De HSG Toan 820162017 72

Gọi H là trực tâm của V MAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của V MAB Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất.... Chứng minh tơng tự đợc : CN CP.[r]

Sở Giáo dục - đào tạo

Thái Bình

****

Đề chính thức

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 8

Môn thi: Toán

(thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 ( 5điểm)

Cho biểu thức A = a4 + b4 + c4 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)

1 Phân tích A thành tích các thừa số

2 Xét dấu của A khi a,b , c là số đo 3 cạnh một tam giác

Bài 2 ( 4điểm)

Chứng minh không thể tìm đợc số nguyên x , y , z thoả mãn:

x y 3 y z 5 z x 2003

Bài 3 (3điểm)

Cho x + y = 2

Chứng minh rằng x2003 + y2003  x2004 + y2004

Bài 4 ( 5điểm)

Đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của VAbc lần lợt cắt các cạnh AB, AC và tia

CB tại M, N, và P Chứng minh:

1)

3

AMAN 

2)

9 AM.BMAN.CN  BP.CP

Bài 5: (3điểm)

Cho hai điểm A và B cố định Điểm M di động sao cho VMAB có 3 góc nhọn Gọi

H là trực tâm của VMAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của VMAB

Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất

Hớng dẫn giải và biểu điểm

Bài

4 + b4 + c4 + 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 – 4a2b2

= (a2 + b2 - c2)2 – (2a2b2)2

= (a2 + b2 - c2 - 2a2b2) (a2 + b2 - c2 + 2a2b2)

= [(a- b)2 – c2)] [(a + b)2 – c2)]

0,5 1 1

= (a - b – c)(a – b + c)(a + b- c)(a + b + c) 1

2 Do a – b – c < 0

a – b + c > 0 ; a + b – c > 0; a + b + c > 0

=> A > 0

1.5

Bài

2

+.Ta có

2x x y

x y x y



   

 Vậy x y  x y luôn chẵn

+ Tơng tự y z  y z; z x  z x luôn chẵn

+.x y 3 y z 5 z x  x y y z z x (x y y z z x) 2 y z       4 z x

luôn chẵn, không thể bằng 2003 là số lẻ (đpcm)

1 1 2

Bài

2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = x2003(x – 1) + y2003 ( y – 1) = x2003(1 – y) + y2003 ( y – 1)

(do x – 1 = 1 – y)

Vậy ( x2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = (1 – y) ( x2003 – y2003)

+.Giả sử x y => x2003  y2003 và x 1  y

do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)

+ Tơng tự nếu y x => y2003  x2003 và y 1x

do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)

(dấu bằng xảy ra khi x = y = 1)

0,5 1 1 0,5

Bài

+.Vẽ thêm CC2, AA1; BB1 nh hình vẽ

+.Chứng minh VBB1D = VCC1D

=>

3

AMAN AG  AG  AG  2AG 

2

2

+ Chứng minh tơng tự đợc :

CA CB

3

CNCP  +.Ta tính :

 1 2 2  2 2 2

BA BC

3



=>

9

AMANCN CPBM BP 

9

9 AM.BMAN.CN CP.BP

A2

M A

C

B

P

C2 D

G N

B1 C1

Bài

5 +)VAKH ~ VMKB

+) KM.KH = KB.KA

+)

KA.KB



+) Vậy KM.KH lớn nhất bằng

2

AB

4 khi

K là trung điểm của BC

+.M nằm trên đờng trung trực của AB

cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng

lớn hơn

AB

2 để VMAB nhọn.

H

M

K