Trên đây chỉ là gợi ý chấm .Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa.[r]
Trang 1đề khảo sát học sinh giỏi
năm học 2014-2015 Môn Toán lớp 8 Thời gian: 120 phút Câu 1: (2đ)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 b) Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 ⋮ x4 + x2 + 1
Câu 2: (1.5đ)
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y + z = xyz và 1
x +
1
y +
1
z = √3
Tính giá trị của biểu thức P = 1
x2+
1
y2+
1
z2
Câu 3: (2đ) Tìm x biết
a) |3 x+2| < 5x -4 b) x +43
x +46
54 =
x +49
51 +
x+52
48
Câu 4: (2đ)
a) Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 ⋮ 9 với mọi n N*
b) Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
y +z+
y
z +x+
z
x + y
Câu 5: (2.5đ)
Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b
Vẽ các đờng phân giác BD, CE
a) Chứng minh rằng: DE // BC b) Tính DE từ đó suy ra 1
DE=
1
a+
1
b
Câu 6:
Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn x2 = y2 + 2y +13
-Hết -Hớng dẫn chấm hsg toán 8
Trang 2a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1
⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x2 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) + (x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) ⋮ x4 + x2 +
1
⇒ A ⋮ x4 + x2 + 1
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
Cau 2 :
(1.5đ)
Có ( 1
x+
1
y+
1
z¿
2
= 1
x2+
1
y2+
1
z2 + 2(
1
xy +
1
xz+
1
yz ¿
( √3 ¿2 = p + 2 z + y +x
xyz ; 3 = p+2 ( vì x +y+z=xyz)
suy ra P = 1
0.5đ 0.5đ 0.5đ
Câu 3:
(2đ) a, giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đúng đợc x> 3
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung (x+100)( 1
57+
1
54 −
1
51 −
1
48 ) = 0 ⇒ S = {−100}
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 3Câu 4:
(1.5đ) a, = n
3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+3n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) ⋮ 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) ⋮ 3 ⇒ B ⋮ 3 ⇒ A =3B =3.3K =9K ⋮ 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z = a+b+c
2
⇒ x = − a+b +c
2 ; y =
a− b+c
2 ; z=
a+b − c
2
P = − a+b +c
2 a +
a − b+c
2 b +
a+b −c
2 c =
1
2(− 1+
b
a+
c
a − 1+
a
b+
c
a
c+
b
c) =
1
2(− 3+(
b
a+
a
b)+(
c
a+
a
c)+(
b
c+
c
b))
3
2 Min P =
3
2 ( Khi và
chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Câu 5:
(2đ)
Câu 6: 1đ
a, B1 B2 ⇒ AD
DC=
BA
BC=
b
a (1)
1 2
EB CB a (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AD AE
DC EB ⇒ DE//BC
b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có
DE AD
BC AC hay
x b x
a b
; ax +bx =ab ; x =
ab
a b = DE
Suy ra
DE ab a b
x
2 1 2
1
x A
D E
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Trang 4-HS biến đổi đợc
x2 = y2 + 2y +13 ⇔ x2 = (y + 1)2 + 12
⇔ (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y N* nên
(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai
số nguyên dơng chẵn
Mà 12 = 2.6 ⇒ Chỉ xảy ra một trờng hợp
(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2 ⇒ x = 4 và y = 1
0.5đ
Trên đây chỉ là gợi ý chấm Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa