bai toan ve day so

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau: Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng[r]

BÀI TOÁN VỀ TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU

BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT CÁCH ĐỀU

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn họcsinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của

dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Trong quá trình BDHSG ta thấy các dạng bài liên quan đến bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều rất đa dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải vận dụng một cách linh hoạt 2 bước giải trên Sau đây tôi xin giới thiệu một vài ví dụ chothấy sự vận dụng kiến thức cơ bản của dạng toán một cách linh hoạt trong từng bài toán cụ thể

Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 2014

Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên Bài giải

Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên ?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là:

Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số:4028

Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là:

Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.

Đáp số: 98200

Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên

tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915 Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?

Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915 Từ bước 1 và 2 học sinh

sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.

Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ; 2014

a, Tính tổng của dãy số trên ?

Bài 5:Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 + biết tổng trên có 100 số hạng ?

Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000 Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào ?

Các bạn ạ ! Theo tôi trong quá trình dạy học chúng ta không nên cho học sinh một con đường mòn duy nhất mà hãy cho các em một định hướng về con đường đó

để các em có thể tự hình thành và tìm cho mình con đường đi đúng và phù hợp nhất Hãy giúp các em lấy cái bất biến để ứng cái vạn biến Đó là điều mà chúng ta nên làmtrong quá trình dạy học Mong các đ/c đồng nghiệp thường xuyên trao đổi kinh

nghiệm dạy học của mình trên diễn đàn này để chúng ta có nhiều cơ hội giao lưu, họchỏi lẫn nhau nhiều hơn và ngày một tiến bộ hơn về trình độ cũng như năng lực

BDHSG

Dạng 1 QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ:

* Kiến thức cần lưu ý (cách giải):

Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số

Những quy luật thường gặp là:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với

số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;

Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của

số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy

Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau

Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của

số hạng trong dãy rồi cộng với 1.

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là

Theo điều kiện của đầu bài ta có:

496 + ô7 + ô 8 = 1996

ô7 + ô8 + ô9 = 1996

Vậy ô9 = 496 Từ đó ta tính được

ô8 = ô5 = ô2 = 1996 – (496 + 996) = 504;

ô7 = ô4 = ô1 = 996 và ô3 = ô6 = 496

Điền vào ta được dãy số:

Dạng 2 Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không:

Cách giải:

- Xác định quy luật của dãy

- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không

Bài tập:

Em hãy cho biết:

a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, hay không?

b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11, hay không?

c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, ?

Giải thích tại sao?

Giải:

a, Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì

- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50;

- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5

b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho, Vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2

mà 1996: 3 thì dư 1

c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24, , vì

- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2 Chonên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666:

2 = 333 là số lẻ

- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3

- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ

b, Cho 9 số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 Hãy điền mỗi số vào 1 ô tròn sao cho tổng của

3 số ở 3 ô thẳng hàng nhau đều chia hết cho 5 Hãy giải thích cách làm

c, Hãy điền số vào các ô tròn sao cho tổng của 3 ô liên tiếp đều bằng nhau Giải thích cách làm.?

Số số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1

- Nếu quy luật của dãy là: số đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi thì:

Số các số hạng của dãy = (Số cuối – số đầu): K/c + 1

Bài tập vận dụng:

Bài 1:

Viết các số lẻ liên tiếp từ 211 Số cuối cùng là 971 Hỏi viết được bao nhiêu số?Giải:

Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị

Số cuối hơn số đầu số đơn vị là:

Đáp số:381 số hạng

Bài 2:

Cho dãy số 11, 14, 17, , 68

a, Hãy xác định dãy trên có bao nhiêu số hạng?

b, Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1 996 là số mấy?Giải:

từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4

Vậy các số có 3 chữ số chia hết cho 4 là:

Bài 2: Viết 80 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 72 Số cuối cùng là số nào?

Bài 3: Có bao nhiêu số:

a, Có 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? dư 2?

b, Có 4 chữ số chia hết cho 3?

c, Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4?

Bài 4: Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7, để đánh số dãy thứ nhất và các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8, đểđánh số dãy thứ hai Hỏi nhà cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số dãy này người ta đã dùng 769 chữ cả thảy?

Bài 5: Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8, Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm

Bài 6: Tìm tổng của:

a, Các số có hai chữ số chia hết cho 3;

b, Các số có hai chữ số chia cho 4 dư 1;

a, Cuối dãy: n = Số đầu + khoảng cách x (n – 1)

b, Đầu dãy: n = Số cuối – khoảng cách x (n – 1)

-* BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Viết các số chẵn bắt đầu từ 2 Số cuối cùng là 938 Dãy số có bao nhiêu số?Bài 2: Tính:

Bài 6: Viết 80 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 72 Hỏi số cuối cùng là số nào?

Bài 7: Cho dãy số gồm 25 số hạng:

+ Tìm xem trong dãy số có bao nhiêu số số hạng

+ Trong số các số đó có bao nhiêu số có 1, 2, 3, 4, chữ số

Chia cho 5 không dư là chữ cái U

Chia cho 5 dư 1 là chữ cái A

Chia cho 5 dư 2 là chữ cái N

Chia cho 5 dư 3 là chữ cái L

Chia cho 5 dư 4 là chữ cái Ư

Mà: 1998: 5 = 339 (nhóm) dư 3

Vậy chữ cái thứ 1998 là chữ cái L của nhóm thứ 400

Bài 2:

Một người viết liên tiếp nhóm chữ Tổ quốc Việt Nam thành dãy

Tổ quốc việt nam Tổ quốc việt nam

a, Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì?

b, Người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ Ô? bao nhiêu chữ I

c, Bạn An đếm được trong dãy có 1995 chữ Ô Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Giải

b, Mỗi nhóm chữ TỔ QUỐC VIỆT NAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ Ô và 1 chữ I.

vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó cũng phải có 50 chữ

Ô và có 25 chữ I

c, Bạn đó đã đếm sai, vì số chữ Ô trong dãy phải là số chẵn

d, Ta nhận xét: các màu Xanh, đỏ, tím, vàng gồm có 4 màu

Bài 1: Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ số

Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 60 Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến

a, Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?

b, Nếu người ta đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được chữ A?

c, Một người đếm được trong dãy có 1996 chữ C Hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Bài 5:

a, Có bao nhiêu số chẵn có4 chữ số?

b, Có bao nhiêu số có 3 chữ số đều lẻ?

c, Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau?

Bài 6: cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5, , 1999

Hỏi dãy số có bao nhiêu chữ số?

Bài 7: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5, , x

Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số

Bài 8: Cho dãy số chẵn liên tiếp:

2, 4, 6, 8, 10, , 2468

a, Hỏi dãy có bao nhiêu chữ số?

b, Tìm chữ số thứ 2000 của dãy đó

Bài 9: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3; ; 108,9; 110,0

a, Dãy số này có bao nhiêu số hạng?

b, Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào?

Bài 10: Cho dãy 3, 18, 48, 93, 153,

Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5

a) Có thể lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số chia hết cho 5?

b) Tính tổng các số vừa lập được

Giải

a).Để chia hết cho 5 thì hàng đơn vị phải là 5

Nhóm 3: Chữ số 2 đứng ở hàng nghìn ( có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ): Lập được 6 số

Nhóm 4: Chữ số 1 đứng ở hàng nghìn (có 4 cách chọn chữ số hàng trăm ): Lập được 10 số

Vậy lập được: 1 + 3 + 6 + 10 = 20 số.

Từ trên ta sẽ thấy " bước nhảy" các khoảng cách khi lập số là: 2; 3; 4 nếu bài toán yêu cầu tìm Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 5 thử nghĩ xem là bao nhiêu số?

Như vậy có 3 x 1000 = 3000 (chữ số) mà 10 chữ số (0; 1; …;8 ; 9)đều xuất hiện như nhau.

Với nhóm (4+0+0+0) và (1+1+1+1) mỗi nhóm viết được 1 số

Với nhóm (2+2+0+0) viết được 3 số

Với nhóm (3+1+0+0) viết được 6 số

Với nhóm (2+1+1+0) viết được 9 số

Tổng số các số viết được là : 1 x 2 + 3 + 6 + 9= 20 (số)

Nguyễn Xuân Trường

Hãy cho biết trong các số có 3 chữ số, có tất cả bao nhiêu chữ số 5?

Cao Nguyên Phương

Để đánh số trang của một quyển sách người ta cần dùng 143 chữ số Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang?

Hoàng Thanh Sơn

Nguyễn Thị Kim Tiền

Số tự nhiên có 3 chữ số nhỏ nhất là hàng trăm nhỏ nhất, chúng khác nhau là tỉ số khác 1

Hàng trăm là 1 Tỉ số ½ là tỉ số để có số hàng chục nhỏ nhất

Hàng chục là 1x2=2 và hàng đơn vị là 2x2=4

Số đó là: 124

Bài 16:

Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa 2 chữ số của

số đó ta được số mới bằng 7 lần số phải tìm

Nguyễn Hoài NamXem số cần tìm là ab Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa ta được:

Như vậy bớt 1 thì sẽ chia hết cho 2 cho 3 và cho 5

Số chia hết cho 2 và cho 5 thì tận cùng bằng 0 Ta được: a090

Để số này nhỏ nhất chia hết cho 3 thì a=3 Ta được số chia hết cho 2; 3 và 5 là

3090

Số cần tìm là: 3091

Bài 18:

Tìm số a và b để số a45b là số có 4 chữ số lớn nhất mà khi chia cho 2;3 và 5 đều dư 1?

Tương tự bài 1 để chia hết cho 2 và 5 thì ta được: a450

Và để số này lớn nhất chia hết cho 3 thì a=9 Số lớn nhất chia hết cho 2; 3; 5 là 9450

Tổng của bốn số tự nhiên là 2235 Nếu xóa chữ số hàng đơn vị của số thứ nhất

ta được số thứ hai, xóa chữ số hàng đơn vị của số thứ hai ta được số thứ ba, xóa chữ

số hàng đơn vị của số thứ ba ta được số thứ tư Tìm số thứ nhất

Bài 21:

Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0 Tính tổng tất cả các số có 4 chữ số khác nhaulập được từ 4 chữ số đó, biết tổng của số lớn nhất và số bé nhất trong các số lập được bằng 9889

Lê Quốc Bảo

Gọi 4 chữ số đó lần lượt từ lớn đến nhỏ là a ; b ; c ; d

Từ 4 chữ số này ta sẽ viết được 24 số mỗi số có 4 chữ số từ các chữ số đã nêu

Theo đó mỗi chữ số a ; b ; c ; d sẽ xuất hiện ở mỗi hàng nghìn, trăm, chục và đv 6 lầnHay ta có tổng là :

Bài 24: Tìm số chia hết cho 5

Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5

Toán Tiểu Học Pl

Số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5

*.Tận cùng là 0:

Ta có 9 lựa chọn hàng trăm, 8 lựa chọn hàng chục.

b).Ở hàng đơn vị có 24 số 5 Ở các hàng nghìn, trăm, chục được chia đều cho 4 chữ

số 1,2,3,4 Mỗi số xuất hiện 6 lần:

Theo đề bài cho ta biết số thứ nhất có 4 chữ số

Gọi số thứ nhất là abcd, số thứ hai là abc, số thứ ba là ab, số thứ tư là a (a khác 0)

Nong Thanh Phu

Khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải một số tự nhiên ta được số mới gấp 10 lần số củ

Nong Thanh Phu

Xóa chữ số 8 ở hàng đơn vị thì số đó giảm đi 8 đơn vị và giảm 10 lần phần còn lại

Do đã trừ đi 1 phần còn lại nên 1/9 còn lại là: (1808 – 8) : 9 = 200

Số cần tìm là: 2008

Bài 29:

Hãy tìm một số có 9 chữ số chia hết cho 9 mà khi xóa chữ số hàng đơn vị thì số

đó chia hết cho 8, xóa chữ số hàng chục thì được số chia hết cho 7, cứ như thế xóa khi nào đến lúc còn 2 chữ số thì chia hết cho 2

Hứa Xuân Thành

Tính ngược từ số có 2 chữ số chia hết cho 2 để tính dần các số có 3 chữ số chia hết cho 3,…

Ta xem số có 2 chữ số chia hết cho 2 là 10 (số nhỏ nhất chia hết cho 2).

Số có 3 chữ số chia hết cho 3 là: 102 (tổng các chữ số chia hết cho 3)

Số có 4 chữ số chia hết cho 4 là: 1024 (2 chữ số tận cùng chia hết cho 4)

Số có 5 chữ số chia hết cho 5 là: 10240 (tận cùng là 0 hoặc 5)

Số có 6 chữ số chia hết cho 6 là: 102402 (số chẵn chia hết cho 3)

Số có 7 chữ số chia hết cho 7 là: 1024023 (thử chọn)

Số có 8 chữ số chia hết cho 8 là: 10240232 (4 chữ số tận cùng chia hết cho 8)

Số có 9 chữ số chia hết cho 9 là: 102402324 (tổng các chữ số chia hết cho 9)

6.Có tất cả số có 2 chữ số: 99 - 10 + 1 = 90 (số)

7.Số chẵn lớn nhất có 4 chữ số đôi một khác nhau: 9988

8.Số lẻ lớn nhất có 4 chữ số đôi một khác nhau: 9977

Toán Tiểu Học Pl

Bài 32: HSG toàn quốc 93-94

Tuất đố Giáp: Tại sao từ số có 3 chữ sỗ abc nếu ta lập tất cả các số có 2 chữ số khác nhau Cộng tất cả các số lập được như vậy, rồi chia cho 22 thì được thương bằng tổng các chữ số của số ban đầu

Em hãy giải câu đố của Tuất

2-.Có 4 cách chọn hàng trăm; 4 cách chọn hàng chục và 4 cách chọn hàng đơn vị.Vậy có: 4x4x4=64 (số) có 3 chữ số được lập từ các số 1, 3, 6 và 8

(Bài 3 tương tựbài 5, có 48 số).

Bài 34: Nguyễn Thị Kim Tiền

1.Hãy cho biết có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 2012

2.Hãy cho biết có bao nhiêu số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 2012

3.Hãy cho biết có bao nhiêu số số chẵn có 4 chữ số nhỏ hơn 2012?

Nguyễn Thị Kim Tiền

Các số tự nhiên liên tiếp từ bé đến lớn: 0, 1, 2, 3, ……

Trong các số trên, chỉ có hai số 135 chia cho 9 có hàng đơn vị của thương là 5 và

630 chia cho 9 có hàng đơn vị của thương là 0 (có chữ số tận cùng giống nhau “đon vị”).

5xa + 15 = 4xb (chia 2 vế cho 2)

b không thể bằng 0 vậy b=5 (tổng 5a+15 chia hết cho 5)

Suy ra a=1

Số đó là: 15

Bài 37: