Tài liệu Phương pháp thay đổi biến số pptx

Email: nguyendunghus@gmail.com Một phương pháp thay đổi biến số Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số a,b,c có tích bằng 1, đó là đặt

Email: nguyendunghus@gmail.com

Một phương pháp thay đổi biến số

Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một phép thế khác trong trường hợp 3 số a,b,c có tích bằng 1, đó là đặt a yz2,b zx2,c xy2

= = = , với a,b,c dương thì x,y,z cũng dương Tư tưởng chủ đạo của phép thế này là xuất hiện đại lượng bình phương ở tử phân

thức, sau

đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở dạng Svác:

; , , , , , 0

A B C

A B C X Y Z

+ +

+ +

Một số kí hiệu dùng trong bài viết:

sym

å : tổng đối xứng Ví dụ: 2 2 2 2 2 2 2

sym

å

cyc

å : tổng hoán vị Ví dụ: 2 2 2 2 ;a b c d, , , 2 2 2 2 2

cyc cyc

Các bạn hãy theo dõi một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:

(a 1)(1a 2) (+ b 1)(1b 2) (+ c 1)(1c 2)³12

Giải Các bạn có thể đặt a x,b y,c z

= = = nhưng bất đẳng thức mới không dễ dàng chứng minh được! Xét phép đổi biến a yz2 ,b zx2,c xy2

= = = với x,y,z là các số thực dương Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:

1 2

Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có:

2

4

cyc

cyc

x

³

Ta có

2

1

0 2

cyc

å

Bất đẳng thức trên luôn đúng, suy ra đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = = Û = = =y z 1 a b c 1

Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:

1

Đặt a yz2,b zx2,c xy2

= = = với x,y,z là các số thực dương, bất đẳng thức trên trở thành:

Sử dụng bất đẳng thức Svác:

2

4

cyc

x

³

å

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

2

2 2 2 2 2 2

Suy ra đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = = Û = = =y z 1 a b c 1

Qua hai ví dụ trên các bạn có thể thấy đây là một phương pháp hoàn toàn tự nhiên và dễ

sử dụng Tuy nhiên đối với một số bài toán cần sử dụng cả hai cách thay đổi biến số

Ví dụ 3 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng:

1 3

Giải: Đặt x b,y c,z a

= = = thì bất đẳng thức trở thành

0

1 2 x 1 +1 2 y 1 +1 2 z 1 ³

Do xyz=1 nên ta tồn tại các số thực dương m,n,p sao cho x np2,y mp2 ,z mn2

Bất đẳng thức trên trở thành:

4

2

1 3 2

cyc

m

å

Áp dụng bất đẳng thức Svác ta có

2

4

cyc

cyc

m

³

å

å

2

cyc cyc cyc cyc

Ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m n= = Û = = = Û = =p x y z 1 a b c

Cách thế trên không những phát huy tác dụng với bài toán 3 biến mà còn có thể sử dụng cho những bài toán nhiều biến hơn nhưng khối lượng tính toán hơi phức tạp

Ví dụ 4 (Thi chọn đội tuyển Trung Quốc 2004) Cho a,b,c,d là các số thực dương có

tích bằng 1 Chứng minh rằng:

( ) (2 ) (2 ) (2 )2 1

1 a + 1 b + 1 c + 1 d ³

Giải:

Vì ở đây có 4 biến nên ta đặt a yzt3 ,b ztx3 ,c txy3 ,d xyz3

= = = = với x,y,z,t là các số thực

dương Bất đẳng thức trên trở thành:

6 2

cyc

x

+

å

Áp dụng bất đẳng thức Svác:

2

6

cyc

cyc

x

³

å

å

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh:

2

cyc cyc cyc cyc

Đến đây các bạn có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

3

3

cyc cyc

Suy ra đpcm

Nhận xét: Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau

Cho a a1, , ,2 a là các số thực dương có tích bằng 1 Với n k= n-1 chứng minh rằng:

( )2 1

1

1 1

n

i= ka i

³ +

å

Kết thúc bài viết, mời các bạn làm một số bài tập vận dụng sau:

Bài tập 1 Cho a,b,c,d là các số thực dương có tích là 1 Chứng minh rằng:

1

1 a 2a +1 b 2c +1 c 2c +1 d 2d ³

Bài tập 2 Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:

3

1 a a +1 b b +1 c c £

Lời giải cho bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Đặt a yzt3 ,b ztx3 ,c txy3 ,d xyz3

= = = = với x,y,z,t là các số thực dương

Bất đẳng thức trên trở thành: 6 3 2 2 2 1

2

å

Áp dụng bất đẳng thức Svác, ta được:

2 3 6

cyc cyc

cyc cyc cyc

x x

³

å

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh

2

cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc cyc

Chứng minh điều này tương tự chứng minh trong ví dụ 4

Bài tập 2 Áp dụng kết quả ví dụ 2 ta được:

2

1

+

Suy ra:

2

cyc cyc cyc

a

+

cyc a a ³ Þ cyc a a £