Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC... UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.[r]
Trang 1UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Cho
x y z
2 3 4 Tìm giá trị của biểu thức :
y + z - x M=
x - y + z
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : f(x) = - x2 5x + 3
Bài 2: (6,0 điểm).
a) Tìm x, biết rằng:
+ : =
b) Rút gọn biểu thức sau đây:
1 x 1 + x
+
1 x + x 1 x + x
C =
1+ x 1 - x
-
1 x + x 1 - x + x
Bài 3: (2,0 điểm)
Trong một trường có ba lớp 7 Biết rằng 2/3 số học sinh lớp 7A bằng 3/4 số học sinh lớp 7B
và bằng 4/5 số học sinh lớp 7C Lớp 7 C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là
57 bạn Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G Vẽ đường trung trực HE, HF của AC và BC Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC.
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2
c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang.
-Hết -Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:……
Trang 2Chữ ký của giám thị 1:……… Chữ ký của giám thị 2:………
UBND HUYỆN LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014-2015
Khóa ngày 18/01/2015
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán lớp 8
Bài 1: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
Đặt
x y z
= k 0
x = 2k , y = 3k, z = 4k
(0,5 điểm) Khi đó:
y + z - x 3k + 4k - 2k
5k 5
M = =
b) (2,0 điểm)
2
= - (x2 – 2
5
2.x +
25 37
-
2
x - -
2
- x - +
Do
- x - 0 nên - x -
5
x =
Vậy f (x) có giá trị lớn nhất là
37
Bài 2: (6,0 điểm)
a) (3,0 điểm)
Ta có:
Trang 31 1 1 + +
11.13 13.15 19.21
= - + + +
+ +
2 11 13 13 15 19 21
2 11 21
Do đó:
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,5 điểm)
b) (3,0 điểm)
Ta có :
1 - x + x 1 x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x
( 1 điểm)
1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x 1 + x + x 1 - x + x
( 1 điểm)
Trang 42
( 1 điểm)
Bài 3: (2,0 điểm)
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z N * ) (0,25 điểm) Theo đề bài ta có:
x = y = z
x y z x + y - z 57 = = = = = 36
-
(1 điểm)
- Lớp 7A có
3
36 = 54
- Lớp 7B có
4
36 = 48
- Lớp 7C
5
36 = 45
Bài 4: (4,0 điểm)
H D
K
G I
F
E
B
A
C
Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF
Ta có HE là đường trung bình của tam giác ACI, nên:
Trang 5HE // IA và HE =
IA
Tương tự, trong tam giác CBI:
HF // IB và HF =
IB
Từ BG AC và HE AC ( gt)
Tương tự : AK BC và HF BC ( gt)
Do đó: BG = IA và AG = IB Kết hợp với các kết quả ( 1) và ( 2) (0,5 điểm)
Bài 5: (4,0 điểm).
I
F E
A
B
C D
a) Chứng minh rằng EI // CD; FI // AB
Tương tự, ta có: FI là đường trung bình của tam giác ABC (0,25 điểm)
b) Chứng minh hệ thức
AB + CD
EF
2
Ta có: EI là đường trung bình của tam giác ACD
Suy ra:
1
EI = DC
Trang 6Tương tự :
1
IF = AB
Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
1
EF AB + CD
2
(0,5 điểm)
c) Từ hệ thức trên, suy ra rằng dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình thang.
Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó
Suy ra:
AB + CD
EF =
Ngược lại: nếu ta có
AB + CD
EF =
Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD (0,25 điểm)
* Ghi chú : Thí sinh có thể giải theo cách khác Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo
qui định của từng bài