De thi HSG cap truong Toan 6 (THCS Hoai Chau)

Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt là tia phân giác của góc xMy.. b Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt.

TRệễỉNG TRUNG HOẽC Cễ SễÛ HOAỉI CHAÂU ẹEÀ THI HOẽC SINH GIOÛI CAÁP TRệễỉNG NAấM HOẽC 2009 – 2010

MOÂN: TOAÙN 6

Thụứi gian laứm baứi: 90 phuựt (khoõng keồ thụứi gian phaựt ủeà)

-Câu 1:(2đ) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: (2x + 1)(y – 5)=12

b) Cho S = 5 + 52 + 53 + + 52004

b1) Tính S b2) Chứng minh S 126

Câu 3: (2 điểm) Tìm bốn chữ số tận cùng của số 51992

Câu 4: (2đ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là hợp số

Câu 5: (3đ) a/ Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2n + 7 chia hết cho n + 1.

b/ Chứng minh rằng phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n: 12 1

n n



Câu 6: (3 điểm) Tìm các số nguyên x, y biết rằng x 2 1

Câu 7: (4đ) Cho góc AMC = 600 Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt là tia phân giác của góc xMy

a) Tính góc AMy

b) Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt

ĐáP áN Câu 1: Vì x, y là các số tự nhiên và (2x + 1)(y – 5) = 12 nên 2x+1; y – 5 là các ớc của 12 (0,5đ)

Vì x là số tự nhiên nên 2x+1 số tự nhiên lẻ nên 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3

(0,5đ)

Ta có

2x + 1 1 3

0,5đ

y – 5 12 4

Vậy (x,y) (0,17);(1;9) (0,5đ)

Câu 2: (4đ)

1.22.33.4  98.99 99.100

= 2 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

= 1 1 2

1 100



  = 2 99

100 =

99 49 1

50 50 (0,5đ)

b) b1) Ta có S =5 + 52 + 53 + + 52004

5S = 52 + 53 +54 + +52005 (0,25đ)

 5S –S = (52 + 53 +54 + +52005) – (5 + 52 + 53 + + 52004) (0,5đ)

Vậy S =

2005

4



(0,5đ) b2) S = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) + + (52001 +52004) (0,25đ)

S = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53) + + 52001(1 + 53) (0,25đ)

S = 126.(5 + 52 + 53 + + 52001) (0,25đ)

Câu 3: Ta có 54 = 0625, số 0625 nâng lên lũy thừa nào thì tận cùng cũng bằng 0625 (1đ)

Do đó 51992 = (54)498 = 0625498 = 0625 (1đ)

Câu 4: P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P có dạng 3k + 1; 3k + 2 (kN*) (0,5đ)

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài (0,5đ)

Suy ra p = 3k + 1, suy ra p + 8 = 3k + 9  3 (0,5đ)

Câu 5: a) Với n  Ta có 2n + 7  n + 1 2(n + 1) + 5  n + 1 (0,5đ)

 5  n + 1  n + 1  Ư(5) (0,5đ)

 n + 1   1;5  n  0;4 (0,5đ) b) Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2 (0,5đ)

Vậy phân số12 1

30 2

n n



 tối giản với mọi số tự nhiên n (0,5đ)

Câu 6: Quy đồng mẫu ta đợc xy 4 y



Suy ra xy – 4 = y suy ra y(x – 1) = 4 (0,5đ)

Vì x, y là các số nguyên nên y; x – 1 là các ớc của 4 (0,5đ)

Ta có

x 5 –3 3 –1 2 0

Câu 7: Hình vẽ: (0,5đ) đ

a) Tia Mx là tia đối của tia MA góc AMx là góc bẹt: AMx 1800

 AMC CMx AMx  hay 600CMx 1800  CMx  1800 600 1200 (0,5đ)

My là tia phân giác của góc CMx nên My nằm giữa MC và Mx và

120 60

Vì góc AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA và Mx (0,5đ) nên:AMy xMy AMx thay số: AMy600 1800  AMy1800 600 1200 (0,5đ) b) Vì tia Mt là phân giác của góc xMy nên:   1 1 0 0

60 30

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Mx, vì xMt xMC(30  0 120 )0 nên tia Mt nằm giữa Mx và MC nên xMt tMC xMC    300tMC 120  0  tMC 90  0 (0,5đ)

600

A M

C

x

y t