PATƯ)

2 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính

a) Dạng tổng quát

Tìm 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thỏa mãn:

𝑓 𝑥 = ෍

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗 → min(max)

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, 𝑘

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖, 𝑖 = 𝑘 + 1, 𝑚

𝑥 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑟 (𝑟 ≤ 𝑛) (3)

(2) (1)

b) Dạng chuẩn tắc

Tìm 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thỏa mãn:

𝑓 𝑥 = ෍

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗 → min

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, 𝑚

(2) (1)

b) Dạng chuẩn tắc Tìm 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thỏa mãn:

𝑓 𝑥 = ෍

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗 → min

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, 𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑛

a) Dạng tổng quát

Tìm 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thỏa mãn:

𝑓 𝑥 = ෍

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗 → min(max)

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, 𝑘

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖, 𝑖 = 𝑘 + 1, 𝑚

𝑥 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑟 (𝑟 ≤ 𝑛)

4 Định lí

Mọi bài toán dạng tổng quát đều đưa về dạng chuẩn tắc

➢ Nếu {𝑓(𝑥) → 𝑚𝑎𝑥} thì đổi thành {−𝑓(𝑥) → 𝑚𝑖𝑛}

➢ Nếu σ𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 thì thêm biến 𝑦 ≥ 0 để σ𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 − 𝑦 = 𝑏𝑖

➢ Nếu σ𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 thì thêm biến 𝑦 ≥ 0 để σ𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 + 𝑦 = 𝑏𝑖

➢ Nếu có biến 𝑥 không có ràng buộc về dấu thì đặt 𝑥 = 𝑢 − 𝑣 𝑢, 𝑣 ≥ 0 Chú ý Vì ta có thể nhân −1 vào cả 2 vế của phương trình trong hệ chuẩn tắc nên vế phải 𝑏𝑖 ≥ 0, ∀𝑖

Ví dụ 1 Đưa bài toán sau về dạng chuẩn tắc

𝑓 𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥

𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 1

𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 ≤ 3 2𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 2

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0 Giải

−𝑓 𝑥 = −𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛

𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 1

𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 + 𝑥4 = 3 2𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥5 = 2

𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ≥ 0

Bài tập Đưa bài toán sau về dạng chuẩn tắc

1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛

𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 ≤ 5

𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 1

3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 2

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

2 𝑓 𝑥 = 𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥

4𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 2

𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 ≤ 1

−𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 7

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,3

3 𝑓 𝑥 = 𝑥1 − 3𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛

𝑥1 + 3𝑥3 ≥ 3

𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = 2

−3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 5

𝑥1, 𝑥3 ≥ 0

4 𝑓 𝑥 = 𝑥1 + 2𝑥2 → 𝑚𝑎𝑥 ቐ

𝑥1 − 𝑥2 ≥ 1 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 2

𝑥1 ≥ 0

5 𝑓 𝑥 = 𝑥1 − 2𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛

ቊ0 ≤ 𝑥1 ≤ 4

𝑥2 ≥ −3

c) Dạng ma trận

Đặt 𝐴 =

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎𝑛1

𝑎21

⋮

𝑎22 ⋯

𝑎𝑛2

⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

𝑏 =

𝑏1

𝑏2

⋮

𝑏𝑚

𝑥 =

𝑥1

𝑥2

⋮

𝑥𝑛

𝑐 =

𝑐1

𝑐2

⋮

𝑐𝑛 Khi đó bài toán được viết thành:

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑇𝑥 → 𝑚𝑖𝑛

ቊ𝐴𝑥 = 𝑏

𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥 = ෍

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗 → min

෍

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, 𝑚

𝑥 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑛

b) Dạng chuẩn tắc

Chú ý Hệ phương trình có 3 trường hợp xảy ra:

- Hệ vô nghiệm

- Hệ có nghiệm duy nhất

- Hệ có vô số nghiệm

Số phương trình < số ẩn 𝑚 < 𝑛

3 Thuật toán đồ thị

Tập hợp các điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) có tọa độ thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐 là nửa

mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 và vectơ pháp

tuyến 𝑛 = (𝑎, 𝑏) hướng vào nửa mp này

➢ Đường mức: Xét hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 Giá trị hàm số không đổi (bằng 𝑓0) tại mọi điểm nằm trên đường thẳng 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓0 Đường thẳng này được gọi là đường mức của hàm 𝑓

➢ Giá trị mức càng lớn nếu ta tịnh tiến đường mức song song theo vecto pháp tuyến 𝑛 = (𝑐1, 𝑐2) Vectơ này được gọi là vectơ pháp

tuyến dương, kí hiệu là 𝑛+ và vectơ 𝑛 = (−𝑎, −𝑏) được gọi là

vectơ pháp tuyến âm, kí hiệu là 𝑛−

Xét hệ bất phương trình

ቊ𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑑1(≤ 𝑑1)

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑑2(≤ 𝑑2) Tìm max(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) =?

Ta sẽ tìm max(min) tại một trong 4 đỉnh

của tứ giác

y

Cho biểu thức 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, (𝑎, 𝑏 là các số thực không đồng thời bằng 0), trong đó (𝑥, 𝑦) là tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác 𝐴1𝐴2 … 𝐴𝑛 thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 𝑓(𝑥, 𝑦) (xét trên miền đa giác đã cho) đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác trên

Như vậy để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhât) của biểu thức

𝑓 𝑥, 𝑦 trên miền nghiệm của một hệ bất phương trình ta làm như sau:

▪ Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

▪ Bước 2: Tính các giá trị của hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 với 𝑥, 𝑦 là toạ độ các đỉnh của miền nghiệm

▪ Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được với nhau, giá trị nào lớn nhất (nhỏ nhất) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhât) của 𝑓 𝑥, 𝑦 trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho