Thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.. Hình vẽ sai không chấm bài hình.[r]
Trang 1UBND HUYỆN NINH GIANG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Năm học 2012 - 2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 90 phút không kể giao đề.Ngày thi : 04 – 04 - 2013
Câu 1 ( 2,0 điểm )
Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đẳng thức : 2(y+z) = x(yz -1)
Câu 2 ( 2,5 điểm ) Giải các phương trình sau :
a) x
2
−4 x+1
x +1 +2=−
x2− 5 x+1
x x x x
Câu 3 ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức :
1
1 1
1
2 2
4
2
x x
x
x
4 4
1
1
x
x x
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Câu 4 ( 2,5 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC Kẻ MH vuông AC, gọi F là trung điểm MH Chứng minh : AF BH
Câu 5 ( 1,5 điểm ) Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1
Chứng minh rằng : a3 + b3 + ab 2
1
-Hết -Chữ ký giám thị 1 : -Hết -Chữ ký giám thị 2 :
Họ tên thí sinh : Số báo danh :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI KHẢO SÁT HSG MÔN TOÁN 8
Năm học 2012 - 2013
1
2,0đ Theo đề : 2(y+z) = x(yz-1) nên 2 (y+z) (yz -1)
=> yz - 1 2(y+z) vì y,z nguyên dương
=> 2(y+z) - yz + 1 0
Đặt M = 2(y+z) - yz + 1 0
Do y,z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử
y z
M = 2(y+z) - yz + 1 = 5 - ( y-2)(z-2) 0
Rõ ràng với y 5 thì M < 0
* Nếu y = 4 thì 5 - 2(z-2) 0 => z 4 => z = 4 => x lẻ => loại
* Nếu y = 3 thì 5 - z + 2 0 => z 7
Ta có bảng :
* Nếu
y =
2 thì
z
* Nếu y = 1 thì
z
Vậy (x;y;z) = {(1;3;7) ; (1;7;3); (2;2;3) ; (2;3;2) ; (4;1;2); (4;2;1);
( 2;1;4) ; (2;4;1)}
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
2
1
;
1
x
1 5 1
1
1
2
x
x x x
x x
0 1 2
2 3 1
2
2
x
x x x
x x
2
2
=> x =1 ; x = 2 ; x =
2 3
Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S =
3
2
; 2
; 1
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Trang 3b) 2 2
x x x x (*)
Đặt t = x2 + 4
(*)
( 2 )(5 9 ) 0
t x t x
t = 2x => x2 + 4 = 2x => PT vô nghiệm
5t + 9x = 0 => 5x2 + 20 + 9x = 0 => PT vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3
1,5đ
2 2
2 1
x
M
x
b) Biến đổi : M = 1 - 2
3 1
x M nhỏ nhất khi 2
3 1
x lớn nhất x2+1 nhỏ nhất => x2 = 0 x = 0 Vậy M nhỏ nhất = -2 khi x = 0 0,75đ
4
Dễ có ΔAHM ΔMHC # ( g-g)
BC
2
Lại có : AMF=BCH ( cùng phụ MAC ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔAFM ΔBHC # ( c-g-c)
0,5đ 0,5đ
0,5đ
=> MAF=CBH ( góc tương ứng )
Gọi E là giao điểm của AM và BH Do tam giác ABC cân tại A và
M là trung điểm BC nên AM vuông góc BC tại M
Ta có : MAF+AEH=BEM+EBM=90 0
Vậy AF BH
0,25đ 0,5đ
Trang 41,5đ
Ta có : a3 + b3 + ab 2
1
<=> a3 + b3 + ab - 2
1
0 <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 2
1
0 <=> a2 + b2 - 2
1
0 Vì a + b = 1 <=> 2a2 + 2b2 - 1 0
<=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a2 - 4a + 1 0
<=> ( 2a - 1 )2 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab 2
1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2
1
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
Hình vẽ sai không chấm bài hình.
Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.