CÁC BÀI TOÁN VỀ VÀNH ƠCLÍT Các vành chính - như đã biết ở mục trước - nhờ có tính chất cơ bản : mỗi iđêan là iđêan chính mà sở hữu được khá nhiều các tính chất chia hết như trong vành Z
Trang 1ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
TS Trần Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005
Bài 14 CÁC BÀI TOÁN VỀ VÀNH
ƠCLÍT
Các vành chính - như đã biết ở mục trước - nhờ có tính chất cơ bản : mỗi iđêan là iđêan chính mà sở hữu được khá nhiều các tính chất chia hết như trong vành Z các số nguyên Tuy vậy, chúng vẫn còn một khoảng cách khá xa so với Z Chẳng hạn, ước chung lớn nhất của hai phần tử trong một vành chính A, đã tồn tại, nói chung vẫn không có được một thuật toán tìm UCLN như trong vành số nguyên - thuật toán Ơclit Khái niệm về vành Ơclit (mà các điều kiện định nghĩa nó có được nhờ sự phân tích, đánh giá các điều kiện đảm bảo cho sự thực hiện thuật toán Ơclit trong vành Z !), được xem là một bổ sung rút ngắn bớt khoảng cách đó Định nghĩa
Vành Ơclit là một miền nguyên A, sao cho trên tập A∗ các phần tử khác 0 xác định được ánh
xạ δ : A∗ −→ N, vào tập số tự nhiên N thỏa các điều kiện:
E1 : Nếu a, b ∈ A∗ mà a\b thì δ(a) 6 δ(b)
E2 : ∀a, b ∈ A, b 6= 0 luôn tồn tại q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn nữa nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(b) Ánh xạ δ được gọi là hàm bậc hay ánh xạ Ơclit
Hiển nhiên vành Ơclit A là vành chính và đặc điểm nhận biết một vành Ơclit trong lớp các vành chính nói chung đó là sự xác định của hàm bậc trên nó Vì vậy các bài toán về vành Ơclit, ngoài các dạng tương tự như có trong vành chính, mà cách xử lí nói chung cũng tương tự như trong vành chính, đáng để ý hơn ở đây là các bài toán liên quan tới hàm bậc Trứơc hết, chính
là các bài toán kiểm tra một vành đã cho là vành Ơclit
Ví dụ 1
Cho æ =
a b
−b a
: a, b ∈ Z
Chứng minh rằng æ cùng với hai phép toán cộng và nhân
ma trận là một vành Ơclit
Giải :
Để chứng minh æ là một vành Ơclit, trước hết ta cần kiểm tra æ là một miền nguyên theo các bước sau:
+ æ có nhiều hơn một phần tử
+ æ ⊂v M2, với M2 là vành các ma trận cấp hai
Trang 2+ Đơn vị của æ là 1 0
0 1 + Phép nhân trên æ là giao hoán
+ æ không có ước của 0
Bốn bước đầu khá đơn giản, xin dành cho bạn đọc Để kiểm tra æ không có ước của 0, ta để
ý rằng :
a b
−b a
= a2+ b2 = 0 ⇔ a = b = 0
nên
A =
a b
−b a
6= 0 khi và chỉ khi det A 6= 0 Vậy nếu A 6= 0, B 6= 0 thì
det AB = det A det B 6= 0 nên AB 6= 0 Vậy æ là miền nguyên
Tiếp theo ta xây dụng hàm bậc δ : æ∗ −→ N mà với mỗi A ∈ æ∗ thì δ(A) = det A = a2+b2 ∈ N
Ta lần lượt kiểm tra δ thỏa các điiều kiện E1, E2
Thật vậy, trước hết nếu A\B (A, B ∈ æ∗) thì tồn tại C mà B = AC ⇒ det B = det A det C,
từ đó ta có det A6 det B (do det C > 1)
Vậy : δ(A)6 δ(B) tức δ thỏa E1
Bây giờ nếu A, B ∈ æ và B 6= 0 Khi đó det B 6= 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo B−1 ∈ M2 Xét ma trận AB−1 ∈ M2, dễ thấy nó có dạng
AB−1 =
r s
−s r
Ta chọn các số nguyên a, b sao cho |a − r|6 1
2 và |b − s|6 1
2, và lập ma trận
Q =
a b
−b a
∈ æ Khi đó ta có A = QB + (A − QB), trong đó ma trận
R = A − QB = (AB−1− Q)B thỏa mãn yêu cầu det R < det B (nếu R 6= 0) bởi :
det(AB−1− Q) =
r − a s − b
b − s r − a
=(r − a)2+ (s − b)2
61
4+
1
4 < 1.
tức δ thỏa điều kiện E2
Vậy æ là vành Ơclit
Các bài toán về tính chất của các phần tử liên quan tới bậc (tức giá trị của ánh xạ Ơclit) của chúng cũng là những dạng toán đáng chú ý trong vành Ơclit
Trang 3Ví dụ 2:
Cho vành Ơclit A với hàm bậc δ Đặt
m = min δ(A∗) và n = min{δ(A∗) \ m}
Chứng minh rằng :
a Nếu u ∈ A∗ mà δ(u) = m thì u \ 1
b Nếu a ∈ A∗ mà δ(a) = n thì a bất khả qui
Giải : a) Theo tiên đề E2, với cặp phần tử 1, u 6= 0, ắt tồn tại q, r ∈ A sao cho 1 = qu + r
Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(u) = min δ(A∗) là điều không thể xảy ra Vậy r = 0 tức 1 = qu hay
u \ 1
b) Hiển nhiên a 6= 0 và a không khả nghịch do δ(a) = n > m = min δ(A∗) (nếu a \ 1 thì δ(a) = m! ) Để chứng minh a bất khả qui ta lấy ước bất kỳ b của a ta chỉ ra b là ước khả nghịch hay ước liên kết với a Vì b \ a nên tồn tại c mà a = bc ; đồng thời do E1 mà δ(b) ≤ δ(a) Suy ra δ(b) = n hay δ(b) = m
Nếu δ(a) = m, theo a) ta có : b \ 1
Nếu δ(a) = n, theo tiên đề E2 áp dụng cho cặp b, a 6= 0, tồn tại q, r sao cho :
b = qa + r
Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do đó theo a) thì r \ 1 Khi đó ta có :
r = b − qa = b − q(bc) = b(1 − qc) ⇒ b \ r
Điều này không thể xảy ra vì δ(b) = n > m = δ(r) !
Vậy r = 0 và b = qa, tức a \ b
Do b \ a và a \ b nên b ∼ a
Vậy ước bất kỳ b của a là ước tầm thường, do đó a bất khả qui
Ví dụ 3
Cho A là vành Ơclit với hàm bậc δ không là hàm hằng (δ(A∗) nhiều hơn một phần tử !) Chứng minh rằng tồn tại phần tử a ∈ A, sao cho trong vành thương A/hai, mỗi lớp ghép khác 0 đều chứa ít nhất một đại diện khả nghịch
Giải :
Vì δ(A∗) nhiều hơn một phần tử nên tồn tại các số tự nhiên m = min δ(A∗) và n = min{δ(A∗) \ m} Chọn a ∈ A∗ mà δ(a) = n; ta chỉ ra a là phần tử cần tìm Thật vậy, nếu x + A là lớp ghép khác 0 trong A/hai thì x không là bội của a, do đó tồn tại q, r ∈ A với r 6= 0 mà : x = qa + r Theo điiều kiện E2 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do vậy r khả nghịch và r = x − qa ∈ x + A, là đại diện khả nghịch của lớp x + A 6= 0
Trang 4BÀI TẬP
1 Chứng minh rằng vành các số phức có dạng a + ib với a, b ∈ Z là vành Ơclit
2 Cho tập các số phức
Z(
√
−2) =a + b(√−2) : a, b ∈ Z Chứng minh Z(√−2) là vành Ơclit (với phép cộng và phép nhân số phức) Chứng minh rằng phần tử a + b√
−2 ∈ Z(√−2) là bất khả qui trong Z(√−2) nếu a2+ 2b2 là số nguyên tố
3 Cho A là vành Ơclit Chứng minh rằng giá trị của hàm bậc δ trên hai phần tử liên kết là bằng nhau Từ đó suy ra rằng A là trường khi và chỉ khi hàm bậc δ trên A∗ là hàm hằng (tức δ(x) = n ∈ N, ∀x ∈ A∗)
4 Cho A là vành Ơclit với ánh xạ Ơclit δ : A∗ −→ N Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ Ơclit
δ0 : A∗ −→ N sao cho
δ0(A∗) = {0, 1, 2, , n} hay δ0(A∗) = N
5 Cho A là vành Ơclit không phải là trường và cho a ∈ A∗ là phần tử sao cho mỗi lớp ghép khác 0 của vành thương A/hai đều chứa một đại diện khả nghịch Chứng minh rằng a là phần tử bất khả qui Có kết luận gì về bậc của a ?
6 Cho A là vành Ơclit và IC A Chứng minh rằng vành thương A/I là vành Ơclit ⇔ A/I là miền ngyuên
...tức δ thỏa điều kiện E2
Vậy ỉ vành Ơclit
Các tốn tính chất phần tử liên quan tới bậc (tức giá trị ánh xạ Ơclit) chúng dạng toán đáng ý vành Ơclit
Trang... class="text_page_counter">Trang 4BÀI TẬP
1 Chứng minh vành số phức có dạng a + ib với a, b ∈ Z vành Ơclit
2 Cho tập số phức
Z(
√
−2)...
5 Cho A vành Ơclit trường cho a ∈ A∗ phần tử cho lớp ghép khác vành thương A/hai chứa đại diện khả nghịch Chứng minh a phần tử bất khả qui Có kết luận bậc a ?
6 Cho A vành Ơclit