Chứng minh raèng toàn taïi duy nhaát daõy soá döông vaø ñôn ñieäu taêng x thoûa maõn f n xn 2 xn vaø lim xn 4 n.[r]
Trang 1A- Giới hạn dãy số
*Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= 0 > 0 ; lim = 0 ;
limqn = 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) =
limun ;
limvnlim =
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì
có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới
thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
Nếu n ta có un ≤ vn ≤ wn và
limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim =
Nếu limun = thì lim = 0
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là
S =
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim d) lim
e) lim 3 2 n −3
√n3−2 n+1 f)lim() g) lim
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim()
c) lim)
d) lim)
e) lim f) lim
g) lim
3
√n3+n2+n+3√n2+1
n√3+1
h) lim i)lim()
j) lim n()
k) lim( √3n3− 2 n2− n )
l) lim
m) lim(1 + n2 – )
n) lim
4.Tính các giới hạn
a) lim b) lim
c) lim d) lim e) lim f) lim
g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 =
a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2
và là dãy số tăng
b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
5.Cho dãy (un) xác định bởi
u1 = ; un+1 = a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và
là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Tìm các số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515
7.Tính
lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
8 Cho dãy (xn) thỏa
0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn
9 Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 +
xn – xn n N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n n ≥ 3 b) Tính limxn
10.Cho dãy số xác định bởi :
u1 = ; un +1= a) Chứng minh rằng: un < 1 n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1
= và un +1= a) Chứng minh rằng un < 3 n b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun
B- Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)
x a
x a
x a
lim f (x)
f (x) lim g(x) lim g(x)
lim f (x) lim f (x)
*Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn
đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x)
≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) Lx a x a
thì
x a
lim f (x) L
Định lý 3: Nếu
1 lim f (x) 0 thì lim
f (x)
Trang 2Nếu
1
f (x)
Định lý 4: x 0
sinx
x
x 0
x
sinx
x 0
sin kx
kx
x 0
kx
sin kx
*Các dạng vô định: là các giới hạn có
dạng ; ; 0. ; –
1.Tính các giới hạn sau: a)
lim
x→ 2
2 x2− 3 x −2
x − 2 b)
lim
x→ 1
x3−3 x2+5 x − 3
x2−1
c) lim
x →− 2
x2+2 x
x2+4 x +4 d)
lim
x→ 1
x3− x2− x +1
x2− 3 x+2
e) lim
x→ 3
x3−5 x2+3 x +9
x4− 8 x2−9 f)
lim
x →− 1
x4−1
x3− 2 x2+3
g) lim
x→ 1
x2+2 x − 3
2 x2− x −1 h)
lim
x →− 2
x3− 3 x +2
4 − x2
i) lim
x→ 1
4 x6− 5 x5
+x
x2−1 k) limx→ 1
x m −1
x n −1
m,nN
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim
x → 4
√x +5 −3
4 − x b) limx→ 0
√1+x −√1 − x
x c)
lim
x→ 7
2 −√x − 3
x2− 49 d) limx→ 2
√4 x+1 −3
x2− 4 e)
lim
x→ 2
√x +2− x
√4 x+1 −3 f) limx → 4
3−√5+x
1 −√5 − x
g) lim
x →− 1
√2 x +3 −√x+2
3 x +3 h)
lim
x→ 1
√2 x+7 +x − 4
x3− 4 x2+3 i) limx→ 1
x2−√x
√x − 1 j)
lim
x→ 1
√x −1
√x +3 −2 k) limx→ 2
√x +2− x
√4 x+1 −3
l) lim
x→ 1
√2 x+7 − 3
2 −√x +3 m)
x → 1+ ¿√x2− 1+√x −1
√x − 1
lim
¿
n) lim
x→ 1
x3−√3 x −2
x2−1
o) lim
x→ 1
√x2 +3+x3−3 x
x − 1
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→ 2
x
3
√8 − x −3
√8+x b)
lim
x →− 1
x5+x3+2 3
√x+1
c) lim
x→ 0
x
3
√1+x − 1 d)
lim
x→ 0
3
√1+x2− 1
x2 e) limx → 4
3
√x +4 −√x
x2−5 x +4
f) lim
x →− 3
√2 x +10+3
√x − 5
x2−9 g)
lim
x→ 2
3
√10 − x −√x+2
x − 2
h) lim
x→ 2
3
√x +6 −√x+2
x2− 4
i)
3 2
x 2
lim
g)
4
x 1
lim
(1 x)
h)
n
2
x 1
lim
(x 1)
4.Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→ 0
sin 3 x
2 x b) limx→ 0
5 x sin 2 x
c) lim
x→ 0
sin 4 x sin 7 x d) limx→ 0
1 −cos 6 x
x2
e) lim
x→ 0
1 −cos 3 x
1 −cos x f)
lim
x→ 0
cos x − cos 3 x
2 x2 g) lim
x→ 0
1 −√cos x
x2 h)
lim
x → π
6
√3 sin x − cos x
Trang 3x → π
4
sin x − cos x
sin 8 x j)
lim
x→ 0
cos4x −sin4x −1
√x2+1− 1
k) lim
x→ 0
1+sin x − cos x
1 −sin x −cos x l)
lim
x→ 0( 1
sin x −
1
cos x) m) limx→ 0(π
2− x )tgx
n) lim
x→ 0
√2 −√1+cos x
sin2x o)
lim
x→ 0
1 −cos x √cos 2 x
lim
x→ 0
√1+sin x −√cos 2 x
lim
x → π
4
sin x − cos x
1− tgx r) limx→ 0 cos 2 x −1 1 −√1 − x2
4.Tính các giới hạn sau:
a) x 0
sinx sin 3x x
b) x 0 3
tgx sinx
lim
x
c) x 0 2
lim
tg x
d) x 2
cosx
lim
x- /2
e) x 2
lim(1 cos2x)tgx
f) x 4
1 tgx
lim
1 cot gx
g) x 4
sinx - cosx
lim
1 - tgx
h)
3 x 3
tg x 3tgx lim
cos(x + )
6
i) x
lim x.sin
x
j) x 0 2
lim
tg x
k)
x 0
lim
x
l) xlim(sin x 1 sin x )
m)
x
lim(cos x+1 cos x )
5.Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→ 1( 1
x − 1 −
3
x3−1) b)
lim
x →− 2( 1
x +2+
4
x2−4)
lim
c) lim
x → ∞
(x −1)(x2+3 x )
x3+4 x d)
lim
x → ∞
√x2
+x −3 x
2 x −1
e) lim
x → ∞
(√x2− x +3+x) f)
lim
x →− ∞
(√3 − x −√5− x)
g) lim
x → ∞ x (√x2
+5− x) h)
lim
x →+∞ x (√x2
+1 − x)
i) lim
x →+∞(√x2− 2 x −1 −√x2−7 x +3) i)
2 2 x
lim
j)
x
lim
x 1
2
x
lim
j) lim
x → ∞
√x2+x +1+√x2− x +1 x+√x2+1 k)
lim
x → ∞
7 x 1+14 x +√16 x2
+x+ 1
6.Tính giới hạn các hàm số sau
a) lim
x → ∞
√x2−3 x
x +2 b)
lim
x → ∞(√x2− x −√x2+1)
c) lim
x→ 0 x2sin1
x d)
lim
x → ∞
sin x +3 cos 2 x
x2−2 x+3
e) lim
x →+∞
5 cos x+x2
x3− 1 f)
2 x
)
g)
2 x
h) x
i)
x
x
7.Tìm 2 số a,b để
a) lim
x →+∞(√x2
+x+1 − ax −b)=0
Trang 4b) lim
x → ∞(x2+1
x+1 − ax − b) = 0
8 Tính các giới hạn sau:
b)
C- Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo xlim f (x) f (x )xo o
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b)
nếu nó liên tục tại mọi điểm xo (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu
nó liên tục trên khoảng [a;b]
và
x alim f (x) f (a) và lim f (x) f (b) x b
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác
là các hàm số liên tục trên tập xác định của
chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm
liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c
(a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít
nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) =
c)f(x) =
2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
¿
x2−3 x +4 khi x <1
2x − 3 khi x ≥ 1
¿
tại xo
= 1
b) f(x) =
¿
x3− x − 6
x2− x − 2 khi x ≠2
11
3 khi x=2
¿
tại xo =
2
c) f(x) =
sin x
khi x 1
x 1 khi x 1
tại xo = 1
d) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
e) f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
tại xo = 2
f) f(x) = 3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
tại xo = 0
g) f(x) =
3 2
khi x 0 sin x
1 khi x 0 6
tại xo = 0
h) f(x) =
khi x 2
2 x
1 khi x 2
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) =
¿
3 x2+2 x − 1 khi x <1 2x+a khi x≥ 1
¿
tại x0 = 1
b) f(x) =
¿
x3+2 x −3
x2− 1 khi x ≠1
a khi x=1
¿{
¿
tại x0 = 1
c) f(x) =
khi x 0 x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
tại xo = 0
d) f(x) =
khi x 0 x
4 x
x 2
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
¿
x2− 3 x −7 khi x <− 2
1− x khi x ≥− 2
¿
Trang 5
b) f(x) =
¿
x2+3 x − 10
x2− 4 khi x<2
2x+3
x +2 khi 2≤ x ≤ 5
3x − 4 khi x >5
¿
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
khi x 2
x 2 1
4
b) f(x) =
3 khi x
3
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
¿
− 2 sin x khi x <− π
2
asinx +b khi − π
2≤ x ≤
π
2
cos x khi x > π
2
¿{ {
¿
b) f(x) =
¿
x2 khi x <1
ax+b khi 1≤ x ≤ 3
4 − x khi x>3
¿
6 Chứng minh rằng các phương trình sau cĩ
nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7 Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng
(– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng
(– 2;2)
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (–
3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng
(– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 cĩ 2 nghiệm trong khoảng
(– 3;1)
f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Cĩ 2 nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0
cĩ nghiệm trong [0;]
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) khơng thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình
ax2 + bx + c = 0 cĩ nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0 a)Chứng minh rằng af() < 0 với a 0 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0 c)Chứng minh rằng phương trình
ax2 + bx + c = 0 cĩ nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x cĩ nghiệm x [a;b]
12 Chứng minh rằng: các phương trình sau luơn luơn cĩ nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 c) a(x – b)(x – c)+b(x – c)(x – a)+c(x – a)(x – b)
= 0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và , là hai số dương bất kỳ Chứng minh rằng: phương trình f(x) = cĩ nghiệm trên [a;b]
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình cĩ nghiệm xo (1;2)
và xo >
BÀI TẬP NÂNG CAO GIỚI HẠN DÃY SỐ
1) Tính các giới hạn a)
2 2
lim
3
2 lim
n
lim( n 1 n)
2) Tính các giới hạn
Trang 6a) lim(1n2 n43n1) b)
3
1 lim
1
lim
3) Tính các giới hạn
a)
1
lim
n n
n n
1
lim
n n
c)
2 2
n n
4) Tính các giới hạn
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1.3.5.7 (2 1)
lim
2.4.6 (2 )
n n
g)
4
n
h)
lim
n n
n n
i) Tính
1
lim
!
n
j) Tính
limn n
Trang 75) Tính các giới hạn của dãy (un)
a) u n 2 2 2
1
4
c) u0 u1 1, u n1 u n u n1
6) Chứng minh dãy
1 1
n n
u
n
có giới hạn
7) Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn
a)
n
u
b)
n
n
n
u
n
d)
n
u
n
e) u1 2,u n1 2u n
1
2
u u u
8) Cho a1,k 1 Chứng minh rằng lim 0
k n
n
9) Cho dãy (un) xác định bởi công thức
2
1
2
n
n
u
Chứng minh rằng (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó
10) Giả sử x 0 và y n y n1(2 xy n1) Chứng minh
rằng , nếu mọi y i 0 thì dãy (yn) hội tụ và
1
limy n
x
11) Cho dãy (xn) xác định như sau 0 1
1 1,
1
n
n
x
1 lim
1x n
12) Xét dãy số nguyên dương (an) thỏa điều kiện
*
a a a n N Tính giới hạn
2
n
13) Cho dãy (un) thỏa điều kiện
u u u u u Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn Tìm giới hạn đó
14) Cho 2
cos
n n k
k
Tính limS2n
n
15) Cho dãy số (xn) thỏa
1
k
x
Chứng minh rằng tồn tại 2 số dương , A sao cho lim
n x A n
16) Cho dãy (xn) xác định theo công thức
1
x f x n Giả sử x n[ , ]a b n N và f là hàm tăng trên [a.b] Chứng minh rằng
a) Nếu x1 ≤ x2 thì (xn) là dãy tăng
b) Nếu x1 ≥ x2 thì (xn) là dãy giảm
c) Nếu f bị chặn thì (xn) hội tụ
17) Cho (xn) được xác định như sau
1
1
2
n
a
x
minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy 18) Cho (xn) được xác định như sau
1
1
3
n
a
x
minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy 19) Xác định x1 để dãy (xn) xác định như sau là dãy hội tụ : x n x n123x n11 (n2)
20) Cho dãy (xn) với 0x n 1 và 1
1
4
x x
Chứng minh rằng
1 lim
2
n
x
21) Cho dãy số (yn) xác định theo công thức
x n
Ax
y
với A0,0x1,y0 0 Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn và tìm giới hạn đó
22) Cho a1 = a, an+1=an(an – 1) Hỏi với giá trị nào của
a thì dãy (an) hội tụ
23) Cho
1
n
n S
n
Trang 824) Cho dãy (un) và (vn) được xác định như sau u1 = a,
u2 = b,
u a b a
,
1
v a b a
25) Cho dãy (an) và (bn) được xác định như sau a1 = a >
0, v1 = b > 0,
2
n
,
2
n
a b
Chứng minh rằng
lima n limb n ab
26) Các dãy (xn) và (yn) được xác định như sau x1 = a >
0, y1 = b > 0,
2
n
y x y n
.chứng tỏ rằng các giới hạn của chúng tồn tại và
bằng nhau
27) Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau
x1=a, y1 = b, z1 = c,
2
n
,
2
n
,
2
n
Chứng minh rằng các dãy số này đều hội tụ và lim n lim n lim n 3
a b c
28) Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau
x1= a > 0, y1 = b > 0, z1 = c > 0, x n y z n1 n1 ,
y z x , z n x y n1 n1 Chứng minh rằng
3
limx n limy n limz n abc
29) Xét dãy số (xn) được xác định bởi 1
1 1 1
n
n
x
x
x0 = 1 Chứng minh rằng limx n 2
30) Cho f là hàm dương,liên tục và nghịch biến trên
[0,∞) Giả sử rằng hệ phương trình
có nghiệm duy nhất l
Chứng minh rằng dãy số dương x n1f x( )n với
x0 > 0 cho trước hội tụ tới l
31) Xét dãy số (xn) được xác định bởi
2
1
n
n
x
Khảo sát sự hội tụ của dãy (xn)
32) Cho a ≠ 1 Xét dãy (xn) được xác định bởi
2
,
n n n
n
x x
x
Chứng minh rằng dãy (yn)
={(a – 1)xn} có giới hạn và xác định giới hạn đó 33) Xét dãy (xn) được xác định bởi
n
.Chứng minh rằng (xn) không có giới hạn hữu hạn
34) Cho dãy hàm f x n( ) dương trên R+ thỏa các điều kiện f x0( )x,
2
f x x f x n N x R
minh rằng tồn tại duy nhất dãy số dương và đơn điệu tăng (xn) thỏa mãn f x n( ) 2n x n và limx n 4
35) Xét 2 dãy (an) , (bn) xác định bởi a1 = 3, b1 = 2 và
an+1 = an + 2bn, bn+1 = 2anbn Tính lim2n b n và
2
1 2
n
a a a