Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài cạnh bằng 3 hoặc 3... HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang Nội dung.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phú,(không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình 5 3x x 1 3x2 4x 4.
b) Giải hệ phương trình 2 2
2xy 4x 3y 6 0
.
Câu 2 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho (x2 2) (xy 2)
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
(a b) (b c) 4a
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của (O) (E, F là các tiếp điểm) Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DE < DF, D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của (O) cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.
a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng
OB, OC Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn.
b) Kẻ các tia phân giác DK của góc EDF, OI của góc BOC (K thuộc EF, I thuộc BC) Chứng minh OI // DK.
c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (2,0 điểm).
Mỗi điểm trong mặt phẳng được gắn với một trong hai màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài cạnh bằng 3 hoặc 3.
-HẾT -Họ và tên thí sinh Số báo danh
Trang 2Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
Câu
1
7,0đ
a
4,0đ
ĐKXĐ:
5 1
3
x
(*) Với điều kiện (*) phương trình đã cho tương đương với:
2
5 3 x x 1 2 (5 3 )( x x 1) 3 x 4x 4
1,0
Đặt 3x22x5 t (t 0) 1,0
Pt (1) trở thành t22t 3 0
t 1
Với t = -3 (loại) Với t = 1 (thỏa mãn đk t 0),
ta có
3
1,0
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
3
b
3,0đ
2
3 (I) 2
x
2
(II)
y
0,5
(I)
3 2 0
x y
hoặc
3 2 4
x y
0,5
(II)
5 2 2
x y
hoặc
1 2 2
x y
0,5
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm (x; y) là
0,5
Câu 2
3,0 đ Với x =1, từ giả thiết ta có -1(y 2) vô lý, vì y 1 0,5
Với x 2
Ta có: (x2 2) (xy2) y x( 2 2) (xy2)
0,25
Trang 3Câu Nội dung Điểm
2(x y xy ) 2 2(x y ) k( xy2) (k*) 0,25
Nếu k = 1, ta có 2(x + y) = xy + 2
Từ (1) và (2) suy ra
3 4
x y
hoặc
4 3
x y
Thử lại ta thấy chỉ có x = 4, y = 3 thỏa mãn đề bài 0,25 Nếu k2, ta có: 2(x y ) 2( xy2) x y xy 2 (x1)(y1) 1 0 (vô lý) 0,5
Vậy
4 3
x y
Câu 3
2,0 đ
Ta có P =
4
c a
0,25
Thay vào ta được P = 2 2
xy
Ta chứng minh 2 2
(*) (1x) (1y) 1xy
0,25
2 2 3 3
1 2xy x y x y xy 0
(1 xy) xy x y( ) 0
Từ (*) P
1
xy xy
P
2
xy xy
P =
3
4 khi x = y = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
3
Câu 4
6,0 đ
a
3,0
N
M
O
D
F
E
C B
A
Trang 4Ta có
các điểm B, E, N, O cùng thuộc một đường tròn
Mà BEO = 90 0 BNO = 90 (1) 0
Mặt khác
các điểm M, F, O, C cùng thuộc một đường tròn
Mà CFO 90 0 CMO 90 0 (2)
1,25
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn 0,5
b
2,0
đ
Ta có
c
1,0
đ
Gọi L, H lần lượt là giao điểm của OA với (O), EF
Ta có A, L, O thẳng hàng; L, K , D thẳng hàng; AO EF tại H 0,25
Vì DK // OI DOI ODK Mà ODK KLO nên DOI KLH
Kết hợp với
OFA vuông tại F, FH OA tại H OH.OA = OF2
(**)
0,25
Từ (*) và (**)
AOOI Kết hợp với LK // OI A, K, I thẳng hàng
KI luôn đi qua điểm cố định A
0,25
Câu 5
2,0 đ
O G
E
K
I
H L
O
D
F
E
C B
A
Trang 5Câu Nội dung Điểm
3
C B
A
Dựng tam giác đều ABC có cạnh bằng 3
TH2: Có hai trong ba đỉnh A, B, C khác màu
Giả sử A, B khác màu
Dựng tam giác cân ABD với DA = DB = 2 3 D có màu khác với một trong hai
điểm A, B tồn tại một đoạn thẳng có độ dài bằng 2 3 sao cho hai đầu mút khác
màu Gọi đoạn thẳng đó là EF (E, F khác màu)
0,5
Lấy K là trung điểm của EF K trùng màu với một trong hai điểm E, F 0,25 Không mất tính tổng quát, giả sử E và K cùng màu xanh và F màu đỏ 0,25 Dựng hình thoi EGKH với EGK, EHK đều
Gọi O là giao điểm của EK và GH
0,25
Nếu trong hai điểm G, H có ít nhất một điểm màu xanh Kết hợp với E, K màu xanh
ta được tam giác đều có ba đỉnh màu xanh và có độ dài cạnh bằng 3 0,25 Nếu G, H cùng màu đỏ thì ta có tam giác đều GHF có ba đỉnh màu đỏ và có độ dài
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.