CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN 6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp

Trang 1

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

Giải phương trình mũ chứa tham số

Chủ đề: Bất phương trình mũ

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Phương pháp giải bất phương trình mũ

Trang 2

+ Nếu b le; 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm

+ Nếu b > 0 thì phương trình đã cho tương đương f(x)= logab

Ta có: −2 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2 Phương trình 3x+1 = 27 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

Trang 3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 Do đó, phương trình đã cho không

có nghiệm nguyên âm

Ví dụ 3 Phương trình 5x = 10 có nghiệm x = 1+ log5a Tìm a?

A a = 1 B.a = 2 C.a = 5 D.a = 10

Trang 5

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình đã cho là : −1+ 6 = 5.

Ví dụ 4 Biết rằng phương trình 9x2 − 10x + 11 = 81 có hai nghiệm phân biệt x1,

⇔x = 1 hoặc x = 9 Do đó , tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là S = 10

Ví dụ 5 Cho phương trình : Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

Trang 6

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D Phương trình vô nghiệm

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Nghiệm của phương trình là:

Khi đó

Trang 7

Khi đó, phương trình đã cho có dạng m.t2 + nt + p= 0

● m.af(x) + n.bf()x) + p = 0, trong đó ab = 1 Đặt t = af(x),( t> 0);suy ra

● m.a2f(x) + n (ab)f(x) + p.b2f(x) = 0 Chia hai vế cho b2f(x) và đặt

• Phương trình dạng Aa3x + m + Ba2x + n + Cax + p + D = 0

+ Ta biến đổi Aam.(ax)3 + Ban.(ax)2 + Capax + D = 0

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn t= ax ,(t > 0 ), ta bấm máy tính tìm nghiệm vàđối chiếu với điều kiện

+ Lưu ý biến dạng a2x = (a2)x, a3x = (a3)x và ta có thể biến x thành một hàm f(x)

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Phương trình có bao nhiêu nghiệm âm?

A.1 B 3 C 2 D 0

Trang 8

Đáp án: A

Phương trình đã cho xác đinh với mọi x

Phương trình tương đương với

3t = 2 + t2 ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2

● Với t= 1, ta được

● Với t= 2, ta được

Vậy phương trình có một nghiệm âm

A.2 B 4 C 1 D 0

Đáp án: A

Trang 9

Phương trình đã cho xác định với mọi x.

Đặt t = 3x ( t > 0) Phương trình trở thành t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3

● Với t = 1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0

● Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1

Ví dụ 3 Cho phương trình 4.4x − 9 2x+1 + 8 = 0 Gọi x1; x2 là hai nghiệm củaphương trình trên Khi đó, tích x1.x2 bằng :

Trang 10

Ví dụ 4 Nghiệm của phương trình 6.4x − 13 6x + 6 9x = 0 là:

Đáp án: A

Ta có: 6.4x − 13 6x + 6 9x = 0

Chia cả hai vế phương trình cho 4x > 0 ta được:

Trang 11

Ví dụ 1 Nghiệm của phương trình 12 3x + 3 15x − 5x+ 1 = 20 là:

A x = log35 − 1 B x = log>35 C.x = log35 + 1 D x = log53 − 1

Trang 12

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên phân biệt.

Ví dụ 3 Phương trình 2x − 3 = 3x2 − 5x + 6 có bao nhiêu nghiệm không nguyên?

Trang 13

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: log22x − 3 = log23x2 − 5x+ 6

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm không nguyên

Ví dụ 4 Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1,

x2 Tổng x1 + x2 có dạng ,với a,b ∈ N* và là phân số tối giản Tính S =a+ 2b

Trang 14

Do đó: x1 + x2 = 2 − log97 = log981 − log97

Ví dụ 5 Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2.Tính giá trị của biểu thức S = x1 + x2

Đáp án: D

Điều kiện: x ≠ −2 (*)

Phương trình

Trang 15

Do đó S = x1 + x2 = −1 − log23 = −log23 − log22 = −log26

Dạng 5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và phương pháp đánh giá

o Tính chất 3 Nếu hàm số y =f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên Dthì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v ( hoặc u < v)

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Phương trình (√3 − √2)x + (√3 + √2)x = (√10)x có tất cả bao nhiêu nghiệmthực ?

A 1 B 2 C 3 D 0

Trang 16

Đáp án: A

Xét hàm số

Hàm số f(x) nghịch biến trên R do các cơ số

Do đó, nếu phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy f(2) =1 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2

Ví dụ 2 Phương trình 32x +2x (3x + 1) − 4 3x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệmkhông âm ?

A 1 B 2 C 0 D 3

Đáp án: A

Ta có: 32x +2x (3x + 1) − 4 3x − 5 = 0

Trang 17

+ TH2 Nếu t = 3 - x thì 2x = 3- x , theo ví dụ trên ta được x= 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2

Trang 18

Xét hàm số f(t) = 2t + 3t với t ∈ R có f’(t) = 2t.ln2 + 3 > 0 với mọi t.

Suy ra, hàm số f(t) đồng biến trên R nên (1)

Ví dụ 5 Phương trình 2 x2 + 1 + 3 x2 + 2 = 5(sinx + cosx) có số nghiệm là ?.

A 2 B 1 C 0 D 3

Đáp án: C

Trang 19

Điều kiện: x ≠ R (*)

Ta có 2x2 + 1 + 3x2 + 2 ≥ 20 + 1 + 30 + 2 = 11, ∀x ∈ R

Mà 5(sinx + cosx) ≤ 5(1 + 1) = 10, ∀x ∈ R

=> 2x2 + 1 + 3x2 + 2 > 5(sinx + cosx) => phương trình vô nghiệm

Dạng 6 Bài toán tìm tham số m thỏa mãn điều kiện T

Trang 20

Đặt f(t) = ( m + 1)t2 − 2 (2m − 3)t + 6m + 5

Yêu cầu bài toán ⇔(*) có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

Trang 21

Ví dụ 3 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x − m 2x+1 +2m = 0 cóhai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 3?

Thử lại ta được m = 4 thỏa mãn

Ví dụ 4 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 6x +( 3 −m).2x − m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

Trang 22

Xét hàm số

Ta có:

Suy ra, f(x) đồng biến trên khoảng (0 ; 1) thì f(0) < f(x) < f(1)

Ví dụ 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình √(3x + 3)+ √(5 − 3x) =

Trang 23

Số nghiệm của √(3x + 3)+ √(5 − 3x) = m (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm

số y= f(x) và đường thẳng y = m

Vậy để (*) có nghiệm thì

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

A Phương pháp giải & Ví dụ

1 Phương trình mũ cơ bản.

Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = m (1)

Nếu m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = logam

Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

2 Phương pháp đưa về cùng cơ số.

Với a > 0 và a ≠ 1 ta có af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

3 Phương pháp lôgarit hoá.

af(x) = b ⇔ f(x) = logab

af(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x)logab

Trang 26

Bài 3: Giải phương trình

Trang 27

Phương trình đã cho tương đương:

Trang 28

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ±√5

Vậy phương trình có nghiệm là x = 9

Trang 29

Trang 30

Điều kiện x ≠ 2

Phương trình đã cho tương đương

Trang 31

Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

Bài 1: Phương trình 3x3-9x+4 = 81 có mấy nghiệm?

Phương trình đã cho tương đương với: 4.2x.5x=40000 ⇔ 10x = 10000 ⇔ x = 4

Bài 3: Phương trình 3x-2 = 666661 có bao nhiêu nghiệm?

Cách 2: Lấy logarit hai vế ta được x-2 = log3666661

Bài 4: Cho phương trình 3x2-4x+5 = 9 tổng lập phương các nghiệm thực củaphương trình là:

A 28 B 27 C 26 D 25.

Trang 33

Bài 6: Cho phương trình: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

B Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D Phương trình vô nghiệm.

Đáp án :

Giải thích :

Nghiệm của phương trình là: S = {-7/3;3} Vì -7/3.3 = -7 < 0

Bài 7: Phương trình 28-x2.58-x2 = 0,001.1051-x có tổng các nghiệm là?

A 7 B -7 C.5 D.-5.

Trang 35

Đáp án :

Giải thích :

Bài 10: Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15x - 5x+1 = 20 là:

A x=log53-1 B x=log35 C x=log35+1 D x=log35-1

Trang 37

-Bài 13: Cho phương trình: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

Trang 38

Bài 14: Phương trình 28-x2.58-x2 = 0,001.(105)1-x có tổng các nghiệm là:

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

Ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phươngtrình với 1 ẩn phụ

Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

Dạng 1: Phương trình αk + αk-1 a(k-1)x + + α1 ax + α0 = 0

Khi đó ta đặt t = ax điều kiện t > 0, ta được αk tk + αk-1 tk-1 + + α1 t + α0 = 0

Mở rộng: Nếu đặt t = af(x) , điều kiện hẹp t > 0

Dạng 2: Phương trình α1 ax + α2 ax + α3 = 0 với a.b = 1

Trang 39

Mở rộng: Với a.b = 1 thì khi đặt t = af(x), điều kiện hẹp t > 0, suy

ra

Dạng 3: Phương trình α1 a2x + α2 (a.b)x + α3 b2x = 0 khi đó chia hai vế của phươngtrình cho b2x > 0 (hoặc a2x, (a.b)x), điều kiện t < 0, ta được

, điều kiện t < 0 , ta được α1 t2 + α2 t+α3 = 0

Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a2f, b2f, (a.b)2f, ta thựchiện theo các bước sau:

+ Chia 2 vế của phương trình cho b2f > 0 (hoặc a2f,(a.b)f)

+ Đặt điều kiện hẹp t > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 9x-5.3x+6=0

Hướng dẫn:

Đặt t=3x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 2: Giải phương trình sau: (7+4√3)x-3(2-√3)x+2=0

Hướng dẫn:

Trang 40

Do đó nếu đặt t=(2+√3)x điều kiện t > 0 thì (2-√3)x=1/t và (7+4√3)x = t2

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm x=0

Bài 3: Giải phương trình sau: (√2-1)x+(√2+1)x-2√2=0

Hướng dẫn:

Đặt t=(√2+1)x ta có phương trình đã cho tương đương:

Bài 4: Giải phương trình sau: (3+√5)x+16(3-√5)x = 2x+3

Hướng dẫn:

Chia cả hai vế của phương trình cho 2x > 0, ta được

Trang 42

Bài 2: Giải phương trình sau:

Chia cả hai vế của phương trình cho 22x+2 ≠ 0 ta được:

Đặt t = 2x2-x điều kiện t > 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có hai nghiệm

Biến đổi phương trình về dạng:

Trang 44

Khi đó phương trình (1) có dạng:

Đặt u = 2x, u > 0 Khi đó phương trình (2) có dạng:

Trang 45

Khi đó phương trình (*) tương đương:

Biến đổi phương trình về dạng:

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

Trang 46

Điều kiện x ≥ 0 Biến đổi phương trình về dạng:

Đặt t=3√x, điều kiện t ≥ 1

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Đưa phương trình về dạng: 22(x+1) + 2x+4 = 2x+2 + 16 ⇔ 2.22x - 6.2x - 8 = 0Đặt t = 2x, điều kiện t > 0

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Trang 47

Đưa phương trình đã cho về dạng:

Đặt t = 3x2+x, t > 0

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

38.32x-4.35.3x+27=0 ⇔ 6561.(3x )2-972.3x+27 = 0Đặt t = 3x, t > 0

Trang 48

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

Đặt t = 3x, t > 0

Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

Trang 49

Bài 1: Phương trình sau có mấy nghiệm?

t2-10t+16 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 8 Do đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 3

Bài 3: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm âm?

Trang 50

Đặt t = 3x, t > 0 Phương trình trở thành

• Với t = 1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0

• Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1

Bài 4: Phương trình 9x-5.3x+6=0 có nghiệm là:

Đặt t = 3x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 5: Cho phương trình 4.4x - 9.2(x+1) + 8 = 0 Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phươngtrình trên Khi đó, tích x1.x2 bằng :

A -1 B 2 C -2 D 1.

Trang 51

Đáp án : C

Giải thích :

Vậy x1.x2 = -1.2 = -2

Bài 6: Cho phương trình 4x-4(1-x) = 3 Khẳng định nào sau đây sai?

A Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x - 3.4x - 4 = 0

B Phương trình có một nghiệm.

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

Đáp án : D

Giải thích :

Đặt t=4x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 7: Phương trình 9x-5.3x+6=0 có tổng các nghiệm là:

Trang 52

Suy ra 1 + log3 2 = log3 3 + log3 2 = log3 6

Bài 8: Phương trình 5x + 25(1-x) = 6 có tích các nghiệm là :

Đáp án : B

Trang 53

Giải thích :

Đặt t = 5x > 0.Khi đó:

Trang 54

Bài 9: Phương trình (7+4√3)x+(2+√3)x=6 có nghiệm là:

A.x = log2+√3 2 B x = log2 3

C x = log2 (2+√3) D x = 1.

Đáp án : A

Giải thích :

Đặt t = (2+√3)x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 10: Cho phương trình 2(cos2 x)+4.2(sin2 x) = 6 Phương trình có bao nhiêunghiệm?

A.0 B.2 C.4 D Vô số nghiệm.

Đáp án : D

Giải thích :

Đặt t = 2(cos2 x), t ∈ [1;2] ta được: t2-6t+8 = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = 2

Đỗi chiếu điều kiện ta được t = 2 ⇒ 2(cos2 x) = 21 ⇒ x = kπ; k ∈ Z

Bài 11: Phương trình: (√5+√2)x + (√3-√2)x = (√7)x có mấy nghiệm?

Trang 55

Phương trình trở thành: ax+bx=1.

Nếu x ≥ 0 thì ax ≥ 1, bx > 0 nên vế trái > 1

Nếu x < 0 thì ax > 0, bx > 1 nên vế trái > 1

Bài 12: Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình sau Khi đó, tổng hai nghiệmbằng?

Trang 56

Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.

Bài 13: Phương trình 3(1-x) = 2 + (1/9)x có bao nhiêu nghiệm âm?

A 1 B 3 C 2 D 0.

Đáp án : A

Giải thích :

Vậy phương trình có một nghiệm âm

Bài 14: Số nghiệm của phương trình sau là:

Trang 57

Vậy phương trình có nghiệm x=0, x=1.

Bài 15: Cho phương trình 4.4x-9.2(x+1)+8=0 Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phươngtrình trên Khi đó tích x1.x2 bằng :

A -2 B 2 C -1 D 1.

Đáp án : A

Giải thích :

Trang 58

Vậy x1.x2 = -1.2 = -2 Chọn đáp án A

Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

Hướng 1:

• Bước 1 Chuyển phương trình về dạng f(x)=k

• Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D Khẳng định hàm sốđơn điệu

• Bước 3 Nhận xét:

+ Với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k do đó x = x0 là nghiệm

+ Với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm

+ Với x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm

• Bước 4 Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2:

• Bước 1 Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x)

• Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x) Khẳng địnhhàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc làhàm hằng

• Bước 3 Xác đinh x0 sao cho f(x0) = g(x0

• Bước 4 Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Định dạng
Số trang	116
Dung lượng	1,53 MB