Bất đẳng thức Bernoulli Giảng viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên: Nguyễn Thanh Tuấn Lớp:K48A1S Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức Bernoulli là một trong những bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình toán lớp 12. Nó thường được sử dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác. Vì vậy việc xây dựng va chứng minh bất đẳng thức này có ý nghĩa rất quan trọng. Bản thân bất đẳng thức này thường được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm (hoặc có thể dùng phương pháp quy nạp). Trong bài tiểu luận này tôi xin trình bày một số vấn đề về bất đẳng thức Bernoulli: 1. Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli. 2. Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán mới. Mục lục 1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli 1 2 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán mới. 2 1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli Ta luôn có: x 2 + 1 ≥ 2x (∀x ∈ R) ⇔ x 2 + (2 − 1) ≥ 2x (∀x ∈ R) Tổng quát: x α + (α − 1) ≥ αx . Đúng hay không ? Nếu đúng thì điều kiện của x của α là gì ? 1 Bất dẳng thức Bernoulli: Với mọi x>0: a. Khi 0 ≤ α ≤ 1, ta có: x α + (α − 1) ≤ αx b. Khi α ≤ 0 ∨ α ≥ 1, ta có: x α + (α − 1) ≥ αx Chứng minh. Xét hàm số: f(x) = x α − αx + (α − 1) t 2 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán mới. Bài toán 1. Cho α là một số thực nằm trong đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng: 1 + α ≥ 2 α ≥ 1 + α 2 Chứng minh. Do α ∈ [0; 1] nên áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 2 α + (α − 1) ≤ 2α ⇔ 2 α ≤ α + 1 (1) Mặt khác, do 1 − α ∈ [0; 1] nên theo (1) ta có: 2 1−α + (1 − α − 1) ≤ 2(1 − α) ⇔ 2 1−α ≤ 2 − α Từ đó suy ra: 2 α ≥ 2 2 − α (2) Bây giờ ta chứng minh: 2 2 − α ≥ 1 + α 2 (3) Thật vậy, dễ thấy bất đẳng thức (3) tương đương với bất đẳng thức đúng α(α − 1) 2 ≥ 0 Vậy: 1 + α ≥ 2 α ≥ 1 + α 2 Bài toán 2. Cho α 1 , α 2 , α 3 , . . . , α m (m ≥ 1) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện α 1 2 + α 2 2 + · · · + α m 2 = 1.Chứng minh: 2 α 1 + 2 α 2 + · · · + 2 α m ≥ m + 1 Chứng minh. Thật vậy, từ α 1 2 + α 2 2 + · · · + α m 2 = 1 ta suy ra được: α 1 ∈ [0; 1]; α 2 ∈ [0; 1]; . . . ; α m ∈ [0; 1] 2 Áp dụng bất đẳng thức 2 α ≥ 1 + α 2 lấn lượt cho α 1 , α 2 , α 3 , . . . , α m (m ≥ 1) Ta có: 2 α 1 ≥ 1 + α 1 2 2 α 2 ≥ 1 + α 2 2 . . . 2 α m ≥ 1 + α m 2 Cộng các bất đẳng thức trên vé theo vế ta được: 2 α 1 + 2 α 2 + · · · + 2 α m ≥ 1 + 1 + · · · + 1    m +(α 1 2 + α 2 2 + · · · + α m 2 ) hay: 2 α 1 + 2 α 2 + · · · + 2 α m ≥ m + 1 3 . trình bày một số vấn đề về bất đẳng thức Bernoulli: 1. Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli. 2. Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo. chứng minh bất đẳng thức Bernoulli 1 2 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán mới. 2 1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli