1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Viết phỷơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.. 2 Viết phỷơng trình các mặt phẳng P, Q song song với nhau và lần lỷợt đi q
Trang 1Câu I.
Cho hàm số y = (x + 1)2 (x - 1)2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm của phỷơng trình (x2
- 1)2 - 2m + 1 = 0
3) Tìm b để parabol y = 2x2 + b tiếp xúc với đồ thị đã vẽ ở phần 1)
Viết phỷơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm
Câu II 1) Giải bất phỷơng trình 2 - 2 + 1
2 - 1
1-x x
2) Cho hàm số y = x +1
x + a2 Xác định a để tập giá trị của y chứa đoạn [0 ; 1]
Câu III 1) Tìm m để phỷơng trình
x2- mx + m2- 3 = 0
có nghiệm x1, x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài 2
2) Tìm các nghiệm xẻ (p
2 ; 3p) của phỷơng trình sin (2x + 5
2
p ) - 3 cos (x - 7
2
p ) = 1 + 2 sinx
Câu IVa
Trong không gian với hệ tọa độĐềcác vuông góc Oxyz, cho hai đỷờng thẳng( )D1 ,( )D2 có phỷơng trình tham số (D1)
y t
z t
=
-=
=
-ỡ
ớ
ùùù
ợ
ùù
ù
1
; (D2)
x t
z t
=
=
-=
ỡ ớ
ùùù ợ
ùù ù
2 1
' ' '
1) Chứng minh rằng hai đỷờng thẳng (D1 ), (D2) chéo nhau
2) Viết phỷơng trình các mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và lần lỷợt đi qua( )D1 , (D2)
3) Tính khoảng cách giữa (D1) và(D2)
Trang 2
Câu I Xét y=(x 1) (x 1)+ 2 ư 2=(x2ư1)2 =x4ư2x2+1
1) Hàm số xác định với mọi x y' = 4x3 ư 4x, y ' = 0 khi x = 0 ; ư1 ; 1
Bảng biến thiên :
y
+∞
CT
CĐ
CT
+∞
y'' = 4(3x2 ư 1) ;
y'' = 0 khi x 1
3
= ±
3
3
1
u
1 x
3
= ư ,
1
u
4 y 9
= ,
2
u
1 x
3
= ,
2
u
4 y 9
= ,
Vẽ đồ thị :
x 2 ư2 3/2 ư3/2
2) Xét (x2ư1)2ư2m 1 0+ = ⇔ (x2ư1)2 = 2m ư 1 (1)
Xét đường thẳng y = k = 2m ư 1, trên đồ thị ta thấy :
a) k < 0 ⇒ m < 1
2 : (1) vô nghiệm ; b) k = 0 ⇒ m = 1
2 : (1) có 2 nghiệm kép x1= ư1, x2=1 ; c) 0 < k < 1 ⇒ 1
2 < m < 1 : (1) có 4 nghiệm ; d) k = 1 ⇒ m = 1 : (1) có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép x = 0 ;
e) k > 1 ⇒ m > 1 : (1) có 2 nghiệm
3) Hoành độ tiếp điểm của parabol y = 2x2 + b với đồ thị hàm số y=(x 1) (x 1)+ 2 ư 2 là nghiệm của hệ
3
(2) ⇔ 4x(x2 ư 2) = 0 ⇔ x = 0, x= ± 2 Thế vào (2) ta được b = 1, b = ư3
Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến chung
b = 1 : y = 1 (hoành độ tiếp điểm x = 0)
b = ư3 : y = 4 2x ư 7 (hoành độ tiếp điểm x = 2)
Trang 3y = ư4 2x ư 7 (hoành độ tiếp điểm x = ư 2)
Câu II
1) Giải
x
0
ư , điều kiện x ≠ 0 Đặt
x
t 0
=
>
ta có
2
0 t(t 1)
ư (t > 0, t ≠ 1)
⇔ (t 1)(t 2) 0
t(t 1)
ư (t > 0, t ≠ 1) ⇔ t ∈ (0 ; 1) hoặc t ∈ [2 ; +∞) ⇒ x < 0 hoặc 1 ≤ x
2) Điều kiện cần Ta có y = 0 ⇒ x = ư1, với điều kiện mẫu không chia hết cho tử, vậy a ≠ ư1 Đồng thời
2
x 1
+
2
x ư x + (a ư 1) = 0 ⇒ ∆ = 5 ư 4a ≥ 0 ⇒ a ≤ 5
4 Thành thử a ≤
5
4, a ≠ ư1
Điều kiện đủ Ngược lại, giả sử a ≤ 5
4, a ≠ ư1
2
x 1 y
+
= + ⇒ y
2
x ư x + ay ư 1 = 0 (1)
Ta phải chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi y ∈ (0 ; 1) (các giá trị y = 0, y = 1 đã được xét), tức là (1) có biệt số ∆ = ư 4ay2 + 4y + 1 ≥ 0 (2)
Với a ≤ 0 (a ≠ ư1), và với y ∈ (0 ; 1) hiển nhiên (2) được nghiệm Với a > 0 (a 5)
4
≤ xét hàm số
f(y) = ư4ay + 4y + 1 2
Hàm số có đồ thị là một parabol với bề lõm quay xuống dưới, vậy
y [0 ; 1]
min
∈ f(y) = min{f(0) ; f(1)} = min{1 ; 5 ư 4a} ≥ 0
Thành thử (2) được nghiệm đúng với các điều kiện đã đặt cho a và cho y
Vậy đáp số là : a 5
4
≤ , a ≠ ư1
Câu III
1) Phương trình x2ưmx+m2ư =3 0 phải có nghiệm : ∆ = 12 ư 3m2 ≥ 0 ⇒ | m |≤2
Đồng thời phải có
x , x 0
>
S, P 0
>
2 2
>
ư >
=
⇒ vô nghiệm
2) sin 2x 5 3cos x 7
= 1 + 2sinx
⇔ cos2x + 3sinx = 1 + 2sinx ⇔ 2sinx sin x 1
2
= 0
⇒ x1 = kπ ; x2 2n
6
π
= + π ; x3 5 2m
6
π
Xét điều kiện x ∈ ; 3
2
π
π
, ta có k = 1, 2, 3 ; n = 1 ; m = 0,1
Trang 4Câu IVa 1) Các đỷờng thẳng D1,D2lần lỷợt có vectơ chỉ phỷơng
r
u1= (-1 ; 1 ; -1),ur2 = (2 ; -1 ; 1)
Rõ ràngru1 không song song và cũng không trực giao vớiru2 Ta phải chứng minh thêm rằngD1vàD2không cắt nhau, quả vậy nếu chúng cắt nhau thì phải tồn tại 2 giá trị t, t’ sao cho
1 - t = 2t’
t = 1 - t’
- t = t’
nhỷng hệ này vô nghiệm
2) Ta tìm một vectơ n
đĂ vuông góc đồng thời vớiru vm ur
1 2, và đỷợc nđĂ= (0 ; 1 ; 1) Vậy các mặt phẳng (P), (Q) có cùng vectơ pháp tuyến làđĂn= (0 ; 1 ; 1), suy ra phỷơng trình của chúng có dạng y + z + d = 0
ứng với t = 0 ta đỷợc điểm M1(1 , 0 , 0) thuộc D1; ứng với t’ = 0 ta đỷợc điểm M2(0 , 1 , 0) thuộc D2 (P) đi qua M1, nên 0 + 0 + d = 0ị d = 0, vậy (P) có phỷơng trình y + z = 0 (Q) đi qua M2, nên 1 + 0 + d = 0ị d = -1, vậy (Q) có
phỷơng trình y + z - 1 = 0
3) Khoảng cách giữa D1và D2cũng là khoảng cách giữa (P) và (Q) và bằng 2
2 .
Câu IVb 1) Xét hai trỷờng hợp
a) k = 1 : BM = CNị BMNC là hình bình hành ị MN//BC ị
Giao tuyến của (ABC) và (AMN) là đỷờng thẳng đi qua A và song
song với BCị Giao tuyến ấy cố định
b) kạ 1 : Khi đó đỷờng thẳng MN sẽ cắt đỷờng thẳng BC ở I
Theo định lí Talét : IB
IC = BMCN = k ị IB = kIC.
Mặt khác: |IB - IC| = a ị |kIC - IC| = a ị IC = a
|k - 1|
ị I cố định
Vậy đỷờng thẳng AI cố định là giao tuyến của (AMN) và (ABC)
Trang 52) Gọi K là điểm giữaBC ị PK//Bx//Cy ị BK^(ABC) ị BK là hình chiếu của PB trên (ABC), AK là hình chiếu
PA trên (ABC)
Mặt khác:
BK = a
2 < a 32 = AKị PA > PB.
Nhỷng : MBN^ nhọnị PB > PM, vậy PM < PA Theo hệ thức lỷợng trong tam giác thỷờng ta có:
2PA2= AM2+ AN2- MN
2
2
=MN2+2AM.ANcosA-MN
2
2
= 2AM.ANcosA + MN
2
2
=2AM.ANcosA + 2PM2
ị 2(PA2- PM2) = = 2AM.ANcosA > 0 ị cosA > 0 ị A nhọn
3) k = 0,5, CN = a 2 : Ta có BM = CN
2 = a 22 ị IB =BC = a = AB ị MI = MN = MA = MC = a + a2 = a 62
HạKJ ^ MN, theo định lí ba đỷờng vuông góc suy ra : AJ ^ MN
Vậy: j = KJA^ là góc phẳng của nhị diện (AMN; CBMN)
Tính:j
Ta có : KJ.IN = 2SDIKN = NC.IK ị KJ = NC.IK
a 2 3a
2 2a + 4a2 2 = 3a 2
2a 6 = 3a2 3 = a 32
2
Do đóKJ = a 3
2 = AK ị DAKJ vuông cân ở K ị j = 45
o
Trang 6Câu IVb.
Cho tam giác đều ABC Các nửa đỷờng thẳng Bx, Cy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy M, N lầnlỷỳồt là hai điểm di động trên Bx, Cy ; P là trung điểm đoạn MN Đặt BM
CN = k (k>0). 1) Chứng minh rằng với k không đổi thì hai mặt phẳng (ABC), (AMN) cắt nhau theo giao tuyến cố định
2) Chứng minh rằng PM
PA < 1, từ đó suy ra tam giác AMN có góc A nhọn.
3) Biết k = 1
2, CN = AB 2, hãy tính góc phẳng của nhị diện tạo bởi các nửa mặt phẳng (MNA) và (MNB).
