Tom tat Cong thuc toa do trong mat phang

Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo thành một chùm đường thẳng có tâm I... Góc giữa hai đường thẳng.[r]

 HỆ TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ CỦA VÉC-TƠ VÀ CỦA ĐIỂM

1 Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x Ox ' và y Oy ' vuông góc với

nhau tạo nên hệ tọa độ Đềcac Oxy O là gốc tọa độ, x Ox ' là

trục hoành và y Oy ' là trục tung: Trong đó  i   1; 0 

và

 0;1 

j 



là các véc-tơ đơn vị trên các trục Ta có i j 1

và

i j 

 

u x y uxi

OM x y M x y



x là hoành độ, y là tung độ của điểm

4 Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxycho A x A;y A, B x B;y B

và các véc-tơ aa a1; 2



, bb b1; 2



Ta có:

a) a b      a1 b a1; 2 b2

b) k aka ka1; 2



(k là số thực) c) Tích vô hướng: ab a b1 1a b2 2

Hệ quả:

 

2 2

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1

a b a b

c a b

a b a b a b





 

2 2

a b

a b

a b









e) ,a b 

cùng phương

1 2

1 2

1 2

1 2 2 1

1 2

:

0

b b

k b k a

a a

a a

a b a b

b b















f) Tọa độ của véc-tơ: ABx Bx A;y By A

AB AB  x x  y y

h) Điểm M chia AB theo tỉ số k k 1 MAk MB

Khi đó

5 Kiến thức về tam giác: Cho A x A;y A ,B x B;y B,C x C;y C a) Trọng tâm tam giác (giao các đường trung tuyến)

b) Trực tâm tam giác (giao các đường cao)

   

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (giao các đường trung trực)

 ; 

I a b là tâm của ABC AIBI CIR (bán kính của

ABC ) Giải hệ 

AI BI

BI CI











Tọa độ của I

d) Tâm đường tròn nội tiếp  ABC (giao các phân giác trong) Tâm K của đường tròn nội tiếp  ABC tìm được khi thực hiện 2 lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k:

e) Diện tích tam giác:

4

abc

R

1 2 2 1

1 2

det AB AC, a a a b a b

b b

 

,

và ABa a1; 2

 1; 2

AC b b



 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

1 Định nghĩa: Cho các véc-tơ u

và n khác véc-tơ 0

u

 

là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng (d) khi u

nằm trên một đường thẳng song song hoặc trùng với (d)

Mọi véc-tơ chỉ phương của (d) đều có dạng ku k 0

n





là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) khi n

 nằm trên một đường thẳng vuông góc với (d)

Mọi véc-tơ pháp tuyến của (d) đều có dạng k n k 0

 Một đường thẳng (d) hoàn toàn xác định khi biết M0 d và

một véc-tơ chỉ phương u

hoặc một véc-tơ pháp tuyến n

của (d)

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a Định nghĩa: Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng:

0

0

A B  Chú ý: (d) có véc-tơ pháp tuyến nA B; 

và có véc-tơ chỉ phương uB;A

hoặc u  B A; 

b Kết quả: Phương trình đường thẳng (d) đi qua M0x y0; 0 và có véc-tơ pháp tuyến nA B; 

là:

0

A B 

3 Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng

a Phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua M0x y0; 0 và có véc-tơ chỉ phương ua b; 

là:

0

0

x x at

y y bt







0,

a b  t

b Phương trình chính tắc: Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua M0x y0; 0 và có véc-tơ chỉ phương ua b;  là: x x0 y y0

0

a b 

4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng, chùm đường thẳng

a Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng:

1 : 1 1 1 0 1 1 1 0

d A xB y C  A B 

2 : 2 2 2 0 2 2 2 0

d A xB yC  A B 

0 0

A x B y C

A x B y C







ta có kết quả sau:

 Hệ có nghiệm duy nhất  d1 và  d2 cắt nhau

 Hệ vô nghiệm  d1 / / d 2

 Hệ vô số nghiệm  d1  d2

b Chùm đường thẳng Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo thành một chùm đường thẳng có tâm I Nếu

 d1 :A x1 B y1 C10 và  d2 :A x2 B y C2  2 0

2 Tọa độ của véc-tơ:

3 Tọa độ của điểm:

A

K

D

AC

DC   



BC theo tỉ số k  tọa độ D 1

BD

KD  



BC theo tỉ số k  tọa độ K 2

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

cắt nhau tại I, thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là:

m A xB yC n A xB yC  với 2 2

0

m n 

5 Góc giữa hai đường thẳng Cho 2 đường thẳng

 d1 :A x1 B y1 C10 và  d2 :A x2 B y C2  2 Gọi 0

  là góc giữa  d1 và  d2 thì

1 2 1 2

Hệ quả:    d1  d2 A A1 2B B1 20

6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

a Công thức: Khoảng cách từM x y 0; 0 đến d :AxBy C 0

Ax By C M



b Hệ quả: Nếu d1 :A x1 B y C1  10và d2 :A x2 B y C2  2  0

cắt nhau tại I, thì phương trình các phân giác tạo bởi  d1 và

A x B y C A x B y C

 

 ĐƯỜNG TRÒN

1 Phương trình đường tròn

a Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có

x a  y b R

b Phương trình đường tròn (C) tâm O bán kính R có

x y R

0

A B C

là phương trình của một đường tròn (C) tâm IA;B và bán

R A B C

2 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

F x y x y  Ax ByC Phương tích của

một điểm M x y 0; 0 đối với (C) là:

P M C F x y x y  Ax  By C

3 Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:

a Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn

khác tâm  C và 1  C2 là một đường thẳng (d) vuông góc với

đường thẳng nối hai tâm I và 1 I của 2  C và 1  C2 và gọi là trục

đẳng phương  C và 1  C2

C F x y x y  A x B yC 

C F x y x y  A x B y C  khác tâm,

phương trình trục đẳng phương của  C và 1  C2 là:

F x y F x y  AA x BB yC C 

4 Tiếp tuyến của một đường tròn:

F x y  xa  y b R  và điểm

 0; 0

M x y , để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M, ta tìm phương tích của M đối với (C):

- Nếu P M/ C 0 thì M nằm trong (C) và qua M không kẻ được tiếp tuyến đến (C)

- Nếu P M/ C 0 thì M nằm trên (C) và qua M kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C) Tiếp tuyến này qua M và có véc-tơ pháp tuyến

IM  x a y b



- Nếu P M/ C 0 thì M nằm ngoài (C) và qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) Cách viết tiếp tuyến như sau:

+ Gọi (d) là đường thẳng qua M và có véc-tơ pháp tuyến

n A B  d A xx B yy 

0

A B 

+ (d) tiếp xúc với (C)

2 2

Aa Bb C

R

A B



Với

C  Ax By , bình phương hai vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này, thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M

 ELIP

1 Định nghĩa: Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho

MF MF  a (2a không đổi và ac ) là một đường elip 0

1, 2

F F

 cố định là hai tiêu điểm và F F1 22clà tiêu cự của elip

1, 2

MF MF

2 Phương trình chính tắc của elip:

2 2

2 2 1

x y

2 2 2

b a c

3 Tính chất và hình dạng elip

trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b

 Tiêu điểm: F1c;0 , F c2 ;0

 Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b

b a c

 Tâm sai:

2 2

1

e



 Hai đường chuẩn:

2

x

 M x y ;    E :MF12 aex và MF2aex

4 Tiếp tuyến của elip

2 2

2 2 1

x y

a b 

 Tại M0x y0; 0   E có phương trình 0 0

x x y y

a  b 

 Đi qua M x y là (d):  1; 1 A x x1B y y1 với điều 0

A a B b C

2 2

1 1

A B  C  Ax By 

 HYPEBOL

1 Định nghĩa: Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho

1 2 2

MF MF a (2a không đổi và ac ) là một đường 0 hypebol

1, 2

F F

 cố định là hai tiêu điểm và F F1 22clà tiêu cự

1, 2

MF MF

2 Phương trình chính tắc:

2 2

2  2 1

x y

2 2 2

b c a

3 Tính chất và hình dạng

trục thực là 2a và độ dài trục ảo là 2b

 Tiêu điểm: F1c; 0 , F c2 ;0

 Hai tiệm cận: y b x

a

 Hình chữ nhật cơ sở ABCD có kích thước 2a và 2b với

2 2 2

b c a

 Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn) Oy (chứa trục bé)

Tâm đối xứng O

 Đỉnh A1a; 0 , A a2 ; 0 ,

1 0; , 2 0;

Tài liệu dùng cho học sinh lớp 10 ban Nâng cao

GV: Nguyễn Bá Đại

 Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O

 Đỉnh A1a; 0 , A a2 ; 0 ,

1 0; , 2 0;