Toán xác suất thống kê

Tổng hợp các công thức môn Toán Xác Suất thống kê căn bản trường Đại Học Thương Mại. định lý về xác suất, đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất, các bài toán ước lượng, các bài toán kiểm định.

Công thức cộng xác suất

P( A+B)=P( A)+P(B)−P( AB)

Nếu A và B xung khắc (A.B=V) thì: P( A+B)=P( A)+P(B)

Xác suất

có điều kiện

P( A /B)= P( AB)

P(B)

Hai biến cố gọi là độc lập khi: P( A)=P( A /B)=P (A / ´B)

P(B)=P(B/ A )=P(B/ ´A )

Công thức nhân xác suất

P( A B)=P (A )P(B/ A)=P(B)P (A / B)

Nếu n biến cố A1, A2, A3, A n thì:

P( A1 A2 A3 A n)=P (A1)P( A2/A1)P (A3/A1A2) P( A n/A1A2 A n−1)

Nếu A1, A2, A3, A n thì:

P( A1 A2 A3 A n)=P (A¿¿1) P( A2) P( A3) P( A¿ ¿n)¿ ¿

Công thức xác suất đầy đủ

i=1

n

P¿ ¿

Công thức

P( A) =P¿ ¿với k = ´ 1 ,n

ĐLNN

Phương sai : Var ( X)

σ2 =E[( X−μ )2]

Độ lệch chuẩn : Se( X)

σ =√Var (X ) σ2

Phân phối nhị

thức

Dãy phép thử Bernoulli:

P ( X=k )=P n(k )=C n k p k q n −k , q=1− p , k =1,2, … , n

Các số đặc trưng:

E( X)=np Var ( X )=npq np−q ≤ Mod(X )≤np +q

Phân phối

Poisson

P ( X=k )= e

−λ λ k

k ! , k=0,1,2,…

Các số đặc trưng:

E( X)=λ Var ( X )= λ λ−1 ≤ Mod ( X ) ≤ λ , mod(X ) ∈ Ν¿

Mối liên hệ giữa pp nhị thức và pp poisson:

 Khi n lớn, p khá bé thì X có phân phối xấp xỉ pp poisson với tham số

λ=np ,khi đó:

P ( X=k )=C n k p k q n−k ≈ e−λ λ k

k !

Phân phối

chuẩn

X N (μ , σ2), khi đó:

P(a< X <b)=Φ(b−μ σ )−Φ(a−μ σ )

 Nếu: P(|X−μ|<ε)=2 Φ(σ ε )

↔ P (|X −μ|<t σ )=2Φ(t σ σ )

↔ P(|X−μ|<t σ)=2Φ (t)

Mối liên hệ giữa pp nhị thức và pp chuẩn:

 Khi n lớn, p khá kgoong quá gần 0 và 1 thì X có phân phối xấp xỉ pp chuẩn

với E( X)=np và Var ( X )=npq ,khi đó:

P ( X=k )=C n k p k q n−k ≈ 1

√npq φ(k −np√npq)

 Nếu:

P(k1≤ X ≤ k2)=Φ(k2−np

√npq )−Φ(k1−np

√npq )

Trung bình

mẫu X =´ 1

i=1 n

X i

x=1

i=1

n

x i n i E( ´X)=μ Var(X´)=σ2

n

Phươn

g sai

mẫu

S2=1

i=1

n

2

s2

=1

i=1

n

(x i−´x)2 s2

=1

i=1

n

n i(x i−´x)2 E(s2)=n−1

2

Mẫu điều chỉnh

S ' 2= 1

i=1

n

(X i− ´X)2

E(S '2)=σ2

s ' 2

= 1

i=1

n

(x i−´x)2s ' 2

= 1

i=1

n

n i(x i−´x)s2' 2= n s2

n−1

Độ lệch tiêu chuẩn S=√1

i=1

n

(X i− ´X)2 S '=√ 1

i=1

n

(X i− ´X)2

E( ´X)=μ Var(X´)=σ2

n

X N (μ , σ2

n ) 

σ

√n

N (0,1)

X2=(n−1)S '2

σ2 X2 (n−1)

S '

√n

T(n−1)

.

1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM:

 Lấy mẫu ngẫu nhiên W =( X1, X2, , X n)

 Tùy thuộc vào, XDTK: θ¿

=f (X1, X2, , X n)

 Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w=(x1, x2 , x n),tính toán

θ tn¿

=f (x1, x2 , x n)

 Ta lấy θ ≈ θtn

¿

làm ước lượng điểm cho tham số θ.

E(θ −θ)=E(θ )−E(θ)=θ−θ=0ước lượng không chệch

≠ 0ước lượng chệch

E( ´X)=μ= ´X=1

i=0

n

)=σ2

=s ' 2

= 1

i=0

n

(X i− ´X)2 P=f

2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY:

o Gọi θ là đặc trưng của tổng thể cần ước lượng

o Lấy mẫu ngẫu nhiên: W =( X1, X2, , X n)

o Xây dựng thống kê: G=f ( X1 , X2, , X n , θ)

o Với γ=1−α ta xác định được α α1≥ 0

2≥ 0 thỏamãn α1+α2=α

o Từ đó, ta tìm được phân vị g 1−α1và g α2 ,sao cho:

P(g 1−α1<g< g α2)=1−α1−α2=1−α

↔ P (θ1¿

<θ<θ2¿)=1−α =γ

E(X)=μ):

o Gọi X là…

X là…trung bình…trên mẫu

μ là…trung bình…trên đám đông.

σ2đã biết ĐLNN phân phối chuẩn với σ2

chưa biết

Chưa biết quy luật phân phối

nhưng n>30

U α

2

 Vì X N (μ , σ2) nên

X N (μ , σ2

n).

 Khi đó, ta chọn thống kê:

σ

√n

N (0,1)

 Với độ tin cậy …%, và

khoảng tin cậy đối xứng ta

xác định được phân vị chuẩn

U α

2 , sao cho:

P(|U|<u α

2 )=1−α=γ

 Thay biểu thức của U vào

công thức trên, ta có:

P( |U|<u α

2)=1−α=γ

↔ P (−u α

2

<U <u α

2 )=1−α=γ

↔ P (−u α

2

<X−μ σ

√n

<u α

2 )=1−α=γ

√n u α

2

<μ< X + σ

√n u α2)=1−α=γ

 Vì X N (μ , σ2) nên

S '

√n

T(n−1)

.

 Với độ tin cậy …%, và khoảng tin cậy đối xứng ta xác định được phân

vị t α

2

(n−1)

, sao cho:

P(|T|<t α

2

(n−1)

)=1−α=γ

 Thay biểu thức của T vào công thức

trên, ta có:

P(|T|<t α

2 (n−1))=1−α=γ

↔ P (−t α

2

(n−1)

<X−μ

S '

√n

<t α

2

(n−1)

)=1−α=γ

↔ P (−S '

√n t α2

(n−1 )

<X−μ< S '

√n t α

2

(n−1)

)=1−α=γ

↔ P(X − S '

√n t α2

(n−1)

<μ <X + S '

√n t α2

(n−1)

)=1−α=γ

 Vì X N (μ , σ2) nên

X N (μ , σ2

n).

 Khi đó, ta chọn thống kê:

σ

√n

N (0,1)

 Với độ tin cậy …%, và khoảng tin cậy đối xứng ta xác định được

phân vị chuẩn U α

2 , sao cho:

P(|U|<u α

2 )=1−α =γ

 Thay biểu thức của U vào công

thức trên, ta có:

P( |U|<u α

2)=1−α=γ

↔ P (−u α

2

<U <u α

2 )=1−α=γ

↔ P (−u α

2

<X−μ σ

√n

<u α

2 )=1−α=γ

↔ P(X − σ

√n u α

2

<μ< X + σ

√n u α2)=1−α=γ

σ ≈ s ' .

U α Tối

thiểu

(phải )

 Với độ tin cậy …%, và

khoảng tin cậy phải ta xác

định được phân vị chuẩn U α

, sao cho:

P(U <u α)=1−α=γ

σ

√n

<u α)=1−α=γ

√n u α<μ)=1−α=γ

 Với độ tin cậy …%, và khoảng tin cậy phải ta xác định được phân vị

t(α n−1), sao cho:

P(T <t(α n−1))=1−α=γ

↔ P

(X−μ S '

√n

<t α(n−1)

)=1−α=γ

 Với độ tin cậy …%, và khoảng tin cậy phải ta xác định được phân vị chuẩn U α , sao cho:

P(U <u α)=1−α=γ

σ

√n

<u α)=1−α=γ

√n u α<μ)=1−α=γ

↔ P(X − S

'

√n t α

(n−1)

<μ)=1−α=γ

Tối

đa

(trái )

 Với độ tin cậy …%, và

khoảng tin cậy trái ta xác

định được phân vị chuẩn U α

, sao cho:

P(−u α<U )=1−α=γ

↔ P (−u α<X−μ

σ

√n

)=1−α=γ

↔ P (μ<X + σ

√n u α)=1−α=γ

 Với độ tin cậy …%, và khoảng tin cậy trái ta xác định được phân vị

t(α n−1)

, sao cho:

P(−t α(n−1)

<T )=1−α=γ

↔ P (−t α(n−1)

<X−μ

S '

√n

)=1−α=γ

↔ P (μ<X + S

'

√n t α

(n−1)

)=1−α=γ

 Với độ tin cậy …%, và khoảng tin cậy trái ta xác định được phân

vị chuẩn U α , sao cho:

P(−u α<U )=1−α=γ

↔ P (−u α<X−μ

σ

√n

)=1−α=γ

↔ P (μ< X + σ

√n u α)=1−α=γ

o Trên mẫu cụ thể, ta có:

U α

2

=U

2

=U =¿… U α=U =¿… t α2

(n−1)

=¿…

t(α n−1)

=¿…

o Khi đó: (thay số)…

 Kết luận: Với độ tin cậy là …%, ta có thể nói rằng…trung bình của…là

4 ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ( ước lượng tham số p trong phân phối

A(p) ):

f = n A n

o Gọi f là tỷ lệ…mẫu

p là tỷ lệ…đám đông.

o Vì N = 100 khá lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn:f ≃ N(p ; pq

n ).

o Xây dựng thống kê: U =

f – p

√pq n

≃ N (0,1)

o Ta tìm được phân vị chuẩn U α

2 /U α, sao cho:

U α

2

U α

P(|U|<u α

2

o Thay biểu thức của U vào công thức trên, ta có:

U α

2

U α

Tối thiểu(phải) Tối đa(trái)

P( |U|<u α

↔ P (−u α

2

<U <u α

2

↔ P (−u α

2

<f − p

√pq n

<u α

2

↔ P (−u α

2√pq n <f −p<u α

2√pq n )≃1−α=γ

↔ P (f −u α

2√pq n <p<f + u α

2√pq n )≃1−α=γ

P(U <u α)≈ 1−α=γ

↔ P ( f − p

√pq n

<u α)≈ 1−α=γ

↔ P (f − p<√pq n u α)≈ 1−α=γ

↔ P (p >f −√pq n u α)≈ 1−α=γ

P(−u α<U)≈ 1−α=γ

↔ P (−u α<f −p

√pq n

↔ P (−√pq n u α<f −p)≈ 1−α=γ

↔ P (p <f +√pq n u α)≈ 1−α=γ

o Trên mẫu cụ thể, ta có:

U α

2

=U

2

α=U =¿…

o Vì n lớn, nên: p ≈ f =¿…; q ≈ 1−f =¿…

o Khi đó:(thay số)

 Kết luận: Với độ tin cậy là …%, ta có thể nói rằng tỷ lệ …

CHUẨN( ước lượng Var ( X)=σ2):

o Gọi X là…

o Vì X N (μ , σ2

) nên

X2

=(n−1) S '2

2(n−1)

o Tatìm được phân vị X1−α

2

2 (n−1 )

và X α

2

2 (n−1 )

/X 2 (n−1 ) α /X 1−α 2 (n−1 ), sao cho:

X

1−α2

2 (n−1 )

và X α

2

2 (n−1 )

Tối thiểu(phải): X 2 (n−1 ) α Tối đa(trái): X 1−α 2 (n−1 )

P( X

1−α 2

2(n−1)

<X2<X α

2

2 (n−1 )

)=1−α=γ P( X2

<X α 2(n−1))=1−α=γ P¿X 1−α 2 (n−1 )<X2¿=1−α=γ

o Thay biểu thức của X2 vào công thức trên, ta có:

X

1−α2

2 (n−1 )

và X α

2

2 (n−1 )

Tối thiểu(phải): X 2 (n−1 ) α Tối đa(trái): X 1−α 2 (n−1 )

P(X

1−α2

2 (n−1)

<X2

<X α

2

2 (n−1 )

)=1−α =γ

↔ P

((n−1)S ' 2

X α

2

2(n−1) <σ2

<(n−1)S '2 X

1− α

2

2 (n−1) )=1−α=γ

P(X2

<X α2 (n−1)

)=1−α=γ

↔ P((n−1)S ' 2

X α 2(n−1) <σ2)=1−α=γ

P( X 1−α 2(n−1)<X2)=1−α=γ

↔ P(σ2

<(n−1)S ' 2

X 1−α 2(n−1) )=1−α=γ

o Trên mẫu cụ thể, ta có:

X

1−α 2

2 (n−1 )

=¿…

X α

2

2 (n−1 )

=¿…

X 2 (n−1 ) α =¿…

X 1−α 2 (n−1 )=¿…

o Khi đó:(thay số)

 Kết luận: Với độ tin cậy là …%, ta có thể nói rằng phương sai …

1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA

ĐLNN:

o Gọi X là…

X là…trung bình…trên mẫu

μ là…trung bình…trên đám đông.

o Vì X N (μ , σ2

) nên X N ( μ , σ2

n)

o Với mức ý nghĩa α=¿…bài toán cần kiểm định: {H0: μ=μ0

H1: .

o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

σ

√n

 Nếu H0 đúng thì U N (0,1).

o Xác định phân vị u α

2

/u α, sao cho:

o Vì α=¿… khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

μ=μ0

2 )=α W α={u tn:|u tn|>u α

2}

o Từ mẫu cụ thể, ta có:

U α

2

=U

2

=U =¿… U α=U =¿…

o Khi đó:

u tn=X −μ0

σ

√n

 So sánh u tn và U α

2

∕ U α.

 Đưa ra kết luận u tn ∈

∉ W α

bác bỏ H0, chấp nhận H1 chưa có cơ sở bác bỏ H0

 Kết luận: Với mức ý nghĩa α=¿…, ta có thể nói rằng…

o Gọi X là…

X là…trung bình…trên mẫu

μ là…trung bình…trên đám đông.

o Với mức ý nghĩa α=¿…bài toán cần kiểm định: {H0: μ=μ0

H1: .

o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

T = X−μ0

S '

√n

 Nếu H0 đúng thì T T (n−1).

o Xác định phân vị t α

2

(n−1)

/t α(n−1)

, sao cho:

o Vì α=¿… khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

μ=μ0

μ ≠ μ0 P(|T|>t α

2

(n−1)

)=α W α={t tn:|t tn|>t α

2

(n−1 )

}

μ>μ0 P(T >t α(n−1)

)=α W α={t tn :t tn>t α(n−1)}

)=α W α={t tn :t tn←t α(n−1)}

o Từ mẫu cụ thể, ta có:

t α

2

(n−1)

=¿…

t(α n−1)

=¿…

o Khi đó:

t tn=X−μ0

S '

√n

 So sánh t tn và t α

2

(n−1)

/t α(n−1).

 Đưa ra kết luận t tn ∈

∉ W α

bác bỏ H0,chấp nhận H1 chưacó cơ sở bác bỏ H0

 Kết luận: Với mức ý nghĩa α=¿…, ta có thể nói rằng…

KÍCH THƯỚC MẪU n>30:

o Gọi X là…

X là…trung bình…trên mẫu

μ là…trung bình…trên đám đông.

o Với mức ý nghĩa α=¿…bài toán cần kiểm định: {H0: μ=μ0

H1: .

o Vì n= >30, nên X ≃ N (μ , σ2

n ).

o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

σ

√n

 Nếu H0 đúng thì U ≃ N (0,1).

o Xác định phân vị u α

2 /u α, sao cho:

o Vì α=¿… khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

H0 H1 P(G ∈W α/H0)=α Miền bác bỏ W α

μ=μ0

2

)=α W α={u tn:|u tn|>u α

2}

o Trên mẫu cụ thể, ta có:

U α

2

=U

2

=U =¿… U α=U =¿… Lấy σ ≈ s ' nếu chưa biết σ

o Khi đó:

u tn=X −μ0

σ

√n

 So sánh u tn và U α

2

∕ U α .

 Đưa ra kết luận u tn ∈

∉ W α

bác bỏ H0, chấp nhận H1 chưa có cơ sở bác bỏ H0

 Kết luận: Với mức ý nghĩa α=¿…, ta có thể nói rằng…

2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ CỦA ĐÁM

o Gọi f là tỷ lệ…mẫu

p là tỷ lệ…đám đông.

o Vì n khá lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn:f ≃ N(p ; pq

n ).

o Với mức ý nghĩa α=¿…bài toán cần kiểm định: {H0: p= p0

H1:

o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

U = f – p0

√p0q0

n

Trong đó: q0=1− p0

 Nếu H0 đúng thì U ≃ N (0,1).

o Xác định phân vị u α

2 /u α, sao cho:

o Vì α=¿… khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

H0 H1 P(G ∈W α/H0)=α Miền bác bỏ W α p= p0

2 )=α W α={u tn:|u tn|>u α

2}

o Từ mẫu cụ thể, ta có:

U α

2

=U

2

=U =¿… U α=U =¿… f = n A

n

o Khi đó:

u tn= f – p0

√p0q0

n

 So sánh u tn và U α

2

∕ U α.

 Đưa ra kết luận u tn ∈

∉ W α

bác bỏ H0, chấp nhận H1 chưa có cơ sở bác bỏ H0

 Kết luận: Với mức ý nghĩa α=¿…, ta có thể nói rằng tỉ lệ…

ĐLNN PHÂN PHỐI CHUẨN (kiểm định σ2 của ĐLNN) :

o Gọi X là…

o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

X2=(n−1) S '2

σ02

Vì X N (μ , σ2

)thì X2 X 2 (n−1)

o Khi đó, ta tìm được phân vị X1−α

2

2 (n−1 )

và X α

2

2 (n−1 )

/X 2 (n−1 ) α /X 1−α 2 (n−1 ), sao cho:

o Vì α=¿… khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

σ2

=σ02

σ2≠ σ02 P[(X2<X

1−α2

2(n−1)

)+(X2>X α

2

2(n−1)

)]=α W α={x tn2: x tn2

<x

1−α2

2(n−1) hoặc x tn2

>x α

2

2 (n−1 )

}

σ2>σ02 P( X2>X α 2(n−1))=α W α={x tn2: x tn2>x α 2(n−1)}

σ2<σ02 P( X2<X 1−α 2(n−1))=α W α={x tn2: x tn2

<x 1−α 2(n−1)

}