CHU DE TINH CHAT CHIA HET

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhieân lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 4... A/ LYÙ THUYEÁT:.[r]

Chủ đề nâng cao: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI

A KIẾN THỨC CƠ BẢN :

1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b  0)

.

a b q  a b 

a là bội của b

 b là ước của a

2) Tính chất:

1 Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

2 Nếu a b và b c  a c

3 Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

4 Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

5 Nếu a  m và b  m thì a b m  và a b m 

6 Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho

m

thì số còn lại cũng chia hết cho m

7 Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho

m

thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m

8 Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

9 Nếu a m b n ,   ab mn

Hệ Quả: Nếu a b  a nb n

Nếu a m a n m n ,  ,( , ) 1   a mn

B.Ví dụ:

Ví dụ 1:Chứng minh rằng:

a) ab ba chia hết cho 11

b) ab ba Chia hết cho 9 với a > b

Giải:

a) Ta có ab ba= (10a +b) + (10b + a)

= 11a + 11b

= 11(a + b)  11 Vậy ab ba  11

b) Ta có : ab ba= (10a + b) – (10b + a)

= 9a – 9b = 9 (a – b)  9

Chú ý : Nếu ab cd  11  abcd  11

Ví dụ 2: Tìm n N để:

a) n + 4  n b) 3n + 7  n

Giải:

a) n + 4  n ,

vì n  n => 4  n

=> n Ư(4) = 1; 2; 4

b) 3n + 7  n;

vì 3n  n => 7  n

=> n Ư(7) = 1;7

C BÀI TẬP:

1) Cho abc deg 7  Cmr abcdeg 7 

2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11 3) Cho số abc27Chứng minh rằng số bca 27

4 CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

5 CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không chia hết cho 10

6 Tìm n N để:

a) 27 – 5n  n b) n + 6  n + 2

c) 2n + 3  n – 2 d) 3n + 1  11 – 2n

7 Cmr nếu ab cd eg   11thì abcdeg 11 

8 Cho abc  deg 37  Cmr abcdeg 37 

9 Cho 10 k – 1  19 với k > 1 CMR: 102k – 1  19

10 Cho n là số tự nhiên CMR:

a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2

b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3

11 Chứng minh rằng nếu ab  2cd  abcd 67

Giải:

: deg 1000 deg 1001 ( deg )

7.143 ( deg )

abc abc

1)Tacó

Mà : 7.143abc7 và abc deg 7  Vậy abcdeg 7 

2 Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab.( 0 < a  9, 0  b  9, a,b N)

Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba

1000 100 10

1001 110 7.11.13 11.10 11

abba



Vậy

3 abc27

0 27

1000 0 27

27.37 27

27 ( 27.37 27)

abc

a bc

a a bc

a bca













4 Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2

Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3

Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3  3

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3

Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

5 Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên

Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10

Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên

Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5  10

6 a) 27 – 5n  n ; 5n  n => 27  n => n Ư(27) = 1;3;9; 27 nhưng 5n < 27 nên n

< 6

Vậy n  1;3

b) n + 6  n + 2 => n + 2 + 4  n + 2, mà n +2  n + 2 => 4  n + 2 => n + 2

1; 2; 4

 => n 0; 2

c) 2n + 3  n – 2 => 2(n – 2) + 7  n -2 => 7  n - 2 => n – 2 1;7 => n

 3;9 



d*) 3n + 1  11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n)  11 – 2n => 35  11 – 2n

=> 11 – 2n 1;5;7;35 nhưng vì n < 6 nên n 5;3;2

9999 11; 99 11;( ) 11

có

Vậy : abcdeg 11 

5) : deg 1000 deg 999 ( deg)

27.37 ( deg) 27.37 37; ( deg) 37; : deg 37

abc abc



có

Vậy

9 Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)

Do 10k - 1 19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1)  19

Vây 102k – 1  19

10 a/ (n + 10 ) (n + 15 )

Khi n chẵn => n = 2k (k N).

Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2

Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k N)

Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2

Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2

b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2)

+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2

+ Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (1)

Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2

Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

(2)

Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho cả 2 và 3

11 Ta có abcd  100ab cd

Mà: ab  2cd

Suy ra: abcd  2cdcd  200cd cd  201cd 3.67cd  67

Vậy: abcd 67

CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT A/ LÝ THUYẾT:

n

n n

n n

a a a a







n

Gọi A = a Tacó

B/ Ví du:

Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ

số ở giữa của nó là 97

Giải: Gọi n là số phải tìm Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số n = *975 Hoặc số n *970

Khi: n = *975  9 => (* + 9 + 7 + 5)  9 => * = 6 Thử lại 6975 không chia hết cho 27

Khi: n = *970  9 => (* + 9 + 7 + 0)  9 => * = 2 Thử lại 2970 chia hết cho 27

Vây số 2970 là số phải tìm

Ví dụ 2: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó

a CMR: b chia hết cho a b Giả sử b = ka (k N) CM: k là ước của 10 Giải: a) Theo đề bài ta có: ab = 3ab

=> 10a + b = 3ab (1)

=> 10a + b  a => b a b) Do b = ka nên k < 10 Thay b = ka vào (1), ta có:

10a + ka = 3a.ka

=> a(10 + k) = 3ak a

=> 10 + k = 3ak => 10 + k  k

=> 10  k Vậy k là ước của 10

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n  N thì số 92n – 1 chia hết cho cả 2 và 5 Giải: Có: 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = ….1 - 1 = …0

Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5

C/ BÀI TẬP:

1 Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:

a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125

b/ Số 9 4xy chia hết cho 2, cho4, cho 8

2 Cho n N, chứng minh rằng:

a/ 5n – 1 4 b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4

c/ 10n - 1  9 d/ 10n + 8  9

3 Chứng minh rằng:

a/ 1028 + 8  72 b/ 88 + 220  17

4 CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5

5 CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5

b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5

Giải:

1 a/ 275x  5  x0;5 ; 275x  25  x 0 ; 275x  125  x 0

b/ 9 4 2xy   x y, 0;1; 2; ;9 ; 9 4 4xy   x0;1; 2; ;9 , y0, 2, 4,6,8

9 4 8xy   x0;2; 4;6;8 ; y2;6 hoặc x1;3;5;7;9 ;y0;4;8

2 a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4

+ Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4  4

+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4

Vậy với n N, 5n – 1 4

b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2 + n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4

c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99… 9  9

n chữ số 0 n chữ số 9

d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9

n chữ số 0 n-1 chữ số 0

3 a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08  9 (1)

28 chữ số 0 27 chữ số 0

Số 1028 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)

Mặt khác (8;9) = 1 Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72

b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220 17  17

vây 88 + 220 chia hết cho 17

4 Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên

liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6 Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5

5 a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5  5

b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … 6 =….0

Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5

SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ.

PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

A/ LÝ THUYẾT:

+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó + Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước

+ Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n

n chữ số 0

+ Cách xác định số lượng ước của một số: Khi phân tích M ra thừa số nguyên tố, ta có

M = ax.by….cz thì các ước của M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1)

+ Nếu ab Pvới P là số nguyên tố thì hoặc a P hoặc b P

Đặc biệt: Nếu an P thì a P

B/ VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho A = 5 + 52 + 53 +……+5100

a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?

b) Số A có phải là số chính phương không?

Giải: a) Có A > 5; A  5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số

b) Có 52  25, 53  25;… ;5100 25, nhưng 5 25 nên A  25

Số A  5 nhưng A  25 nên A không là số chính phương

Ví dụ 2 : Số 54 có bao nhiêu ước

Giải: Có: 54 = 2 33 Số ước của 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 ước

Tập hợp các ước của 54 là: Ư(54) = 1;2;3;6;9;18; 27;54

Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 , p + 4 cũng là số nguyên tố.

Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm

C/ BÀI TẬP:

1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 Tìm số nhỏ nhất trong ba số đó? 2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?

3) Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố.

a) p + 2 và p + 10.

b) P + 10 và p + 20.

4) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Biết p + 2 cũng là số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 6

5) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là hợp số 6) Cho a, n N*, biết an 5 Chứng minh: a2 + 150  25

Giải:

1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số nguyên tố đó phải có một số chẳn Đó là số 2 số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho

2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số thứ hai là: 2003 – 2 = 2001 chia hết cho 3 nên là hợp số

Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng bằng 2003

3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với

k là số tự nhiên

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm

b/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với

k là số tự nhiên

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là số nguyên tố

Nếu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 20 là hợp số, trái với đề bài

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm

4) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẽ, => p + 1 là số chẵn nên p + 1 2 (1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k N)

Dạng p = 3k + 1 không xãy ra

Dạng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra p + 1  6

5) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k N)

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài Vậy p có dạng 3k + 1 khi đó p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số 6) Có an 5 mà 5 là số nguyên tố nên a  5 => a2  25

Mặt khác 15025 nên a2 + 150 25