CHUYÊN ĐỀ ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU

Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc

ĐA GIÁC ĐA GIÁC ĐỀU

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng

chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó

2 Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

3 Bổ sung

 Tổng các góc trong của đa giác n cạnh (n > 2) là (n - 2).180�

 Số đường chéo của một đa giác n cạnh (n > 2) là

(n - 3).n

2

 Tổng các góc ngoài của đa giác n cạnh (n > 2) là 360° (tại mỗi đỉnh chỉ chọn một góc ngoài)

 Trong một đa giác đều, giao điểm O của hai đường phân giác của hai góc là tâm của đa giác đều Tâm O cách đều các đỉnh, cách đều các cạnh của đa giác đều Có một đường tròn tâm O đi qua các đỉnh của đa giác đều gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm P sao cho DPE đều Tính APC�

Giải Ta xét hai trường hợp :

Hình 48

 Nếu P ở trong ngũ giác (h.48) thì:

AEP = CDP = 108° - 60° = 48°.� �

Từ AEP ; CDP cân ta có

APE = CPD = 180° - 48° : 2 = 66°.� �  

Vậy APC = 360° - 60° - 2.66° = 168°.�

Hình 49

 Nếu P ở phía ngoài ngũ giác (h.49) thì:

� �

 AEP = CDP = 108° + 60° = 168°

=> APE = CPD = l80° - 168° : 2 = 6°

Vậy APC = 60° - 2.6° = 48°.�

Ví dụ 2 Cho lục giác đều ABCDEF Gọi M là trung điểm EF và N là trung điểm

của BĐ Chứng minh rằng AMN là tam giác đều

Giải (h.50)

Gọi I, K là trung điểm của AB,CD Ta có BCNI là hình bình hanh

=> BI // CN, BI = CN => AI // CN ; AI = CN

=> AICN là hình bình hành => CI = AN

+ Ta có MNKE là hình bình hành, suy ra MN = KE

+ Mặt khác : BCI = DEK = FAM (c.g.c)

=> CI = EK = MA

=> AN = MN = AM hay AMN đều.

Ví dụ 3 Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng

độ dài các đường chéo của nó

Giải (h.51)

Áp dụng tính chất về quan hệ các cạnh của tam giác, ta có :

AB+BC+CD+DE+EA<(AN+NB)+(BP+PQ+(OQ+QD)+(DK+KE)+(EM+MA) Mặt khác : AN + PC < AC

BP + DQ < BD

CQ + KE < CE

DK + MA < DA

EM + NB < EB

Suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét Những bài toán về bất đẳng thức về độ dài, ta nên đưa về bất đẳng thức

tam giác

C BÀI TẬP

1 Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi M, N, P, R H và K lần lượt là trung điểm AB, BC,

CD, DE, MP và NR Chứng minh rằng HK song song với AE và HK =

1

4AE

2 Cho ngũ giác lồi ABCDE, gọi M, P, N, Q lần lượt là các trung điểm AB, BC,

DE, EA Chứng minh MN đi qua trung điểm PQ khi và chỉ khi MN // CD

3 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M bất kì nằm trong tam giác Gọi

A ; B ; C là các điểm đối xứng với M lần lượt qua trung điểm các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh AA ; BB ; CC 1 1 1đồng quy ;

b) Xác định vị trí của M để hình lục giác AB CA BC 1 1 1có các cạnh bằng nhau

4 Cho lục giác lồi ABCDEF Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD,

EF và R, S, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AF, BC, DE Chứng minh rằng hai tam giác MNP và RSQ trọng tâm trùng nhau

5 Một đa giác lồi có tất cả các đường chéo bằng nhau Hỏi đa giác có thể có nhiều

nhất bao nhiêu cạnh ?

6 Chứng minh, rằng trong một ngũ giác lồi luôn có thể chọn được ba đường chéo

để từ đó dựng được một tam giác

7 Cho lục giác lồi ABCDEF có độ dài các cạnh đều bằng 1 Chứng minh rằng

trong ba đoạn AD, BE, CF tồn tại một đoạn có độ dài không lớn hơn 2

8 Một lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau Chứng minh hiệu giữa các

cặp cạnh đối diện thì bằng nhau

9 Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều bé hơn

120 �Chứng minh rằng các góc của ngũ giác lồi này đều là góc tù

10 Cho đa giác đều 9 cạnh Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của đa giác bằng màu

xanh hoặc màu đỏ Chứng minh tồn tại 3 đỉnh của tam giác cân được, đánh cùng màu