Tài liệu Bất đẳng thức AM-GM doc

Mỗi người trong chúng ta, đặc biệt là các bạn yêu toán, dù ít hay nhiều thì cũng đã từng đau đầu trước một bất đẳng thức khó và cũng đã từng có được một cảm giác tự hào khi mà mình chứng

Lời nói đầu

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khá hay và khó đối với mỗi chúng ta Hiện này có khá nhiều người quan tâm đến nó bởi vì nó thực sư rất đơn giản, quyến rũ và bạn không cần phải “học vẹt” nhiều định lý để có thể giải được chúng Mỗi người trong chúng ta, đặc biệt là các bạn yêu toán, dù ít hay nhiều thì cũng đã từng đau đầu trước một bất đẳng thức khó và cũng đã từng có được một cảm giác tự hào khi mà mình chứng minh được bất đẳng thức đó.Không biết các bạn nghĩ thế nào nhưng theo quan điểm của chúng tôi, thì nếu ta học tốt bất đẳng thức thì cũng có thể học tốt các lĩnh vực khác của toán học vì như

đã nói, bất đẳng thức đòi hỏi chúng ta phải có một kiến thức tổng hợp tương đối vững vàng.Có lẽ nhiều bạn không tin nhưng chắc hạn bạn cũng biết đến anh Phạm Kim Hùng, sinh viên hệ CNTN khoa toán, trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, người đã từng tham dự hai kì thi IMO và đều đoạt kết quả cao nhất trong đội tuyển Việt Nam Trong thời học phổ thông, anh ấy chỉ chuyên tâm rèn luyện bất đẳng thức thôi

Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS; hay dồn biến, hay EV… Để chứng minh bất đẳng thức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào cũng giải được Thời gian để giải theo cách đó cũng khá tốn Bởi vậy, vấn đề tìm ra lời giải theo các cách cổ điển luôn được đánh giá cao Trong bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu về một bất đẳng thức kinh điển là AM-GM

Trong bài viết còn nhiều thiếu sót Mọi thắc mắc xin liên hệ email: bokinhvan3@yahoo.com

Người viết: Phạm Tiến Giang

I) Bất đẳng thức AM-GM là gì ?

Bất đẳng thức AM-GM được 3 nhà toán học Schwar, Bunhiacopxki và Cauchy phát minh ra Tuy nhiên, mọi người vẫn thường gọi đây là bất đẳng thức Cauchy nhiều hơn và cũng thường nhầm lẫn rằng Cauchy tìm ra bất đẳng thức này Có lẽ do ông là người đã đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM rất hay và độc đáo

Bất đẳng thức AM-GM là tên chuẩn quốc tế được viết tắt từ Arithmetic Geometric Means

Means-Trước hết, chúng tôi xin được giới thiệu bất đẳng thức AM-GM được phát biểu như sau:

Với n số không âm a1, a2, a3,…, an, ta luôn có:

 Dấu “=” xảy ra khi: a1 = a2 = a3 =…= an

Bất đẳng thức này có hơn 20 cách chứng minh Trong đó, cách chứng minh bằng

quy nạp bất không tuần tự(hay còn gọi là quy nạp kiểu Cauchy ) được coi là hay nhất

Ý tưởng: chúng ta chứng minh qua 3 bước cơ bản sau:

Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 2

Bước 2: Giả thiết rằng bất đẳng thức đúng với n,trên cơ sở đó chứng minh bất

Dấu “=” xảy ra khi : a = b

*) Giả sử bất đẳng thức đúng với n số không âm Xét 2n số không âm a1, a2, a3,…,

Nâng cả hai vế lên lũy thừa bậc n, ta được:

Ghi chú: Ở đoạn này, ta có thẻ lùi từ 2n xuống n + 1

Ví dụ 1.Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Ví dụ 2.(Bất đẳng thức Nesbitt) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

3 2

b c   c  a  a b  

Lời giải: Đây là rất quen thuộc và có rất nhiều cách chứng minh

Cách 1 Áp dụng kết quả của ví dụ 1 , ta được:

Vậy M  N  2 S   3 2 S  3 Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Đối với bất đẳng thức Nesbitt cho 4 số thì chứng minh tương tự như các này Sau đây là một số kĩ thuật đơn giản nhưng cũng thường được sử dụng để áp dụng bất đẳng thức AM-GM cùng với đó một số bất đẳng thức liên quan tới AM-GM

II) Kĩ thuật chọn điểm rơi:

Bất đẳng thức AM-GM là một bất đẳng thức thuần nhất Vì thế, chúng rất hữu hiệu trong việc chứng minh các bất đẳng thức thuần nhất Tuy nhiên, do điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức này rất nghiêm ngặt nên việc áp dụng một cách trực tiếp và

máy móc đôi khi khó đem lại kết quả Để áp dụng tốt các bất đẳng thức này, chúng ta phải nghiên cứu kỹ điều kiện xảy ra dấu bằng và áp dụng kĩ thuật chọn điểm rơi này

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

*)Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào bất đẳng thức?

Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng bất đẳng thức như trên, nhưng ta sẽ thêm vào 1 số nào đó:

Cộng hai bất đẳng thức trên ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Giả sử đã tồn tại để dấu "=" xảy ra, khi đó

Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi

Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở Từ đó ta nâng bài toán lên với hệ số các số hạng là các số dương như sau:

Lời giải:

Mục tiêu của chúng ta là dùng bất đẳng thức AM-GM sao cho khi cộng 2 bất đẳng thức vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết Rõ ràng việc đặt số đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi

Ở đây, ta cộng 3 số hạng bậc 4 của x với 1 số hạng tự do Mục đích là để khi ta áp dụng BĐT AM-GM, ta thu được một số hạng bậc 3 của x

Cộng 2 bất đẳng thức, ta được :

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Khi đó (2) Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì:

Thay vào (2) ta có , đạt được khi x = y =

Qua các ví dụ trên, có lẽ các bạn đã phần nào hiểu được kĩ thuật này Tuy nhiên, các ví dụ này vẫn còn rất đơn giản và mang tính chất tương tự nhau Chúng ta hãy xét một trường hợp khác với các ví dụ trên xem thế nào?

Ví dụ 4 Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực không âm thì

 2 2 2  

28 2 2 3

Tuy nhiên, ở đây, chúng tôi xin giới thiệu 1 cách giải khác khá độc đáo và có sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi như sau:

Nhận xét rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ta sẽ tìm p sao cho bất đẳng thức sau đúng:

3 3 3

Thay a = b = c vào bất đẳng thức trên, ta suy ra được p = 2

Vậy, vấn đề của ta bây giờ là chứng minh bất đẳng thức sau đúng

Vậy, ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Sau đây là một số bài tập nho nhỏ về kĩ thuật này:

III) Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Các bạn cứ tưởng tượng rằng khi ta dùng bất đẳng thức AM-GM rồi nghịch đảo lại, rồi lại đặt dấu trừ ở trước thì hiển nhiên bất đẳng thức sẽ không đổi chiều

Sau đây là một số ví dụ để các bạn nắm rõ kĩ thuật này và một số bài để tự luyện

Các bài toán mẫu:

Bài toán 1 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh

Lời giải:

Ta có :

Tương tự cho 2 bất đẳng thức kia, ta suy ra:

Bài toán 2 Cho các số thực dương a,b,c có tổng bằng 3 Chứng minh

Bài 2 Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=4 Chứng minh

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số thực dương ta luôn có:

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số thực dương ta luôn có:

Bài 5 Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c

sao cho a+b+c=3 thì

Bài 6 Cho các số thực dương a,b,c có tổng bằng 4 Chứng minh

Bài 7 Với mỗi số thực dương a,b,c,d có tổng bằng 4

Trước hết xin nhắc lại về bất đẳng thức này, nó được phát biểu như sau:

1 2 n 1 2 n 1. 1 2. 2 n. n

a  a   a b  b   b  a b  a b   a b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a bi j  a bj i với mọi i  j

Chứng minh: Có lẽ các bạn ai cũng biết cách chứng minh bất đẳng thức này nên

chúng tôi chỉ xin nêu 1 cách chứng minh đơn giản và tiêu biểu sau :

Xét tam thức bậc 2 sau đậy:

f x  a x  b  a x b    a x  b

Sau khi khai triển ta có:

Dấu “=” cũng xảy ra khi và chỉ khia bi j  a bj i với mọi i  j

( Lưu ý là để sử dụng tốt dạng, các bạn cần có cái nhìn “ hai chiều ”)

Sau đây là một số ví dụ cơ bản:

Ví dụ 1 cho a;b;c là 3 số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Đó chính là điều phải chứng minh

Nhận xét: Lời giải tuy đơn giản nhưng để tìm được hướng làm thì không dễ chút

nào Điểm đặc biệt ở đây là việc phát hiện ra hằng đẳng thức:

Cauchy-Ví dụ 2 cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 3 Chứng minh rằng:

Gợi ý lời giải: Sử dụng ý tưởng như trên, ta sẽ tìm một hằng đẳng thức thích hợp

để có thể giúp ta chứng minh bất đẳng thức đã cho Chúng ta hãy thử để ý đến hằng đẳng thức sau :

Chia cả 2 vế cho 9, ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 3 Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là các số thực dương và r4  abcd  1, bất đẳng thức sau luôn đúng:

Từ 2 bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= d = r

Ví dụ 4 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2  b2  c2  1 Chứng minh rằng:

3

 2

1 1 3

9) Tìm min, max của

V) Bất đẳng thức holder

Bất đẳng thức Holder là một bất đẳng thức khá mạnh và có nhiều ứng dụng, nhưng rất tiếc nó không được phổ biến ở phổ thông hiện nay Đặc biệt, bất đẳng thức holder còn được coi là dạng tổng quát của bất đẳng thức AM-GM (với m = 2 ) và cách chứng minh bất đẳng thức này có sử dụng đến bất đẳng thức AM-GM Vì thế, chúng tôi xin giới thiệu bất đẳng thức này trong chuyên đề

Đầu tiên, xin được trình bày dạng tổng quát của bất đẳng thức :

Với m dãy số dương ( a1;1 ; a1;2 ; … ; a1;n ) ; ( a2;1 ; a2;2 ; … ; a2;n );… ; ( am;1 ; am;2 ; … ;

.

m

m m

m n m

Xây dựng tương tự 2 bất đẳng thức (b; y; n) và (c; z; p) rồi cộng theo từng vế, ta

có điều phải chứng minh

n a a a a

Cộng từng vế 2 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Đây là 2 hệ quả khá quan trọng và sẽ dung nhiều trong công cuộc chinh phục đỉnh cao bất đẳng thức, vì vậy chúng ta cần nhớ kĩ và vận dung cho thật linh hoạt

Do chuyên đề tập trung chủ yếu vào hiệu quả của AM-GM nên chúng ta nên dừng các vấn đề về bất đẳng thức holder tại đây

Tiếp theo là một số ví dụ có sử dụng bất đẳng thức AM-GM này

VI) Ứng dụng của bất đẳng thức AM-GM:

Bài 1 Cho a, b, c, là các số thực dương Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi: a=b=c

Cách 2 Tương tự như cách 1, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

     

2

2 2 2 2 2 24

Điều này hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Schur bậc 3

Bài 2 Cho a, b, c, là các số thực dương Chứng minh rằng:

   

2 1

2 1

Bài 3 Cho a, b, c, là các số thực dương Chứng minh rằng:

Cách 1 Sau khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có được bất đẳng thức cần chứng

minh tương đương với:

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM

Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b2 2b c2 2 c a2 2 1 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng

Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ nếu a = b = c

Bài 6 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 2 Chứng minh rằng:

Cho các số thực dương a, b, c và x, y, z thỏa mãn:

a+x = b+y = c+z = 1 Chứng minh rằng:  abc xyz  1 1 1 3

Thay vào biểu thức trên rồi trừ 2 vế cho 3, ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1

2

a  b   c

Bài 8 Cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác có chu vi là 2p Chứng minh rằng:

Điều này hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

*)Để thành thạo với AM-GM các bạn hãy luyện tập với một số bài tập sau:

Bài 1 Cho a, b, c > 0, abc = 2 Chứng minh rằng :

c



)(

3

c b a

ca bc ab

Bài 5 (Việt Nam 2002) cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 9 Chứng minh rằng: 2(a + b + c) – abc  10 (vascle artoajre)

Bài 6 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

b a

a



2+

c b

b



2+

a c

c



2

3

Bài 7 (Trần Quốc Luật) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3 Chứng minh rằng:

8(2 - a) (2 - b) (2 - c)  (a + bc) (b + ca) (b + ca) (c + ab)

Bài 8 Cho a, b, c  0 và a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng

2 2

3

c bc

b



d b a

c



c b a

d



d c b

+

c b

c b



 +

b

b a

c

 2

))(

)(

(

1

a c c b b a

Bài 12 Cho a, b, c  0 Chứng minh rằng:

(a + b)2 (b + c)2  4 (a2 + bc) (b2 + ca) (c2 + ab) + 32a2b2c2

Bài 13 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

2) (

) (

21

c b a

ca bc ab a

c c

DANH SÁCH TÀI LIỆU THAM KHẢO

 maths.vn

 mathscope.org

 Old and New Inequality, Gil publishing House

Tác giả: Titu Andresscu, Vasile Cirtoajc (Vasc), Gabricl Dospinescu, Mircca Lascu