CHUYÊN đề dãy số cấp số CỘNG cấp số NHÂN

Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau: Bước 1.. Giả thiết mệnh

Trang 1

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể

thử trực tiếp thì có thể làm như sau:

Bước 1 Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1

Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì nk 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n   1 1 2 Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n   2 1 3, Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n   *

2 Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự

nhiên) thì:

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p;

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

A Phương pháp giải

Giả sử cần chứng minh đẳng thức ( )P n Q n( ) (hoặc ( )P n Q n( )) đúng với  n n0, n0  ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P n( ), ( )0 Q n rồi chứng minh 0 P n( )0 Q n( )0

Bước 2: Giả sử P k( )Q k( ); k,kn0, ta cần chứng minh

P k Q k

B Bài tập tự luận

Câu 1 Chứng mình với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có: 1 2 3 ( 1)

2 n n n      

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP Bài 1

Trang 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 2 Chứng minh với mọi số tự nhiên n  ta luôn có: 1 1 3 5 2    n 1 n2

Câu 3 Chứng minh rằng với   , ta có bất đẳng thức: n 1 1.3.5 2 1 1 2.4.6.2 2 1 n n n   

Câu 4 Chứng minh rằng với     ta có bất đẳng thức: n 1, x 0 2 1 1 ( 1) 1 1 2 n n n n x x x x             Đẳng thức xảy ra khi nào?

Trang 3

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

Câu 5 Cho hàm số f : , n 2là số nguyên Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) , 0 2 2 f x f y x y f x y            (1)thìta có 1 2 1 2 ( ) ( ) ( n) n f x f x f x x x x f n n              0 i x   , i1,n (2)

Câu 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  , ta luôn có 1 a 12 22 ( 1)2 2 ( 1)(2 1) 6 n n n n n         b 1 22 3 2 3 3 3 3n 4 4.3n n n      

Trang 4

Câu 7 a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  ta có: 1 1 2 2 2 2 2 2 cos 2n         (n dấu căn) b Chứng minh các đẳng thức ( 1) sin sin 2 2 sin sin 2 sin sin 2 nx n x x x nx x     với xk2 với n  1

Câu 8 Chứng minh rằng với mọi n  ta có bất đẳng thức: 1 sinnx nsinx    x

Trang 5

Câu 9 a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  , ta có : 1 1 1 3 n n         b 3n 3n1 với mọi số tự nhiên n 2; c   2.4.6.2 2 1 1.3.5 2 1 n n n   với mọi số tự nhiên n  ; 1

Trang 6

Câu 10 Cho hàm số f xác định với mọi x   và thoả mãn điều

kiện: (f xy) f x f y( ) ( ), x y,   (*) Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự

nhiên n ta có:  

2

n n

x

f x f 

Câu 11 Cho n là số tự nhiên dương Chứng minh rằng: 16 – 15 –1 225n n a  n 

Trang 7

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  thì ( )1 A n 7n3n luôn chia hết cho 1 9

Câu 13 Cho n là số tự nhiên dương Chứng minh rằng:  1 2 3 3  3n n B  n n n  n 

Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n

Trang 8

Câu 15 Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n 3) bằng (n 2)1800

Câu 16 a Chứng minh rằng với  n 2, ta luôn cóa nn1n2  n n  chia hết cho 2n b Cho ,a b là nghiệm của phương trình x227x14 0 Đặt S n a nb n Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì ( )S n là một số nguyên không chia hết cho 715 c Cho hàm số f : thỏa (1) 1, (2) 2f  f  và (f n2)2 (f n1) f n( ) Chứng minh rằng: f2(n1) f n( 2) ( )f n  ( 1)n d Cho p là số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng: n 2 2 n  p n e Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua !n đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của !n

Trang 9

Trang 10

Câu 17 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình:1, 2 x26x  Đặt 1 0 1n 2n

n

a x x Chứng minh rằng:

a.a n 6a n1a n2   n 2

b.a là một số nguyên và n a không chia hết cho 5 với mọi n n  1

Câu 18 a Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n 1), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? b Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đóhai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành 2 2 2 n  n miền

Trang 11

Câu 19 a Cho a b c d m là các số tự nhiên sao cho a, , , , d, (b1)c , ab a c   chia hết cho m Chứng minh rằng x n a b ncnd chia hết cho m với mọi số tự nhiên n b Chứng minh rằng từ n 1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau

Trang 12

C Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n chia hết cho 1 7,   n *''  * như sau:

 Giả sử  * đúng với n , tức là 8k k  chia hết cho 7 1

 Ta có: 8k 1 1 8 8 k 1 , kết hợp với giả thiết 87 k chia hết cho 7 nên suy ra được 1

1

8k   chia hết cho 7 Vậy đẳng thức 1  * đúng với mọi n   *

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp



1.2

n

n S n





2.3

n

n S n



n S n



2

n

n S n

n P n

Câu 7 Xét hai mệnh đề sau:

I) Với mọi n   số *, n33n25n chia hết cho 3

n n   n 

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ I B Chỉ II C Không có D Cả I và II

Câu 8 Với n   , hãy rút gọn biểu thức * S 1.4 2.7 3.10    n3n1

Trang 13

1

12

n n

Câu 18 Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n! 2 n1” Một học sinh đã

trình bày lời giải Câu toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với n  , ta có: ! 1! 11 n   và 2n121 1 20 1 Vậy n! 2 n1 đúng

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với nk1, tức là ta có k! 2 k1

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk1, nghĩa là phải chứng minh k 1 ! 2  k

Trang 14

Bước 3 : Ta có k1 ! k1 ! 2.2k  k 12k Vậy n! 2 n 1 với mọi số nguyên dương n

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A Đúng B Sai từ bước 2 C Sai từ bước 1 D Sai từ bước 3

Câu 19 Biết rằng

2 2

Câu 22 Trên một mặt phẳng cho n đường tròn phân biệt, đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào

giao nhau tại một điểm Các đường tròn này chia mặt phẳng thành 92 các miền rời nhau Tìm n

C Tách hạng tử D Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9

Câu 27 Chứng minh.B7.22n232n1 5 (1) với n là số nguyên dương Một học sinh đã giải như sau:

Bước 1: Xét với n  ta có 1 B 10 5

Bước 2: Giả sử (1) đúng với nk (k,k1), khi đó: B k 7.22k232k1 5

Bước 3: Chứng minh (1) đúng với nk , hay ta cần chứng minh 1

2( 1) 2 2( 1) 1

1 7.2 k 3 k 5

k

B       

Trang 15

Lập luận trên đúng đến bước nào?

Câu 28 Cho C7n3n ,Trong quy trình chứng minh 1 C theo phương pháp quy nạp, giá trị của 9 a

n n 

Câu 35 Với mọi số nguyên dương n thì 42n 32n 7

Trang 16

Câu 40 Với mọi nN*, tổng S n 1.2 2.3 3.4    n n. 1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau

Trang 17

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n   1 1 2. Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n   2 1 3, Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n   *

2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là một số tự

nhiên) thì:

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p;

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1.

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

Trang 18

n

n n n

Trang 19

Lời giải

 Với n  ta cần chứng minh:1

3 2

k

k k k

k

k k k

Trang 20

Trang 21

x x

Trang 22

VP x

* Với n  ta có: 1 VT  sin1. 1 sin VP nên đẳng thức cho đúng.

* Giả sử đẳng thức cho đúng với nk  , tức là: sin1 kx k sinx (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với nk ,tức là: 1

 

sin(k1)  k1 sin (2) Thật vậy:

 

sin k1   sinkcoscosksin

sink cos cosk sin sink sin

Trang 23

2 2

Câu 10 Cho hàm số f xác định với mọi x   và thoả mãn điều

kiện: (f xy) f x f y( ) ( ), x y,   (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có:  

2

n n

Trang 24

2

k k

2

k k

Câu 11 Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: a n16 – 15 –1 225n n 

Trang 25

A k

A k k

Ta chứng minh nó cũng đúng cho nk điểm 1

Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm A và n A n1 là A A n n1. Nếu những điểm A A1, 2, ,A nằm trên một đường n

thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n  : Gồm 1 n đường thẳng nối A n1 với các điểm

1, 2, , n

A A A và đường thẳng chúng nối chung. Nếu A A1, 2, ,A không nằm trên một đường thẳng n

thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối A n1 với các điểm A A1, 2, ,A Vì đường thẳng n A A n n1 không chứa một điểm nào trong A A1, 2, ,A n1, nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A A1, 2, ,A Như vậy số đường n

thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn n 1.

Câu 15 Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n 3) bằng (n 2)1800

Lời giải

 V ới n  ta có t3 ổng ba góc trong tam giác bằng 180 0

 Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k , ta phải chứng minh mệnh đề cũng n

đúng cho n-giác Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là k 1 180 0 và

1 180

n k 

Trang 26

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là

a. Chứng minh rằng với   , ta luôn cón 2 a nn1n2  n n  chia hết cho 2n.

b Cho ,a b là nghiệm của phương trình x227x14 0Đặt S n a nb n. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì ( )S n là một số nguyên

Trang 27

Ta xét a(k1)!, ta có: a(k1)d với r d k r!, k 1

Vì dk! nên d d1d2 d k với d i (i1, )k là các ước đôi một khác nhau của !k

Trang 28

Ta chứng minh được:

2 1

22

n

n n

a   

Câu 19

a. Cho , , , ,a b c d m là các số tự nhiên sao cho ad, (b1)c , ab a c   chia hết cho m Chứng

minh rằng x n a b ncn d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n

b. Chứng minh rằng từ n  số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội 1

Trang 29

Ta bỏ đi phần tử 2n thì ta thu được tập X gồm n phần tử và là tập con của ' 1, 2, , 2n 2 mà hai phần tử bất kì thuộc X không là bội của nhau. '

Vậy Câu toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

C Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n chia hết cho 1 7,   n *''  * như sau:

 Giả sử  * đúng với n , tức là 8k k  chia hết cho 7 1



1.2

n

n S n





2.3

n

n S n





Lời giải

Trang 30

Cách trắc nghiệm: Ta tính được 1 1, 2 2, 3 3



n S n



2

n

n S n

36

1533

n P n

Trang 31

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n.

Với n 1 thì S 1.44 (loại ngay được phương án B và C); với n 2 thì S 1.4 2.7 18 (loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n1,S 4; n2,S 18; n3,S 48 ta dự đoán được công thức S n n 12.

Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như  1

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n

Trang 32

Dễ thấy p 2thì bất đẳng thức 2p 2p là sai nên loại ngay phương án 1 D

Xét với p 3 ta thấy 2p 2p là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học 1chúng ta chứng minh được rằng 2n2n1 với mọi n 3. Vậy p 3 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của n   sao cho * 2n n2.

A n  5 B n  hoặc 1 n 6. C n 7. D n  hoặc 1 n  5

Lời giải Chọn D

Trang 33

Trang 34

Bằng các kết quả đã biết ở Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có 2 2

3

14

Câu 19 Biết rằng

2 2

là :

Trang 35

A T 75. B T 364. C T 300. D T 256

Lời giải Chọn C

n

 

 

 .

Lời giải Chọn A

Trang 36

Lời giải Chọn A

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp S n (n1)(n2)(n3) (n n )luôn chia hết cho 2n Giả sử S k (k1)(k2)(k3) (kk) 2k

12

Trên một mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt cùng đi qua 1 điểm phân biệt, này chia mặt

Trang 37

Trang 38

Câu 32 Cho E4k a k  , với 1 a là số tự nhiên. Giá tma rị nhỏ nhất của 1 a để E là: 9

Câu 33 Với mọi số nguyên dương n thì 4n 15 1

n

Trang 39

n n 

Lời giải

Trang 40

- Giả sử  1 đúng với nk ta có: 42k 32k 7 2 3.72

Với n 1 ta có S 1  nên loại đáp án B và 1 C

Với n 2 ta có S 2  nên loại đáp án D 3

Câu 37 Biết rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 2 3 n    an2bn. Tính a

Định dạng
Số trang	315
Dung lượng	10,19 MB