Các dạng bài tập cấp số cộng và cấp số nhân

 Lưu ý: Phân biệt hai khái niệm: Dãy số và số hạng tổng quát của dãy số, trong đó kí hiệu dãy số “có dấu ngoặc” và kí hiệu số hạng tổng quát “không có dấu ngoặc”.. n  Xét tính tăng, gi

Chuyên đề 3 :

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC



A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

BÀI TOÁN

Chứng minh mệnh đề P n đúng với mọi n là số tự nhiên và   np (p N *)

Thực hiện 3 bước sau

 Bước 1 Chứng minh mệnh đề P n đúng với   n p

(Bằng cách thế n p vào mệnh đề P n và thường nhận thấy ngay sự đúng đắn của nó.)  

 Bước 2 Giả sử mệnh đề P n đúng với   n k ( kp)

(Nghĩa là thế n k vào mệnh đề P n và giả sử mệnh đề   P k này là đúng)  

 Bước 3 Chứng minh mệnh đề P n đúng với   n k 1

(Nghĩa là thế n k 1 vào mệnh đề P n và dựa vào giả thiết   P k đúng để chứng minh  

mệnh đề P k 1 là đúng)

Khi đó ta kết luận được mệnh đề P n đúng với mọi   n là số tự nhiên và np

Ghi chú

B BÀI TOÁN MẪU

Chứng minh n  Z+: n3n chia hết cho 3

93

 Bước 1 Trước hết, chứng minh mệnh đề P n đúng với n = 1  

Thế n = 1 vào biểu thức n3n ta được n3 –n 1 – 1 0.3  Rõ ràng số 0 chia hết cho 3

Như vậy mệnh đề P n đúng với n = 1  

Vấn đề P n có đúng với n = 2, n = 3, n = 4, không?  

Muốn vậy, phải thế từng giá trị n = 2, n = 3, n = 4, vào biểu thức n3n và điều này là không tưởng! Cho nên ta làm tiếp bước thứ 2 như sau

 Bước 2 Giả sử mệnh đề P n đúng với n = k (k > 1)  

Nghĩa là giả sử biểu thức P k k3 –k chia hết cho 3

Nói lại cho rõ ở bước này: Thế lần lượt n = 2, n = 3, n = 4, đến n = k vào biểu thức n3 – n và giả

sử các biểu thức được thế đó đều chia hết cho 3

 Bước 3 Bây giờ chứng minh mệnh đề P n cũng đúng với   n k 1

P k  k k và dựa vào giả thiết:

“P k k3–k chia hết cho 3” để chứng minh “P k 1 cũng chia hết cho 3”

chia hết cho 3 nên P k 1 chia hết cho 3

Như vậy: “ Nếu P n đúng với n = k thì suy ra   P n đúng với n = k + 1” (*)  

Ở bước 1 ta có P n đúng với n = 1 nên từ (*) suy ra   P n đúng với n = 1 + 1 = 2  

Bây giờ ta đã có P n đúng với n = 2 và cũng từ (*) suy ra   P n đúng với n = 2 + 1 = 3  

Bây giờ ta đã có P n đúng với n = 3 và cũng từ (*) suy ra   P n đúng với n = 3 + 1 = 4  

Với cách lập luận tuần tự như trên ta kết luận được P n đúng   n  Z+

Tên gọi

 Ba bước chứng minh trên là tinh thần của “Nguyên lí quy nạp” với tên gọi: Bước 1 là bước

cơ sở, Bước 2 là giả thiết quy nạp và Bước 3 là bước quy nạp

 Cách chứng minh trên gọi là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Lời giải

Ví dụ 2 Chứng minh  n Z:n311n chia hết cho 6 Lời giải

Ví dụ 3 Chứng minh 2 2 2  2 2 ( 1)(2 1) : 2 4 6 2

3 n n n n Z n          Lời giải

TÊN GỌI VÀ KÍ HIỆU

(*) là hình thức liệt kê liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó (Cụ thể ở đây là quy tắc

u n n  )

Hàm số u n gọi là một dãy số và kí hiệu là    u n

 Nói cách khác: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương

Các giá trị u     1 , u 2 , u 3 , , u n , được kí hiệu là u u u1, 2, 3, , u n, và gọi là số

hạng thứ 1, thứ 2, thứ 3, , thứ n , (kể từ trái qua phải) u n còn gọi là số hạng tổng quát của dãy số  u n

 Nói cách khác: Các số hạng u u u1, 2, 3, được xác định bằng cách thế

 Lưu ý: Phân biệt hai khái niệm: Dãy số và số hạng tổng quát của dãy số, trong đó kí hiệu

dãy số “có dấu ngoặc” và kí hiệu số hạng tổng quát “không có dấu ngoặc”

Ví dụ: Các dãy số      u n , x n , a có số hạng tổng quát lần lượt là n u n, x n, a n

DẠNG 1

XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG CỦA MỘT DÃY SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Các số hạng u u u u1, 2, 3, 4, của dãy số  u được xác định bằng cách thế n n1, n2, 3

n , n4, tuần tự vào số hạng tổng quát u n

B VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho dãy số  u với số hạng tổng quát n 2 1

2

n

n u n







1 Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số  u n

2 Số 105

54 là số hạng thứ mấy của dãy số  u ? n

Lời giải

Ví dụ 2 Cho dãy số  a biết n a0 1 và 1 1 2 n n a a    Tính A a 3 a5 Lời giải

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 Cho  n Z Chứng minh: a/ 1 2 3 ( 1)

2 n n n       b/   2 1 3 5     2 – 1n n

101 là số hạng thứ mấy của dãy đã cho?

Bài 3 Tìm 4 số hạng đầu tiên của các dãy số  u biết số hạng tổng quát: n

1/

2

11

n

n u

n n

Cho dãy số (a n ) được xác định bởi a n = 1

n Liệt kê các số hạng của dãy số (a n)

Nhận xét và Tên gọi

 Bài toán 1 Nhận thấy: u1 u2 u3 u4 u5  u k u k 1

Ta gọi  u là một dãy số tăng n  Bài toán 2 Nhận thấy: a1 a2  a3 a4 a5  a k a k 1

Ta gọi (an) là một dãy số giảm  Bài toán 3 Nhận thấy: x3 x4 x5 Ta gọi (xn) là một dãy số không tăng và không giảm Định nghĩa  Dãy số  u được gọi là dãy số tăng nếu n u nu n 1  , n  N*  Dãy số  u được gọi là dãy số giảm nếu n u nu n 1 , n  N*  Dãy số tăng và dãy số giảm gọi chung là dãy số đơn điệu A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cách 1 Với nN*, tính hiệu số: u n 1 – u n Nếu u n 1 – u n 0 thì  u là dãy số tăng n Nếu u n 1 – u n0 thì  u là dãy số giảm n Cách 2 Nếu u n 0, nN* thì tính thương số n 1 n u u  Nếu n 1 n u u  > 1 thì  u là dãy số tăng n Nếu n 1 n u u  < 1 thì  u là dãy số giảm n  Xét tính tăng, giảm hay xét tính đơn điệu của dãy số là xem dãy số đó tăng hay giảm hay không tăng, không giảm  Chứng minh dãy số  u không tăng, không giảm, ta chỉ cần tính cụ thể 3 số hạng nào n đó của dãy số để kết luận (Xem bài toán 3 ở trên) Ghi chú

99

B VÍ DỤ

Ví dụ 1 Xét tính tăng, giảm của dãy số  u có số hạng tổng quát là n 2

1

n

n u n







Lời giải

Ví dụ 2 Xét tính đơn điệu của dãy số  u , với n u n  n 2 2 n Lời giải

Ví dụ 3 Xét tính tăng, giảm của dãy số  u có n 3 n n n u  Lời giải

Ví dụ 4 Xét tính tăng, giảm của dãy số  u với n u n  –1 2n  n1 Lời giải

n

101

DẠNG 2 DÃY SỐ BỊ CHẶN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho dãy số  u n

 Nếu tồn tại một số thực M sao cho u n ≤ M, n  N* thì  u gọi là dãy số bị chặn trên n

 Nếu tồn tại một số thực m sao cho u n m, n  N* thì  u gọi là dãy số bị chặn dưới n

 Nếu tồn tại hai số thực m và M sao cho m ≤ u n ≤ M, n  N* thì (u n ) gọi là dãy số bị chặn

 Xét tính bị chặn của một dãy số là xem dãy số đó có chặn trên, hay chặn dưới, hay bị chặn

không?

B VÍ DỤ

Ví dụ 1 Xét tính bị chặn của dãy số  u với n 3

1

n

u n





Lời giải

Ví dụ 2 Xét tính bị chặn của dãy số  u với n 2 6 1 n n u n    Lời giải

Ví dụ 3 Xét tính bị chặn của dãy số  u với n 21 sin

1

n

n

Lời giải

C BÀI TẬP CƠ BẢN Xét tính bị chặn của dãy số  u với: n 1/ u n 4 5 n   2/ 4 2 n n u n    3/ 2 5 2 cos 1 1 n n u n n n       CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nội dung Lời giải Câu 1: Cho   1 1 1 , 1, 2, 3

1.2 2.3 1 n S n n n        Kết quả nào sau đây đúng? A S n n 1 n   B 1 n n S n   C 1 2 n n S n    D 2 3 n n S n    Câu 2: Cho     1 1 1 , 1, 2, 3

1.3 3.5 2 1 2 1 n S n n n         Kết quả nào sau đây đúng? A 1 2 1 n n S n    B n 2 1 n S n   C 1 2 3 n n S n    D 2 2 5 n n S n    Câu 3: Cho S1.1! 2.2! 3.3! 2007.2007!   Kết quả nào sau đây đúng? A S2.2007! B S2008! 1 C S2008! D S2008! 1. Câu 4: Cho dãy số  u n , với u16,u n u n15 Khi đó, u n bằng A 5n1 B 5n1 

C 5n1 D 5n 1

Câu 5: Cho dãy số  u n , với u n 5n1 Khi đó, u n1 bằng

A 5 n 1

B 5n C 5.5 n 1

1

5 5

n

103

Câu 6: Cho dãy số  u n , với

2 3

1,1

n n

n u n

n

n n

n

n n

Câu 8: Cho dãy số  u n , với 3 1, 1, 2, 3

A bị chặn trên và không bị chặn dưới

B bị chặn dưới và không bị chặn trên

C bị chặn trên và bị chặn dưới

D không bị chặn trên và không bị chặn dưới

Câu 9: Cho dãy số  u n , với u n   1 n Khi đó  u là dãy số n

A tăng

B giảm

C bị chặn trên và bị chặn dưới

D không bị chặn trên và không bị chặn dưới

Câu 10: Cho dãy số  u n , với   2 5

1 5n n

n

số

A bị chặn trên và không bị chặn dưới

B bị chặn dưới và không bị chặn trên

C bị chặn trên và bị chặn dưới

D không bị chặn trên và không bị chặn dưới

Câu 11: Cho dãy số  u n , với

2 3

1.5

n n

VẤN ĐỀ 3 CẤP SỐ CỘNG

 Nghĩa là số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với hằng số 2

 Ta gọi dãy số  u như trên là một cấp số cộng, hằng số 2 gọi là công sai n

 Hằng số d gọi là công sai

 Nếu hằng số d0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi

Ghi chú

105

Nếu u n1u n–1 bằng 2un thì  u là một cấp số cộng n

Nếu u n1u n–1 không bằng 2un thì  u không là một cấp số cộng n

 Cách 3 Cách khác tốt hơn để chứng minh  u không là một cấp số cộng n

Tính cụ thể 3 số hạng liên tiếp, ví dụ tính u u u 1, 2, 3

Nếu u2–u1 u3 –u2 thì  u không là một cấp số cộng n

Nếu u1u3 2u2 thì  u không là một cấp số cộng n

Chú ý

Ba số a b c là một cấp số cộng khi và chỉ khi , , a c 2b

 u là một cấp số cộng khi và chỉ khi n u n1u n12u n,  n 2

Ghi chú

B VÍ DỤ Ví dụ 1 Trong các dãy số  u dãy nào là cấp số cộng? n 1/ 1 2 n n u   2/ ( 1)n 3 n u    n Lời giải

Ví dụ 2 Trong các dãy số  u dãy nào là cấp số cộng? n 1/ 7 3 2 n n u   2/ 1 2 1 n n u n    Lời giải

Ví dụ 3 Tìm x để 3 số 2 1 10 – , 2 2 3, 3 5 – 4 u  x u  x  u  x là một cấp số cộng Lời giải

DẠNG 2 TÌM SỐ HẠNG THỨ k VÀ CÔNG SAI d CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng  u bằng công thức: n u n u1n– 1d  Tìm số hạng thứ k bằng công thức: u k u1k– 1d Ghi chú

B VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho cấp số cộng  u biết n 1 3 5

1 6

10 17

u u u

u u

   

  

1/ Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng  u n

2/ Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng  u n

107

Lời giải

Ví dụ 2 Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng  u biết n 2 6 4 8 7 4 7 2 2 u u u u u u         

Lời giải

Ví dụ 3 Tìm một cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng số hạng đầu và số hạng thứ 3 là 28 và tổng số hạng thứ 3 và số hạng cuối là 40 Lời giải

Ví dụ 4 Cho một cấp số cộng có 18 số hạng, số hạng cuối là – 11 và công sai là –1 Tìm số hạng đầu Lời giải

C BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng  u biết: n

2 7

8 75

u u

u u

  

 

 2/.

6 2 2 4 2 8 16 u u u        3/.

2 5 2 3 4 5 52 34 u u u u u u         4/.

7 15 2 2 4 12 60 1170 u u u u         Bài 2 Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là 8, số hạng cuối là – 55 và công sai là – 7 Cấp số cộng này có bao nhiêu số hạng Bài 3 Cho một cấp số cộng có số hạng thứ 6 là – 5 và công sai là 3 Số hạng nào có giá trị là 7? DẠNG 3 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng  u được cho bởi công thức n  1  2 1 ( 1) 2 2 n n n u n d n u u S        Ghi chú

B VÍ DỤ Ví dụ 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng  u biết n 1 5 4 5 10 0 14 u u S      

Lời giải

Ví dụ 2 Chu vi của một đa giác là 158 cm , số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai bằng 3 cm Biết cạnh lớn nhất là 44 cm, tìm số cạnh của đa giác đó

109

Lời giải

C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng  u biết n 4 6 18 45 S S      Bài 2 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng  u biết n S n5n23 n Bài 3 Cho cấp số cộng  u biết n 2 3 5 1 6 10 17 u u u u u         Tính S7

Bài 4 Cho cấp số cộng – 9; – 6; – 3; có tổng là 66 Tìm số hạng cuối cùng của cấp số cộng đó Bài 5 Tính tổng S1002992982972962952  2212 Bài 6 Một tam giác có 3 góc lập thành một cấp số cộng Góc nhỏ nhất là 200 Tìm 3 góc của tam giác đó Bài 7 Một tứ giác lồi có 4 góc lập thành một cấp số cộng, góc lớn nhất là 1260 Tìm 4 góc của tứ giác lồi đó Bài 8 Một tam giác vuông có 3 góc lập thành một cấp số cộng Tìm 3 góc của tam giác đó Bài 9 Một tam giác có 3 cạnh lập thành một cấp số cộng Tính 3 cạnh của tam giác đó, biết chu vi của nó bằng 24 cm CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nội dung Lời giải Câu 1: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4; 1; 6; x Khi đó giá trị của x bằng A 7 B 10 C 11 D 12 Câu 2: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7; ;11;x y Khi đó giá trị của x và y là A x1;y21 B x2;y20

C x3;y19 D x4;y18 Câu 3: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 5; 9;13;17;

Khi đó u n bằng

A 5n1 B 5n1

C 4n1 D 4n1

Câu 4: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4;7;10;13;

Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số cộng đó n1 Khi đó S n bằng

2

n n

Câu 8: Một cấp số cộng có 6 số hạng Biết rằng tổng của số hạng

đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14 Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá trị bằng

Câu 9: Một cấp số cộng có 7 số hạng Biết rằng tổng của số hạng

đầu và số hạng cuối bằng 30, còn tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng 35 Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng

đó có giá trị bằng

Câu 10: Một cấp số cộng có 12 số hạng Biết rằng tổng của 12 số

hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23 Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho bằng