Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 600.. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN- GDTX
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Câu I (5,0 điểm)
1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3 3x22x1 (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
2 Với giá trị nào của m để hàm số 3 2
yx m x m x đạt cực tiểu tại
2
x
Câu II (4,0 điểm)
1 Tính giới hạn sau:
2 2
2 lim
5 1 3
x
x
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 9
2
x
trên đoạn 2;1
Câu III (5,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M2;0 là trung điểm của
cạnh AB Đường trung tuyến AN và đường cao AH lần lượt có phương trình là : 7x2y 3 0
và 6xy Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC 4 0
2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng 0
SCD
Câu IV (4,0 điểm)
1 Giải phương trình sau: cos 4x12sin2x 1 0
2 Giải hệ phương trình: 2 2
11
Câu V (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a b c là ba số dương bất kì thì : , ,
1
abbcac
- - - Hết - - -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 - 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN- GDTX
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang )
I Hướng dẫn chấm
1 Cho điểm lẻ đến 0,25
2 Điểm toàn bài là 20 Tổng điểm của bài là các phần cộng lại không làm tròn
3 Học viên giải bằng cách khác vẫn cho điểm tương đương như trong đáp án quy định
II Biểu điểm
0
'x 1
I
1,
(3,0đ)
Vậy phương trình tiếp tuyến của C là:
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
' 2 0 '' 2 0
y y
0,5
12 5 0
6 12 0
m m
0,5
I
2,
(2,0đ)
5 12 1
m
12
m
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Vậy với 5
12
m thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 2
2 2
2 lim
5 1 3
x
x
=
2
lim
5( 2)
x
x
1,0
2
5 1 3 lim
5
x
II
1,
(2,0đ)
= 12
5
0.5
Ta có:
2
9 ' 1
2
y
x
0,5
9
2
y
x
5 1
x x
0,5
2 17
4
II
2,
(2,0đ)
Kết luận:
2;1ax 4
tại x 1
2;1
miny 8
+/ Tọa độ A thỏa mãn :
1; 2
A
0,5
+/ Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2) 0,75
+/ Vì BC AH nên đường thẳng BC nhận véc tơ pháp tuyến của AH làm
Véc tơ chỉ phương urBC (6; 1)
véc tơ pháp tuyến của BC là : nrBC 1;6
1
III
1,
(3,0đ)
Đường thẳng BC qua điểm B3; 2 , nhận nrBC 1;6 véc tơ pháp tuyến
có phương trình tổng quát là:
x36y20 x6y 9 0
0,75
A
M(2;0)
7x-2y-3=0 6x-y-4=0
Trang 4Ta có SA(ABCD) và CDADCDSD ( đl 3 ).(1)
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA¼ = 60o
H
a
D
C B
A
S
o 60
0,5
SAD
vuông tại A nên SA = AD.tan60o = a 3 0,5
Ta dựng AH SD,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AHAH(SCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD)
0,5
III
2,
(2,0đ)
1 2 12 12 12 12 42
SAD
Vậy AH = a 3
2
0,5
2
cos 4x12sin x 1 0
2
2cos 2x 1 6 1 cos 2x 1 0
0,5
2
cos 2x 3cos 2x 2 0
os2 2
0,75
cos 2x1 2xk2 xk k ¢ 0,5
IV
1,
(2,0đ)
x + y +3(x+y) = 28
x + y + xy = 11
2
11
(I)
0,5
IV
2
(2,0đ)
S xy
Trang 5Hệ (I) có dạng :
2 2 3S 28 11
10 21 5 6
S P S P
Với S = 5 và P = 6
x,y là nghiệm của phương trình : 2
t t t = 2 và t = 3
Hệ đã cho có hai nghiệm 2
3
x y
hoặc 3
2
x y
0,5
Với S = -10 và P = 21
x,y là nghiệm của phương trình : 2
t t t = -3 và t = -7
Hệ đã cho có hai nghiệm 3
7
x y
hoặc 7
3
x y
0,5
) 1 ( 1
1
c b a
a b
a
a c b a b a c b a b a
Tương tự ta có : ( 2 )
c b a
b c
b
b
0,5
Tương tự ta có : ( 3 )
c b a
c c
a
c
0,5
V
(2,0đ)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
1
c c b
b b a
a
( đpcm)
0,5
-Hết -