Về kiểu đa thức dạy của mô đun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƯƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020...

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HUYỀN THƯƠNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER

ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HUYỀN THƯƠNG

VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER

ĐỊA PHƯƠNG

Ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ h khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡcho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 09 năm

2020

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Thương

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tụy của Cô giáo, GS

TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo, tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luônđộng viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốtnghiệp

Thái Nguyên, tháng 09 năm

2020

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Thương

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiểu đa thức của môđun 3

1.1 Chiều và độ sâu của môđun 3

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 8

1.3 Vành và môđun Cohen – Macaulay 11

1.4 Kiểu đa thức của môđun 20

Chương 2 Kiểu đa thức dãy của môđun 29

2.1 Lọc chiều của môđun 29

2.2 Vành và môđun Cohen – Macaulay dãy 34

2.3 Kiểu đa thức dãy của môđun 38

2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ và địa phương hóa 44

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

Cho (R; m) l v nh Noether àa ph÷ìng, M l R-mæ un hœu h⁄n sinhvîi dim(M) = d Ta luæn câ dimR(M) depthR(M): N‚u dimR(M) =depthR(M) th… ta nâi M l Cohen-Macaulay Lîp mæ un Cohen-Macaulay

âng vai trÆ trung t¥m trong ⁄i sŁ giao ho¡n v xu§t hi»n trong nhi•u l¾nhvüc kh¡c nhau cıa To¡n håc Lîp mæ un n y ¢ ÷æc °c tr÷ng thæng quanhœng lþ thuy‚t quen bi‚t nh÷ àa ph÷ìng hâa, ƒy ı hâa, sŁ bºi, Łi çng i•u

àa ph÷ìng ” ph¥n lo⁄i c§u tróc cıa c¡c mæ un hœu h⁄n sinh tr¶n

v nh àa ph÷ìng, N T Cuong [3] n«m 1992 ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m ki”u a thøc cıa mæ un M, kþ hi»u l p(M), thæng qua c¡c hi»u sŁ giœa º d i v sŁ bºiøng vîi lôy thła cıa c¡c phƒn tß cıa mºt h» tham sŁ cıa M N‚u ta quy ÷îc b“c cıa a thøc 0 l 1 th… M l Cohen-Macaulay khi v ch¿ khi

p(M) = 1 Khi M khæng l Cohen-Macaulay, p(M) ÷æc xem l kho£ng c¡ch tł

Mºt t‰nh ch§t quan trång cıa mæ un Cohen-Macaulay l t‰nh ch§tkhæng trºn l¤n Cö th”, n‚u M l Cohen-Macaulay th… dim(R=p) = d vîimåi p 2 AssR(M) ” nghi¶n cøu c¡c mæ un trºn l¤n M, ng÷íi ta x†t ‚n låcchi•u cıa M, â l d¢y c¡c mæ un con fDig; trong â D0 = M v Di l mæ uncon lîn nh§t cıa M câ chi•u nhä hìn dimR(Di 1) vîi måi i 1 Ta nâi M l

l mæ un Cohen-Macaulay d¢y v 0 M l låc chi•u cıa M Kh¡i ni»m mæ

un Cohen-Macaulay d¢y lƒn ƒu ÷æc giîi thi»u bði R Stanley n«m 1996 choc¡c mæ un hœu h⁄n sinh ph¥n b“c, sau â ÷æc nghi¶n cøu bði P Schenzel[10] v N T Cuong, L.T Nhan [4] cho tr÷íng hæp mæ un hœu h⁄n sinh tr¶n

v nh àa ph÷ìng ” mð rºng kh¡i ni»m ki”u a thøc mºt c¡ch tü nhi¶n, n«m

2016, L T Nhan, T D Dung v T D M Chau [8] ¢

ành ngh¾a ki”u a thøc d¢y cıa M, kþ hi»u l sp(M), l sŁ lîn nh§t trong c¡c ki”u a thøc p(Di 1=Di) Rª r ng, M l Cohen-Macaulay d¢y khi v

ch¿ khi sp(M) = 1 Khi M khæng l Cohen-Macaulay d¢y, sp(M) ÷æc xemnh÷ l kho£ng c¡ch tł mæ un M ‚n lîp mæ un Cohen-Macaulay d¢y

Möc ‰ch cıa lu“n v«n l nghi¶n cøu ki”u a thøc d¢y cıa mæ un hœu h⁄nsinh tr¶n v nh Noether àa ph÷ìng Trong lu“n v«n n y, chóng tæi tr…nh b ychi ti‚t mºt sŁ k‚t qu£ trong b i b¡o [8]: A measure of non-sequential

Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468(2016), 275-295 ” ti»n theo dªi v Łi s¡nh, lu“n v«n công tr…nh b y chi ti‚tc¡c k‚t qu£ v• ki”u a thøc trong b i b¡o cıa N T Cuong [3] Trong suŁtlu“n v«n, b¶n c⁄nh c¡c kh¡i ni»m v k‚t qu£, t¡c gi£ cıa lu“n v«n ÷a ra nhi•uv‰ dö minh håa cö th”.

Lu“n v«n gçm 2 ch÷ìng Ch÷ìng 1 tr…nh b y ki”u a thøc cıa mæ un.Trong c¡c ti‚t ƒu cıa Ch÷ìng 1, chóng tæi nh›c l⁄i ki‚n thøc cƒn thi‚t v•chi•u, º s¥u, mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Ti‚t 1.4 d nh ” l m rª c§u tróccıa mæ un Cohen-Macaulay v c¡c mæ un li¶n quan Ti‚t 1.5 giîi thi»ukh¡i ni»m ki”u a thøc v c¡c k‚t qu£ ¢ bi‚t v• ki”u a thøc trong b i b¡o cıa N

T Cuong [3]

Ch÷ìng 2 l nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n, tr…nh b y ki”u a thøc d¢ycıa mæ un Ti‚t 2.1 b n v• låc chi•u cıa mæ un Ti‚t 2.2 tr…nh b y kh¡ini»m mæ un Cohen-Macaulay d¢y v c¡c t‰nh ch§t cıa mæ un n y Ti‚t2.3 giîi thi»u kh¡i ni»m ki”u a thøc d¢y v c¡c k‚t qu£ v• ki”u a thøc d¢ytrong b i b¡o [8]

Ch֓ng 1

Möc ti¶u cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y kh¡i ni»m ki”u a thøc cıa mæ un

÷æc giîi thi»u bði N T Cuong [3] v c¡c t‰nh ch§t cıa ki”u a thøc trongmŁi li¶n h» vîi chi•u cıa çng i•u àa ph÷ìng cıa mæ un â

Trong suŁt ti‚t n y, cho R l v nh giao ho¡n Noether v M l R-mæ unhœu h⁄n sinh ” ti»n theo dªi, tr÷îc khi tr…nh b y kh¡i ni»m v nh v mæ unCohen-Macaulay, chóng ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t v• chi•u,

º s¥u

Kh¡i ni»m chi•u Krull sau ¥y ÷æc ành ngh¾a cho c¡c v nh giao ho¡nNoether v c¡c mæ un hœu h⁄n sinh tr¶n v nh giao ho¡n Noether (khængnh§t thi‚t l v nh àa ph÷ìng) °t AnnR(M) = fx 2 R j xM = 0g Khi â AnnR(M)

l i ¶an cıa R:

ành ngh¾a 1.1.1 Mºt d¢y c¡c i ¶an nguy¶n tŁ p0 p1 pn cıa R, trong â pi

Chi•u Krull cıa R (gåi t›t l chi•u cıa R), kþ hi»u l dim(R), l c“n tr¶n

cıa c¡c º d i cıa c¡c d¢y nguy¶n tŁ trong R Chi•u cıa mæ un M, kþhi»u l dimR(M), ÷æc ành ngh¾a l chi•u cıa v nh R= AnnR(M)

V nh Z c¡c sŁ nguy¶n câ chi•u b‹ng 1 v… c¡c i ¶an nguy¶n tŁ cıa v

nh n y l 0 v pZ vîi p l sŁ nguy¶n tŁ V nh Z12 câ chi•u b‹ng 0 v… v nh n ych¿ câ hai i ¶an nguy¶n tŁ (công l tŁi ⁄i), â l 2Z12 v 3Z12

Chó þ r‹ng v nh giao ho¡n Noether câ th” câ chi•u væ h⁄n Chflng h⁄n,cho T = k[x1; ; xn; ] l v nh a thøc væ h⁄n bi‚n tr¶n tr÷íng k: Gåi m1; ; mn; l

m i+1 m i vîi måi i Gåi p i l i ¶an nguy¶n tŁ cıa T sinh bði c¡c bi‚n x j vîi m j j m j+1 Gåi S

Vîi mØi i ¶an I cıa R; ta k‰ hi»u Var(I) l t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ cıa R

câ th” ÷æc t‰nh thæng qua chi•u cıa c¡c i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t nh÷ sau

dimR(M) = maxfdim(R= p) j p 2 AssR(M)g:

Ti‚p theo l mŁi li¶n h» giœa chi•u cıa M v ƒy ı m-adic Mc cıa M: Nh›cl⁄i r‹ng hå c¡c R-mæ un con fmn Mgn=1;2;::: cıa M l m th nh mºt cì sð l¥nc“n cıa 0 trong M: Cì sð n y cıa 0 x¡c ành tr¶n M mºt tæpæ gåi

l tæpæ tuy‚n t‰nh m-adic sinh bði hå fmn Mg n=1;2;::: : Khi M ÷æc trang bà mºt tæpæ, ta câ th” ành ngh¾a c¡c d¢y Cauchy tr¶n M t÷ìng tü tr¶n t“p c¡c

sŁ thüc nh÷ sau Mºt d¢y c¡c phƒn tß (xn) cıa M ÷æc gåi l d¢y Cauchyn‚u vîi måi N 2 N, tçn t⁄i n(N) 2 N thäa m¢n xn+1 xn 2 mN M; vîi måi nn(N): Ta nâi hai d¢y (xn); (yn) c¡c phƒn tß cıa M l t÷ìng ÷ìng, k‰ hi»u l(xn) (yn), n‚u vîi måi N 2 N, tçn t⁄i n(N) 2 N thäa m¢n xn yn 2 mn M vîi måi

n n(N): Kþ hi»u X l t“p c¡c d¢y Cauchy cıa M D„ d ng ki”m tra ÷æc quan

ph†p to¡n sau

(xn) + (yn) = (xn + yn);

r:(xn) = (r:xn):

D„ d ng ki”m tra ÷æc vîi hai ph†p to¡n n y M câ c§u tróc R-mæ un N‚u

M = R th… R ÷æc gåi l v nh ƒy ı m-adic c

mºt

R-cıa R Hìn nœa, M l

xem [7] c dimR(M) = dimRb(Mc);

mæ un Khi â mŁi li¶n h» giœa chi•u cıa M v M l

V‰ dö 1.1.2 Cho k l mºt tr÷íng Kþ hi»u R1 := k[x1; ; xd] l v nh athøc v R2 := k[[x1; ; xd]] l v nh c¡c chuØi lôy thła h…nh thøc d bi‚n

dimR 2 (M) = maxfdim(R2=(x1; x2)); dim(R2=(x3))g = d 1:

ành ngh¾a 1.1.3 Mºt phƒn tß x 2 R ÷æc gåi l ÷îc cıa 0 Łi vîi mæ un Mn‚u tçn t⁄i m 2 M, m 6= 0 sao cho xm = 0 Mºt d¢y c¡c phƒn tß x1; ; xt cıa

v nh R ÷æc gåi l mºt M-d¢y ch‰nh quy câ º d i t n‚u M 6= (x1; ; xt)M vmØi xi khæng l ÷îc cıa 0 Łi vîi mæ un

M=(x1; ; xi 1)M

Chó þ r‹ng khi (R; m) l v nh àa ph÷ìng, mØi ho¡n và cıa M-d¢y ch

‰nh quy l M-d¢y ch‰nh quy ( i•u n y khæng cÆn óng khi v nh cì sðkhæng l v nh àa ph÷ìng), xem [7]

Cho R := k[[x; y; z]] l v nh c¡c chuØi lôy thła h…nh thøc vîi k l mºttr÷íng Khi â x; y; z l mºt R-d¢y ch‰nh quy, trong khi â d¢y x; x + y; ykhæng l d¢y ch‰nh quy v… y l ÷îc cıa 0 trong R=(x; x + y) = R=(x; y).Trong tr÷íng hæp ìn gi£n, ta câ th” dòng ành ngh¾a ” ki”m tra mºt d¢yphƒn tß câ l d¢y ch‰nh quy Trong tr÷íng hæp tŒng qu¡t, ta bi‚t r‹ng t“pc¡c ÷îc cıa 0 Łi vîi M l hæp cıa c¡c i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M, i•u n y

hØ træ cho vi»c xem x†t mºt d¢y phƒn tß câ l ch‰nh quy hay khæng V

‰ dö sau minh håa i•u n y

V‰ dö 1.1.4 Vîi R := k[[x; y; z]] v M = R=(x2; z5) \ (y3; z2) th… x + y lphƒn tß M-ch‰nh quy Th“t v“y, v… AssR(M) = f(x; z); (y; z)g v x + y 2=(x; z), x + y 2= (y; z) n¶n x + y khæng l ÷îc cıa 0 Łi vîi M Rª r ng

M 6= (x + y)M V… th‚ x + y l M-ch‰nh quy

ành ngh¾a 1.1.5 Cho I l mºt i ¶an cıa R Mºt d¢y c¡c phƒn tß

x1; ; xt 2 I ÷æc gåi l mºt M-d¢y ch‰nh quy tŁi ⁄i trong I n‚u

x1; ; xt l M-d¢y ch‰nh quy v khæng tçn t⁄i phƒn tß y 2 I sao cho

x1; ; xt; y l M-d¢y ch‰nh quy

Cho I l mºt i ¶an cıa R Chó þ r‹ng mØi M-d¢y ch‰nh quy trong I

•u câ th” mð rºng th nh mºt M-d¢y ch‰nh quy tŁi ⁄i trong I Hìn nœa,

c¡c M-d¢y ch‰nh quy tŁi ⁄i trong I •u câ chung º d i (xem [7]) º d i

chung n y ÷æc gåi l º s¥u cıa M trong I v ÷æc kþ hi»u l depth(I; M)

Khi (R; m) l v nh àa ph÷ìng, º s¥u cıa M trong m ÷æc gåi l º s¥u

cıa M v ÷æc kþ hi»u l depthR(M)

Tł ¥y ‚n h‚t ti‚t n y, luæn gi£ thi‚t (R; m) l v nh Noether àa ph÷ìng v M lR-mæ un hœu h⁄n sinh vîi chi•u dimR(M) = d:

Nh“n x†t 1.1.6 Theo BŒ • Nakayama, n‚u M 6= 0 v I l i ¶an chøa

trong m th… M 6= IM V… th‚ mºt d¢y x1; ; xt 2 m l M-d¢y ch‰nh quy

n‚u v ch¿ n‚u mØi xi khæng l ÷îc cıa 0 Łi vîi mæ un M=(x1; ; xi 1)M V…t“p c¡c ÷îc cıa 0 Łi vîi M l hæp c¡c i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M, n¶n mºtphƒn tß x 2 m l phƒn tß M-ch‰nh quy n‚u v ch¿ n‚u x 2= p vîi måi p 2AssR(M) Do â depthR(M) = 0 n‚u v ch¿ n‚u m 2 AssR(M) Rª r ng n‚u x lphƒn tß M-ch‰nh quy th… depthR(M=xM) = depthR(M) 1

Sau ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t cıa º s¥u

BŒ • 1.1.7 depthR(M) dim(R= p) vîi måi p 2 AssR(M): °c bi»t, depthR(M)dimR(M):

Chøng minh Ta luæn câ dimR(M) = maxfdim(R= p) j p 2 AssR(M)g Tas‡ chøng minh depth(M) dim(R= p) vîi måi p 2 AssR(M): Th“t

v“y, cho p 2 AssR(M) Ta chøng minh b‹ng quy n⁄p theo dim(R= p) N‚udim(R= p) = 0 th… m = p v do â m 2 AssR(M) Theo Nh“n x†t 1.1.6, ta câ

depthR(M) = 0

Gi£ sß dim(R= p) > 0 N‚u m 2 AssR(M) th… theo chøng minh tr¶n ta

câ depthR(M) = 0, do â k‚t qu£ l óng Gi£ sß m 2= AssR(M) Theo ành lþtr¡nh nguy¶n tŁ, tçn t⁄i a 2 m sao cho a 2= p vîi måi p 2 AssR(M) Do â a

l M-ch‰nh quy Ta khflng ành r‹ng tçn t⁄i q 2 AssR(M=aM) sao cho q p+Ra Gi£ sß ng÷æc l⁄i, khi â p 6 q vîi måi q 2 AssR(M=aM) Khi â, theoành lþ tr¡nh nguy¶n tŁ, tçn t⁄i phƒn tß b 2 p sao cho b 2= q vîi måi q 2AssR(M=aM) Ta suy ra b l phƒn tß M=aM-ch‰nh quy V… th‚ d¢y a; b l

AssR(M=aM) sao cho aR + p q V… a 2= p n¶n dim(R= q) < dim(R= p)

Theo Nh“n x†t 1.1.6, ta câ

depthR(M) = depthR(M=aM) + 1 dim(R= q) + 1 dim(R= p):

M»nh • sau ¥y cho ta cæng thøc t‰nh º s¥u cıa mæ un khi chuy”nqua ƒy ı m-adic v mð rºng chuØi luÿ thła h…nh thøc (xem [7])

M»nh • 1.1.8 Cho I l i ¶an cıa R C¡c ph¡t bi”u sau l óng.

(i) depthR(I; M) = depthRb(IR;b Mc);

V‰ dö 1.1.9 Cho R = k[[x; y; z]] vîi k l tr÷íng Vîi M := R=(x2; z) \ (y; z) v

N = R=(x2) \ (y; z2), ta câ dimR(M) = depthR(M) = 1 v dimR(N) = 2,

depthR(N) = 1 Th“t v“y, v… AssR(M) = f(x; z); (y; z)g n¶n dimR(M) = 1:

Do x + y 2= (x; z) v x + y 2= (y; z) n¶n x + y l M-ch‰nh quy Suy ra

depthR(M) > 0: V… th‚ dimR(M) = depthR(M) = 1: T÷ìng tü, ta câ AssR(N)

= f(x); (y; z)g: V… th‚

dimR(N) = maxfdimR(R=(x); dimR(R=(y; z))g = 2:

V… depthR(N) dimR(R= p) vîi måi p 2 AssR(N) n¶n depthR(N) 1: Do x+ y2= (x) v x+ y 2= (y; z) n¶n x+ y l N-ch‰nh quy V“y depthR(N) = 1:

Trong ti‚t n y ta nh›c l⁄i kh¡i ni»m v mºt sŁ t‰nh ch§t cıa mæ un Łiçng i•u àa ph÷ìng tr…nh b y trong cuŁn s¡ch [1]

ành ngh¾a 1.2.1 Cho I l i ¶an cıa R v L, N l c¡c R-mæ un °t

S

n 0(0 :L In): Cho f: L ! N l çng c§u giœa c¡c R-mæ un v

f : I (L) ! I (N) lçng c§u c£m sinh tł f cho bði f (x)

= f(x) vîi

måi x 2 I (L): Khi â, I ( ) l mºt h m tß hi»p bi‚n, tuy‚n t‰nh, khîp tr¡i tł ph⁄mtrò c¡c R-mæ un ‚n ph⁄m trò c¡c R-mæ un H m tß I ( ) ÷æc gåi l h m tß I-xo›n

ành ngh¾a 1.2.2 Mºt R-mæ un L ÷æc gåi l mæ un nºi x⁄ n‚u vîi mØi ìnc§u f: N! N0 v mØi çng c§u g: N! L, luæn tçn t⁄i çng c§u h: N0! L sao cho

g = hf: Mºt gi£i nºi x⁄ cıa R-mæ un L l mºt d¢y khîp

c¡c R-mæ un

0! L! E0!f0 E1!f1 E2!f2 : : :

I (L) =

trong â mØi Ei l mºt mæ un nºi x⁄ Chó þ r‹ng måi mæ un •u câ gi£inºi x⁄.

ành ngh¾a 1.2.3 Cho L l mºt R-mæ un v I l i ¶an cıa R: Mæ un

d¤n su§t ph£i thø i cıa h m tß I-xo›n I ( ) øng vîi M ÷æc gåi l mæ un

Łi çng i•u àa ph÷ìng thø i cıa L vîi gi¡ I v ÷æc kþ hi»u l Hi(L):

I

” t‰nh mæ un Hi(L) ta l§y mºt gi£i nºi x⁄ cıa L

I

0! L! E0!f0 E1!f1 E2!f2 : : :rçi t¡c ºng h m tß I-xo›n v o ta ÷æc Łi phøc

Sau ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng.

M»nh • 1.2.4 Cho L l R-mæ un C¡c khflng ành sau l óng.

M»nh • 1.2.5 Cho L l R-mæ un C¡c ph¡t bi”u sau l óng.

(ii) N‚u L l I-xo›n th… HIi(L) = 0 vîi måi i > 0: °c bi»t vîi mØi

R-mæ un L; ta câ HIj(HIi(L)) = 0 vîi måi i 0 v vîi måi j > 0:M»nh • tr¶n cho ta k‚t qu£ sau ¥y

H» qu£ 1.2.6 Vîi mØi R-mæ un L; °t L = L= I (L): Khi â ta câ

Hi(L) = Hi( ) L vîi måi sŁ tü nhi¶n i 1:

Tł nay ‚n h‚t ti‚t n y, ta gi£ thi‚t (R; m) v v nh àa ph÷ìng v M

l R-mæ un hœu h⁄n sinh

Ti‚p theo l t‰nh tri»t ti¶u v khæng tri»t ti¶u cıa mæ un Łi çng i•u

àa ph÷ìng li¶n quan ‚n chi•u v º s¥u cıa mæ un

ành lþ 1.2.7 Cho I l i ¶an cıa R: C¡c ph¡t bi”u sau l óng

(i) depth(I; M) = minfi j HIi(M) 6= 0g:

(ii) dimR(M) = maxfi j Hmi(M) 6= 0g:

(iii) depthR(M) = minfi j Hmi(M) 6= 0g:

(iv) Hmi(M) = 0 vîi måi i > dimR(M):

Mºt trong nhœng lîp mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng quan trång â

l lîp mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin ành lþ sau ¥y khflng ành r‹ng

mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ⁄i luæn l Artin

ành lþ 1.2.8 Cho (R; m) l v nh àa ph÷ìng v M l R-mæ un hœu h⁄n sinhvîi dimR(M) = d: Khi â Hmi(M) l Artin vîi måi sŁ nguy¶n i 0 v HId(M) l Artinvîi måi i ¶an I cıa R:

Phƒn ti‚p theo tr…nh b y t‰nh ch§t chuy”n qua ƒy ı cıa mæ un Łiçng i•u àa ph÷ìng Artin vîi gi¡ cüc ⁄i Cho (R; m) l v nh àa ph÷ìng v M l R-

mæ un hœu h⁄n sinh Nh›c l⁄i r‹ng n‚u A l R-mæ un Artin, th…

A câ c§u tróc tü nhi¶n l Rb-mæ un Artin vîi t‰ch væ h÷îng x¡c ành nh÷

n n0:

V… mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Hmi(M) l R-mæ un Artin theo ành lþ1.2.8, n¶n Hmi(M) câ c§u tróc tü nhi¶n l Rb-mæ un Artin

ành lþ 1.2.9 Cho (R; m) l v nh àa ph÷ìng v M l R-mæ un hœu h⁄n

sinh Khi â vîi måi sŁ nguy¶n i 0 ta câ

Hi (M) = Hi (M)

R R = Hi (M):

m Rc

m

b

m

b

BŒ • sau cho ta thæng tin v• chi•u cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng

Hi (M) tr¶n v nh ƒy ı m-adic cıa R:

m

BŒ • 1.2.10 [9, T‰nh ch§t 2.4] Cho i 0 l mºt sŁ nguy¶n Khi â

dim(R=b AnnRb(Hmi(M)) i:

1.3 V nh v mæ un Cohen-Macaulay

Trong ti‚t n y, gi£ thi‚t (R; m) l v nh Noether àa ph÷ìng v M l R-mæ un

1.1.7) i•u n y d¤n ‚n ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 1.3.1 Mæ un M ÷æc gåi l mæ un Cohen-Macaulay n‚u

M = 0 ho°c depthR(M) = dimR(M): V nh R ÷æc gåi l v nh

Chó þ r‹ng kh¡i ni»m mæ un Cohen-Macaulay ÷æc ành ngh¾atŒng qu¡t cho tr÷íng hæp mæ un hœu h⁄n sinh tr¶n v nh giao ho¡nNoether (khæng nh§t thi‚t àa ph÷ìng) Tuy nhi¶n, trong lu“n v«n n ychóng ta ch¿ x†t tr÷íng hæp v nh cì sð l àa ph÷ìng

V‰ dö 1.3.2 Cho k l mºt tr÷íng v d 3 l sŁ nguy¶n.

(i) Cho R = k[[x; y; z]] l v nh c¡c chuØi lôy thła h…nh thøc 3 bi‚n tr¶n

tr÷íng k: Khi â v nh R l v nh Cohen-Macaulay; M = R=((x2; z) \ (y;

un Cohen-Macaulay

(ii) Cho R = k[[x 1 ; : : : ; x d ]] l v nh c¡c chuØi lôy thła h…nh thøc d bi‚n tr¶n

k v M = R=((x21; x52) \ (x22; x23; : : : ; x2d)): Khi â, R l v nh

Cohen-Macaulay; dimR(M) = d 2; depthR(M) = 1: °c bi»t, M l R-mæ un Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u d = 3:

Chøng minh (i) Do dim(R) = depth(R) = 3 n¶n R l v nh Macaulay Theo V‰ dö 1.1.9, ta câ dimR(M) = depthR(M) = 1 n¶n

Cohen-M l R-mæ un Cohen-Macaulay V… dimR(N) = 2 v depthR(N) = 1

Chó þ r‹ng chi•u v º s¥u cıa mæ un ÷æc b£o to n qua ƒy ı m-adic(xem ti‚t 1.1) V… th‚ ta câ k‚t qu£ sau.

M»nh • 1.3.3 M l Cohen-Macaulay khi v ch¿ khi Mc l Cohen-Macaulay

Mºt t‰nh ch§t quan trång cıa mæ un Cohen-Macaulay l t‰nh ch§tkhæng trºn l¤n Theo cuŁn s¡ch "V nh àa ph÷ìng" cıa M Nagata, M ÷æcgåi l khæng trºn l¤n n‚u dim(R=bP) = d vîi måi P 2 AssRb(Mc):

M»nh • 1.3.4 N‚u M l Cohen-Macaulay th… M khæng trºn l¤n Trongtr÷íng hæp n y, dim(R= p) = d vîi måi p 2 AssR(M):

Chøng minh Do M l R-mæ un Cohen-Macaulay n¶n M l R-mæ un

Cohen-Macaulay Suy ra depthR(M) = d: Cho P AssR(M)c

:Khib

â theo BŒ •

d = depthRb(Mc) dim(R=bP) dimR(M) = d:

Suy ra dim(R=bP) = d: L“p lu“n t÷ìng tü ra suy ra dim(R= p) = d vîi måi

p 2 AssR(M):

Chó þ r‹ng ph¡t bi”u ng÷æc l⁄i cıa M»nh • 1.3.4 khæng cÆn óngnœa V‰ dö sau ¥y ch¿ ra r‹ng tçn t⁄i nhœng mæ un khæng trºn l¤n vkhæng l Cohen-Macaulay

V‰ dö 1.3.5 Cho k l tr÷íng, d 2 l sŁ nguy¶n v R = k[[x1; : : : ; xd]]

l v nh c¡c chuØi lôy thła h…nh thøc theo d bi‚n tr¶n k: Khi â R-mæ un

M := (x1; : : : ; xd)R l khæng trºn l¤n v dimR(M) = d; depthR(M) = 1:

Chøng minh V… R l mi•n nguy¶n n¶n Ass(R) = f0g: Do M 6= 0 n¶n

; 6= AssR(M) Ass(R): V… th‚ AssR(M) = f0g: V“y M khæng trºn l¤n v

dimR M = d:

Theo H» qu£ 1.2.4(ii), tł d¢y khîp 0 ! M ! R ! R=M ! 0 ta câ

ành lþ 1.2.7(iii) ta câ depthR(M) = 1:

Mºt c¥u häi tü nhi¶n °t ra l li»u t‰nh Cohen-Macaulay câ b£o to nkhi chuy”n qua àa ph÷ìng hâa t⁄i c¡c i ¶an nguy¶n tŁ Tr÷îc khi tr£ líi c¥uhäi n y, chóng ta nh›c l⁄i ành lþ a thøc Hilbert - Samuel v• chi•u cıa mæ

un Nh›c l⁄i r‹ng mºt i ¶an q 6= R cıa R ÷æc gåi l i ¶an nguy¶n sì n‚u vîimåi x; y 2 R; xy 2 q v x 2= q; luæn tçn t⁄i n 2 N sao cho

yn 2 q : °t Rad(q) = fx 2 R j 9n 2 N ” xn 2 qg: Khi â Rad(q) l mºt

i ¶an cıa R chøa q : N‚u q l mºt i ¶an nguy¶n sì, th… p := Rad(q) l mºt

i ¶an nguy¶n tŁ cıa R: Trong tr÷íng hæp n y, ta gåi q l i ¶an p-nguy¶n sì.N‚u q l m-nguy¶n sì th… M=qnM câ º d i hœu h⁄n (khi â ta câ th” xem

‘R(M=qnM) nh÷ mºt h m theo bi‚n nguy¶n d÷ìng n:)

ành lþ 1.3.6 (Xem [7, ành lþ 13.4]) Cho q l mºt i ¶an m-nguy¶n sì Khi

â, ‘R(M=qnM) l mºt a thøc vîi h» sŁ hœu t khi n ı lîn v

dimR(M) = deg ‘R(M=qnM)

= infft j 9x1; : : : ; xt 2 m; ‘R(M=(x1; : : : ; xt)M) < 0g:

ành lþ tr¶n d¤n ‚n h» qu£ thó và sau

H» qu£ 1.3.7 C¡c ph¡t bi”u sau l óng

(i) Chi•u cıa v nh àa ph÷ìng (R; m) luæn l mºt sŁ hœu h⁄n

(ii) dimR(M=xM) d 1 vîi måi x 2 M: flng thøc x£y ra n‚u x l phƒn tß M-ch

‰nh quy

Chøng minh (i) V… R l v nh giao ho¡n Noether, n¶n m l i ¶an hœu

h⁄n sinh Do â tçn t⁄i x1; : : : ; xt 2 m sao cho m = (x1; : : : ; xt)R: V…

‘R(M= m M) < 1; n¶n ‘R(M=(x1; : : : ; xt)M) < 1: Do â theo ành lþ a

thøc Hilbert-Samuel ta suy ra dimR(M) t < 1:

(ii) Cho x 2 m : Gi£ sß dimR(M=xM) = k < d 1; ta cƒn t…m m¥u

thu¤n °t M1 = M=xM: Theo ành lþ 1.3.6, tçn t⁄i x1; : : : ; xk 2 m saocho ‘R(M1=(x1; : : : ; xk)M1) < 1: Do â ‘R(M=(x; x1; : : : ; xk)M) < 1:

Theo ành lþ 1.3.6 ta câ d = dimR(M) k + 1: Do â d 1 k; i•u n y

l m¥u thu¤n

B¥y gií chóng ta ch¿ ra r‹ng t‰nh Cohen-Macaulay b£o to n qua àa ph÷ìng hâa

M»nh • 1.3.8 M l R-mæ un Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u Mp l

Chøng minh N‚u M = 0 th… khæng câ g… ph£i chøng minh Gi£ thi‚t M 6= 0:

Ta chøng minh chi•u £o tr÷îc Gi£ sß Mp l Rp -mæ un Cohen-Macaulay

vîi måi p 2 SuppR(M): Khi â Mm l Rm-mæ un Cohen-Macaulay Chó þ

r‹ng R m = R v Mm = M: V… th‚ M l R-mæ un Cohen-Macaulay

Ta chøng minh chi•u thu“n Cho p 2 SuppR(M): Khi â Mp 6= 0: Ta

chøng minh Mp l Cohen-Macaulay b‹ng quy n⁄p theo d := dimR(M): V…

Cho d > 0 v gi£ sß k‚t qu£ ¢ óng cho c¡c mæ un Cohen-Macaulay

câ chi•u nhä hìn d: N‚u p 2 min SuppR(M) th… dimR p (Mp) = 0: Hi”n

nhi¶n depthR p (Mp) = 0: V… th‚, Mp l Rp -mæ un Cohen-Macaulay B¥y

gií ta gi£ thi‚t p 2= min SuppR(M): Khi â, dim(R= p) < dimR(M) = d

v dimR p (Mp) > 0: V… M l R-mæ un Cohen-Macaulay, n¶n theo M»nh

• 1.3.4, c¡c i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M •u câ chi•u d: Suy ra, p 2=

l Cohen-Macaulay chi•u d n¶n depthR(N) = d 1: Do x l M-ch‰nh quy

n¶n theo H» qu£ 1.3.7(ii), ta câ dimR(N) = dimR(M) 1 = d 1: V… th‚

Mp 6= 0 v x 2 p n¶n theo BŒ • Nakayama ta câ Np = Mp=xMp 6= 0: Suy

H» qu£ 1.3.7(ii) ta câ

depthR p (Mp) 1 = depthR p (Mp=xMp) = dimR p (Mp=xMp) = dimR p (Mp) 1:Suy ra Mp l Rp-mæ un Cohen-Macaulay

Ti‚p theo chóng ta ch¿ ra r‹ng t‰nh Cohen-Macaulay công ÷æc b£o

to n khi chia cho mºt d¢y ch‰nh quy

n‚u v ch¿ n‚u M=xM l Cohen-Macaulay (chi•u d 1)

Trong Ti‚t 1.2, chóng ta ¢ tr…nh b y c¡c °c tr÷ng çng i•u cıa º s¥u vchi•u nh÷ sau

depthR(M) = minfi 2 N j Hmi(M) 6= 0g;

dimR(M) = maxfi 2 N j Hmi(M) 6= 0g:

Tł ¥y, ta câ ngay °c tr÷ng çng i•u cıa mæ un Cohen-Macaulay °c tr÷ng

n y l mºt cæng cö r§t hœu hi»u ” ki”m tra mºt mæ un câ l Macaulay hay khæng

Cohen-ành lþ 1.3.10 M l mºt R-mæ un Cohen-Macaulay (chi•u d) n‚u v

ch¿ n‚u Hmi(M) = 0 vîi måi sŁ tü nhi¶n i < d:

0 ! Hm0(R=(I \ J)) ! Hm0(R=I R=J) ! Hm0(R=(I + J))

! Hm1(R=(I \ J)) ! Hm1(R=I R=J) ! Hm1(R=(I + J)) ! : : :

V… dim(R=(I + J)) = 0 n¶n Hm0(R=(I + J)) 6= 0 v Hmi(R=(I + J)) = 0 vîi måi i 6= 0: Chó þ r‹ng tł d¢y khîp

ta suy ra dim R=I R=J = maxfdim(R=I); dim(R=J)g = n: V… R=I

0 vîi måi i = n: Do Hi (R=I R=J) = Hi(R=I) Hi (R=J) n¶n suy

ra Hmi(R=I R=J) = 0 vîi måi i 6= n: V… th‚ Hm0(R=(I \ J)) = 0 v

Hm1(R=(I \ J)) 6= 0: Do â depthR(M) = 1: V… th‚ M l Cohen-Macaulay

ành ngh¾a 1.3.12 Mºt h» (x1; : : : ; xd) c¡c phƒn tß trong m ÷æc gåi l

mºt h» tham sŁ cıa M n‚u ‘R(M=(x1; : : : ; xd)M) < 1:

Cho x = (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ cıa M: Chó þ r‹ng vîi mØi i

¶an I cıa R; c«n Rad(I) l giao cıa c¡c i ¶an nguy¶n tŁ chøa I: Sß döng t

‰nh ch§t n y, ta câ th” chøng minh r‹ng

Rad(AnnR(M=(x1; : : : ; xd)M)) = Rad(AnnR(M) + (x1; : : : ; xd)R)):

V… ‘R(M=(x1; : : : ; xd)M) < 1 n¶n Rad(AnnR(M=(x1; : : : ; xd)M)) = m :

Tł â ta suy ra Ann R (M) + (x 1 ; : : : ; x d )R l mºt i ¶an m-nguy¶n sì. °t

q = AnnR(M) + (x1; : : : ; xd)R: Khi â qnM = (x1; : : : ; xd)nM vîi måi n 2

nguy¶n

ành ngh¾a 1.3.13 Cho x = (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ cıa M: Gåi

D÷îi ¥y ta t‰nh to¡n mºt v‰ döìn gi£n.

V‰ dö 1.3.14 Cho k l mºt tr÷íng v R = k[[x; y]] l v nh c¡c chuØi lôy

thła h…nh thøc tr¶n k: Khi â (x2; y3) l h» tham sŁ cıa R: Vîi måi sŁ nguy¶n

i ¶an (x2; y3) l 3n2 + 3n: V… th‚ sŁ bºi cıa R øng vîi h» tham sŁ x2; y3 l

19

Ta câ mºt sŁ t‰nh ch§t quen bi‚t cıa sŁ bºi nh÷ sau (xem [7]): Cho

x = (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ cıa M: Khi â e(x; M) > 0 v

e(xn11 ; : : : ; xndd ; M) = n1 : : : nde(x; M) vîi måi sŁ nguy¶n d÷ìng n1; : : : ;

(ii) Tçn t⁄i mºt h» tham sŁ x cıa M sao cho ‘R(M=xM) = e(x; M):

(iii) Vîi måi h» tham sŁ x cıa M ta câ ‘R(M=xM) = e(x; M):

Trong suŁt ti‚t n y, luæn gi£ thi‚t (R; m) l v nh Noether àa ph÷ìng v M

l R-mæ un hœu h⁄n sinh vîi chi•u dimR(M) = d:

Cho x = (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ cıa M: Vîi n = (n1; : : : ; nd) l mºt bº sŁ nguy¶n d÷ìng, ta °t

IM x(n) := ‘R(M=(xn11 ; : : : ; xndd )M) n1 : : : nde(x; M);

trong â e(x; M) l sŁ bºi cıa M øng vîi x ¢ ành ngh¾a trong Ti‚t 1.3 Chóng

ta x†t IM x(n) nh÷ l mºt h m cıa c¡c bi‚n nguy¶n d÷ìng n = (n1; : : : ; nd):

bi‚n n1; : : : ; nd vîi h» sŁ hœu t khi n1; : : : ; nd ı lîn C¥u tr£ líi l khængóng, c¡c ph£n v‰ dö ¢ ÷æc x¥y düng bði J L Garcia Roig v D Kirby trongmºt cæng tr…nh «ng tr¶n t⁄p ch‰ Mathematika n«m 1986 N«m 1990, N

T C÷íng ¢ ÷a ra mºt i•u ki»n cƒn v ı ” h m n y l a thøc

M°c dò h m IM x(n) nh…n chung khæng l a thøc khi n1; : : : ; nd ı lînnh÷ng nâ l mºt h m khæng ¥m v bà ch°n tr¶n bði c¡c a thøc i•u n y ÷æcth” hi»n thæng qua bŒ • sau (xem [7])

BŒ • 1.4.1 Cho x = (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ cıa M v n =

(n1; : : : ; nd) l mºt bº d sŁ nguy¶n d÷ìng °t

I(x; M) := ‘R(M; x1; : : : ; xd)M e(x; M):

Khi â ta câ

0 IM x(n) n1 : : : ndI(x; M):

ành lþ sau ¥y thuºc v• N T Cuong [3]

ành lþ 1.4.2 B“c nhä nh§t cıa c¡c a thøc (theo c¡c bi‚n n1; : : : ; nd)

ch°n tr¶n h m IM x(n) l mºt b§t bi‚n cıa M; ºc l“p vîi vi»c chån h» tham

sŁ cıa M:

ành lþ tr¶n d¤n ‚n kh¡i ni»m ki”u a thøc nh÷ sau (xem [3])

ành ngh¾a 1.4.3 Ki”u a thøc cıa M; k‰ hi»u l p(M); l b“c nhä nh§tcıa c¡c a thøc ch°n tr¶n h m IM x(n) vîi x l mºt h» tham sŁ cıa M:N«m 1965, D A Buchsbaum ¢ gi£ thi‚t r‹ng måi R-mæ un hœu h⁄nsinh M •u câ t‰nh ch§t: IM x(n) l mºt h‹ng sŁ khæng phö thuºc v o h»tham sŁ x cıa M: Tuy nhi¶n c¥u tr£ líi cho gi£ thuy‚t n y l phı ành Cö th”,trong mºt b i b¡o vi‚t chung n«m 1973, W Vogel v J Stuckrad ¢ x¥ydüng nhi•u v‰ dö chøng tä r‹ng gi£ thuy‚t cıa Buchsbaum l khæng óng

Tł â Vogel v Stuckrad ¢ nghi¶n cøu lîp mæ un thäa m¢n i•u ki»n tronggi£ thuy‚t cıa Buchsbaum v hå gåi â l mæ un Buchsbaum:

M ÷æc gåi l mæ un Buchsbaum n‚u I(x; M) l mºt h‹ng sŁ khæng phöthuºc v o h» tham sŁ x cıa M: C¥u häi ti‚p theo °t ra l vîi mºt R-mæ un hœuh⁄n sinh cho tr÷îc tòy þ, câ tçn t⁄i hay khæng mºt h‹ng sŁ c sao cho I(x; M) cvîi måi h» tham sŁ x cıa M: C¥u tr£ líi cho c¥u häi n y v¤n l phı ành V… th‚,n«m 1978, N T C÷íng, P Schenzel v N V Trung ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m mæ

un Cohen-Macaulay suy rºng: M ÷æc gåi l mæ un Cohen-Macaulay suyrºng n‚u tçn t⁄i mºt h‹ng sŁ c sao cho I(x; M) c vîi måi h» tham sŁ x cıa M: Khi

I(M): Tł nay ta quy ÷îc b“c cıa a thøc 0 l 1: ành lþ 1.3.15 v ành ngh¾a mæ

un Cohen-Macaulay suy rºng d¤n ‚n nh“n x†t sau

Chó þ 1.4.4 (i) M l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u p(M) = 1;

(ii) M l Cohen-Macaulay suy rºng n‚u v ch¿ n‚u p(M) 0:

Phƒn ti‚p theo chóng ta t‰nh ki”u a thøc trong tr÷íng hæp tŒngqu¡t, thæng qua chi•u cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin V… mæ un

Łi çng i•u àa ph÷ìng Hmi(M) l R-mæ un Artin (xem ành lþ 1.2.8), n¶n

[3])

ành lþ 1.4.5 Vîi M 6= 0 câ chi•u d; ta luæn câ

p(M) = max dim(R=b AnnRb Hmi(M)):

i<d

Chó þ r‹ng n‚u x l h» tham sŁ cıa M; th… nâ l h» tham sŁ cıa

Mc v ‘R(M=xM) = ‘Rb(M=xcMc) v e(x; M) = e(x; Mc): V… th‚ ki”u a thøc

÷æc b£o to n khi chuy”n qua ƒy ı m-adic Hìn nœa ta luæn câ

v p l mºt i ¶an nguy¶n tŁ cıa R: Ta nâi A l p-thø c§p n‚u A 6= 0 v ph†p

nh¥n bði x tr¶n A l mºt to n c§u (tøc l xA = A) vîi måi x 2 Rn p

v l lôy linh (tøc l tçn t⁄i n 2 N sao cho xnA = 0) vîi måi x 2 p : Theo I G.Macdonald [6], måi R-mæ un Artin A •u câ mºt bi”u di„n thø c§p

A = A1 + : : : + An; trong â mØi Ai l pi-thø c§p Bi”u di„n thø c§p n y gåi l

l A 6= A1 + : : : + Ai 1 + Ai+1 + : : : + An.) Chó þ r‹ng mØi bi”u di„n thøc§p A = A1 + : : : + An cıa A •u câ th” quy v• tŁi thi”u b‹ng c¡ch lo⁄i

i c¡c th nh phƒn thø c§p thła v gh†p l⁄i nhœng th nh phƒn thø c§p øngvîi còng mºt i ¶an nguy¶n tŁ T“p fp1; : : : ; png khæng phö thuºc v o bi”udi„n thø c§p tŁi thi”u cıa A: T“p n y ÷æc gåi l t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ g›nk‚t cıa A v ÷æc kþ hi»u l AttR(A): D÷îi ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t cıa t“p c¡c i

¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t (xem [6], [1])

BŒ • 1.4.7 Cho A l R-mæ un Artin C¡c ph¡t bi”u sau l óng

(i) min AttR(A) = min Var(AnnR(A)): °c bi»t ta câ

dim(R= AnnR(A)) = maxfdim(R= p) j p 2 AttR(A)g:

(ii) A 6= 0 n‚u v ch¿ n‚u AttR(A) 6= ;:

(iii) N‚u x 2 m sao cho x 2= AttR(A)nfmg th… ‘R(A=xA) < 1:

(iv) AttR(A) = fP \ R j P 2 AttRb(A)g:

(iii) N‚u 0 ! A0 ! A ! A" ! 0 l d¢y khîp c¡c R-mæ un Artin th…

AttR(A00) AttR(A) AttR(A0) [ AttR(A00):

BŒ • sau cho ta mºt sŁ t‰nh ch§t cıa t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa mæ un dŁi çng i•u àa ph÷ìng (xem [1])

BŒ • 1.4.8 C¡c ph¡t bi”u sau l óng

(i) dim(R= p) i vîi måi i 2 Nv måi p 2 AttR Hmi(M):

(ii) AttR Hmd(M) = fp 2 AssR(M) j dim(R= p) = dg:

Tł BŒ • 1.4.7(i) v BŒ • 1.4.8(ii), ta suy ra cæng thøc chi•u cıa mæ

un Łi çng i•u àa ph÷ìng c§p cao nh§t nh÷ sau

dim(R= AnnR Hmd(M)) = dim(R=b AnnRb Hmd(M)) = d:

B¥y gií chóng ta sß döng ành lþ 1.4.5 ” t‰nh ki”u a thøc trong v‰ dö sau

V‰ dö 1.4.9 Cho d 4 l mºt sŁ nguy¶n d÷ìng v k l tr÷íng Cho

R := k[[x1; : : : ; xd]] l v nh c¡c chuØi lôy thła h…nh thøc n bi‚n tr¶n tr÷íng

k: °t M := (x1; x2)R v N := R=(x1; x2) \ (x3; x4): Khi â p(M) = d 2 v p(N) =

d4: