Câu 4: a Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.. Tương tự FI là phân giác EFD.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 03/4/2012
Câu 1 (2đ): Thực hiện phép tính:
4
√3+2√2.√√2−1+√3(x +12)√x −6 x − 8
x −√x
√x −1 −√√2+1.√43 −2√2
Câu 2 (4đ):
a/ CMR: 2139+3921 chia hết cho 45
b/ Tìm a,b thuộc N∗ sao cho:
1
a+
1
2 b=
2
7
Câu 3 (6đ):
a/ Giải phương trình: √x −2+√y −1+√z=1
2( x+ y+ z )
b/ Tìm k để phương trình x2-(2+k)x+3k=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao
cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh
huyền bằng 10
c/ Cho biểu thức A=x√3+ y + y√3+x với x; y≥0 và x+y=2012
Tìm GTNN của A
Câu 4 (5đ):
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp (O;R) Các đường cao AD,BE,CF của tam giác cắt nhau tại I
a/ Chứng minh tâm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
b/ Giả sử BÂC=600 Tính diện tích tứ giác AEOF theo R
Câu 5 (3đ):
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC Một tiếp tuyến của đường
tròn (O) cắt các cạnh AB,AC của tam giác theo thứ tự ở P,Q CMR:
a/PQ2+AP.AQ=AP2+AQ2
b/AP/BP+AQ/CQ=1
BÀI GIẢI SƠ LƯỢC:
Trang 2Câu 1:
4
√3+2√2.√√2−1+√3( x +12)√x −6 x − 8
x −√x
√x −1 −√√2+1.√43 −2√2
=√√2+1√√2 −1+√3(√x −2)3
Câu 2:
a) + 2139+3921 chia hết cho 9:
2139+3921=(3.7)39+(3.13)21=321(318.739+1321) chia hết cho 9
+ 2139+3921 chia hết cho 9:
2139+3921= (2139-139)+(3921+121)=20M+40N (M; N nguyên)
=20(M+2N) chia hết cho 5
+ (9;5)=1 =>2139+3921 chia hết cho 45
b) 1a+ 1
2 b=
2
7⇔ 14 b=a (4 b −7) ⇔ a= 14 b
4 b −7 vì 4 b− 7 ≠ 0 do b ∈Z
Do a nguyên => 14 b 4 b −7 ∈ Z ⇒ 28 b
4 b −7=7+
49
4 b − 7 ∈ Z ⇒4 b− 7 ∈{± 1;± 7 ;± 49}
Xét các trường hợp ta được (a=28; b=2); (a=4; b=14)
Câu 3 (6đ):
a/ Giải phương trình: √x −2+√y −1+√z=1
2( x+ y+ z )
ĐK: x≥2;y≥1;z≥0
√x −2+√y −1+√z=1
2( x+ y+ z ) ⇔2√x −2+2√y − 1+2√z=x + y +z
⇔(√x −2 −1)2+(√y −1 −1)2+(√z −1)2=0⇔ x=3 ; y=2; z=1
b/ Tìm k để phương trình x2-(2+k)x+3k=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10
ĐK: ≥0; S>0; P>0
=k2-8k+4≥0 (k-4)2≥12 k≥4+2 √3 hoặc k≤4-2 √3
S>0 2+k>0 k>-2
P>0 3k>0 k>0
KL: 0≤k≤4-2 √3 hoặc k≥4+2 √3
Tìm k sao cho x12+x22=100 (x1+x2)2-2x1x2=100 k2-2k-96=0 k1=1+ √97 ; k2
=1-√97
=> k1=1+ √97 thỏa mãn ĐK
c/ Cho biểu thức A=x√3+ y + y√3+x với x; y≥0 và x+y=2012
Tìm GTNN của A
Thêm bớt 2012 √3 với x+y=2012 ta được:
Trang 3A=x√3+ y + y√3+x −(x+ y )√3+2012√3=x(√3+ y −√3)+y(√3+ x −√3)+2012√3
Vì x; y ≥0 => A≥2012 √3
Vì x + y = 2012 suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 2012√3 khi x = 0; y = 2012 hoặc x = 2012; y = 0
+Cách khác: Giả sử x≥y≥0
=> A=x√3+ y + y√3+x ≥ x√3+x+ y√3+x=( x + y )√3+x =2012√3+x
=> GTNN của A là 2012√3 khi x=0 và y=2012
Vì x; y vai trò như nhau => GTNN của A là 2012√3 khi x=0 và y=2012 hoặc x=2012 và y=0
Câu 4:
a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
AEIF nội tiếp => FAI=FEI AEDB nội tiếp => FAI=BED
FEI=BED => EI là phân giác FED
Tương tự FI là phân giác EFD
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo R
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)=> xAB=ACB BFEC nội tiếp => AFE=ACB
xAB=AFE => EF//Ax =>OA FE
SAEOF=OA.FE/2
BFEC nội tiếp =>AFE~ACB (cgc)=> EF/BC=AE/AB=cosBAE=1/2
BAC=600=> sdBC=1200=> BC=R √3 => EF= R√3
2
SAEOF=OA.FE/2=R R√3
4
Câu 5:
a) Kẻ QH vuông góc với AP
Trang 42
2
Thế vào PQ2=HP2+HQ2 ta được đpcm
b)
AP+PQ+AQ=AP+PE+AQ+QF=2AE=AB=AC
AP
PB +
AQ
⇔ AP(AC − AQ)+AQ (AB − AP)=(AB − AP) (AC − AQ )
⇔ AP(AP+PQ)+AQ ( AQ+PQ)=( AQ+PQ)( AP+PQ)
⇔ AP2
+ AP PQ+AQ2+AQ PQ=AQ AP+AQ PQ+AP PQ+PQ2
⇔ AP2
………//;\