ViÖc gi¶i bµi to¸n nµy kh«ng khã víi häc sinh líp 8 cßn víi häc sinh líp 7 ta thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc chứng minh b[r]
Trang 1Phần I Mở đầu
I lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tợng và lôgíc cao,đồng thời còn làmôn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn học khác của chơngtrình phổ thông Hình học là phân môn quan trọng của Toán học vừa rèn luyện khảnăng đo đạc, tính toán, suy luận lôgíc vừa phát triển t duy sáng tạo cho họcsinh.Khi nắm chắc kiến thức và học giỏi hình học nó còn có tác dụng làm cho các
em phát huy đợc tính độc lập sáng tạo,linh hoạt trong cách tìm lời giải cho các bàitoán nói chung và nó còn có ý nghĩa thực tiễn rất cao trong việc vận dụng kiến thứcvào cuộc sống sau này Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dỡng học sinhkhá, giỏi tôi rút ra đợc kinh nghiệm thực tế là: Việc bồi dỡng HSG không đơn thuầnchỉ là cung cấp cho các em các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao mà phải biết rènluyện khả năng sáng tạo, t duy trừu tợng và suy luận lôgíc – phải biến những điều
đó thành kỹ năng và cao hơn là hình thành phơng pháp giải toán, học toán, ứngdụng kiến thức toán thế nào cho hiệu quả Muốn đạt đợc những điều đó trớc hết ng-
ời thầy giáo phải nắm chắc bản chất của từng loại toán, từ đó vừa phân loại vừa liênkết đợc từng dạng với nhau đó chính là phơng pháp dạy và học toán nói chungcũng nh việc bồi dỡng học sinh giỏi toán nói riêng Trong rất nhiều những dạngtoán mà tôi đã dày công nghiên cứu, tập hợp trên hai mơi năm làm nghề dạy họcqua rất nhiều tài liệu và các kênh thông tin khác nhau từ SGK trong chơng trình đến
các loại tài liệu tham khảo, đề thi các nh : Toán về phần nguyên, Toán về diện tích, Toán về thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị…, từ việc ban đầu làtâp hợp thành những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, ph-
ơng pháp dạy và học toán nh tôi đã trinh bày ở trên
Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài mà tôi
muốn xâydựng một phơng pháp học mới để đạt đợc những yêu cầu sau đây:
- Sử dụng thành thạo kẻ đờng phụ trong bài toán có yếu tố trung điểm
- Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy…
- Biết đợc yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựnghình, quĩ tích, cực trị…
- Vận dụng đợc nhiều kiến thức khi giải một bài toán đó là cách hay nhất để ôn
cũ biết mới và hình thành kỹ năng t duy cho học sinh
II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Thuận lợi : Trong những năm gần đây chất lợng giáo dục đợc nâng lên rõ rệt, các
nhà trờng chú trọng vào việc đổi mới phơng pháp dạy và học đặc biệt quan tâm hơn
đến học sinh nhất là coi trọng năng lực tự học của các em
Trang 2Môn Toán là môn học mà học sinh rất thích, có nhiều em học rất giỏi đó chính
là lợi thế rất lớn để giáo viên có thể tập trung đợc tâm huyết và trách nhiệm cũng
nh lòng yêu nghề của mình
Việc dạy cho các em học kiến thức cơ bản trong chơng trình rồi từ đó hình thànhphơng pháp học bằng việc đa vào những chuyên đề toán thông qua các hệ thống tài liệu tham khảo dới sự hớng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi
Các kỳ thi HSG ngoài sự quan tâm chỉ đạo của các cấp quản lý giáo dục còn thu hút đợc sự quan tâm của đông đảo PHHS Với hệ thống đề thi ngày càng phù hợp, vừa sát chơng trình
Khó khăn: Với đặc thù vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc
quan tâm đến học hành còn hạn chế cả về tinh thần và vật chất dẫn đến hạn chếviệc học hành của các em đặc biệt là môn toán.Chinh vì vậy càng cần phải rènluyện, bồi dỡng nhằm giúp cho các em học sinh khả năng tự học, tự tìm tòi, sángtạo trong việc học tập, nghiên cứu để chiếm lĩnh tri thức nhân loại, tích lũy kinhnghiệm cuộc sống mai sau Vì thế càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu đểgiảng dạy có hiệu quả cao nhất
+ Hớng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung
điểm từ đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tínhchất của hình bình hành ở lớp 8
+ Hớng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đờng trung bình trong tam giác,
trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đờng trung bình liền nhau càng tốt, từ
đó sử dụng các tính chất của các đờng trung bình này
+ Hớng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông
đăc biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đ ờngtrung tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đờng trung tuyến thuộccạnh huyền trong tam giác vuông
Trang 3+ Hớng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đờng tròn thì ta kẻ
ngay đờng kính của đờng tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đờngkính đi qua trung điểm của dây cung trong đờng tròn
Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm màtôi đã có đợc trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dỡng họcsinh giỏi
B Một số bài toán quen thuộc trong chơng trình
Trong chơng trình toán 7 khi nghiên cứu các trờng hợp bằng nhau của tam gíac
để giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệucho học sinh các bài toán sau:
Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với
cạnh còn lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó
Ta hớng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia
đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM,
Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểmchung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai
đoạn MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh
Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngợc lại.Qua đó học sinh đợc hình dung tính chất đờng trung bình của tam giác
Cũng nh vây ta cho học sinh làm bài toán sau:
Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền
P N
M
C B
A
Trang 4
Sau đó ta cũng cho hoc học sinh chứng minh bài toán ngợc lại
Từ bài toán này ta cho học sinh chứng minh bài toán sau:
Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60°
khi và chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền
Để giải bài này ta sử dụng đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xéttam giác cân MAB khi có góc B bằng 60 suy ra MAB là tam giác đều và ng° ợc lại,
từ cạnh AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60 ° Cũng từ bài toán 3 ta lại có bài toán sau:
Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60 mà hai cạnh kề góc này có một°cạnh bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông
Ta có thể hớng dẫn cho học sinh làm bài này nh sau:
Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD vớitrung tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh
Hoàn toàn tơng tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau:
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến Chứng
minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC
Hớng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc
CAM cũng nh cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh
CD với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trongtam giác)
Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đờng trung tuyến luôn
bé hơn nửa tổng hai cạnh còn lại
Hớng làm: Cũng tơng tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong
tam giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh
Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung
B
Trang 5Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứngminh tính chất đờng trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đ-ờng trung bình của hình thang, tính chất “ Đờng trung bình của tứ giác”
Bài toán 7: Chứng minh đờng trung bình của hình thang song song với cạnh
đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy
Hớng làm: Xét thêm trung điểm I của đờng chẻo AC,Ta có IM,IN là các đờng
trung bình của các tam giác ADC vầ ABC
Khi đó sử dụng tính chất đờng trung bình của tam giác ta chứng minh đợc bàitoán này
Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC Chứng
minh độ dài đoạn MN AB+CD
Hớng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của
hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD
còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC
Khi đó MI, NI là các đờng trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thờixet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh
Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau:
Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn
thẳng nối trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại
Cũng với tính chất đờng trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:
Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
M
C D
B A
I
N M
B
C A
D
Trang 6Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 tathay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinhlớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất
đờng trung bình của tam giác, đờng thẳng song song, hai đoạn thẳng song song vàbằng nhau, hai tam giác bằng nhau,
Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học:
Các “đờng trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng
Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:
Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lợt là trung điểm
của các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC
Chứng minh các đờng MN, PQ, EF, GH đồng quy
C Các bài toán nâng cao và phát triển
I Bài toán chứng minh
Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại
A là ABM và ACN Chứng minh rằng đờng thẳng chứa trung tuyến AI của tamgiác ABC cũng chứa đờng cao của AH của tam giác AMN
Hớng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại
đ-ợc gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau:
Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chungcủa hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của
AD
Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có đợc hai
đoạn CD và AB song song và bằng nhau từ đó ta có đợc hai tam giác ACD, MANbằng nhau, sử dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại
A
Trang 7Từ bài toán này ta có bài toán sau:
Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông
ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF,
Chứng minh ba đờng QA, HB, DC đồng quy
Hớng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH
vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giácAQC , CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DCchứa ba đờng cao của tam giác QBC nên ba đờng QA, HB, DC đồng quy
Tơng tự nh vậy ta có các bài toán sau:
Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía ngòai
các hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J
Chứng minh tam giác MIJ vuông cân
Hớng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC và ABF bằng nhau
⇒ hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đờngtrung bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh đợc hai đoạn MI, MJbăng nhau và vuông góc với nhau
Trang 8Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau:
Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam
giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQvuông cân tại Q
Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông
Hớng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều
vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông
Từ bài toán này ta lại đa ra bài toán sau:
Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình
vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lợt là tâm của các hìnhvuông trên
Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông
D
M F
E
Q
K L N
P
G
H R
S
Trang 9Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một
tứ giác bất kỳ thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán sau:
Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình
vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lợt là tâm của các hìnhvuông trên Chứng minh rằng KS = VJ và KS VJ
Hớng làm: Do có V, S, J, K là trung điểm của các đờng chéo hình vuông nên để
sử dụng đờng trung bình của tam giác ta xét thêm trung điểm I của AC Từ kết quảbài toán 14 ta có IV, IK vuông góc và bằng nhau cũng nh vậy hai đoạn IS, IJ cũngvuông góc và bằng nhau Từ đó hai tam giácIKS và IVJ bằng nhau Suy ra hai đoạnthẳng KS và VJ bằng nhau và vuông góc với nhau
Đối với bài toán này việc vẽ đờng phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu
tố trung điểm nh đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau,kiến thức về tam giác cân, tam giác đều , đã đợc học vào giải bài toán.Từ đó họcsinh mới t duy và tìm tòi lời giải Giáo viên không nên đa ra lời giải mà phải hớngdẫn để học sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán
Bài toán 18: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao
cho BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN Chứng minh EF song songvới phân giác góc A
Hớng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc
lấy thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đờngtrung bình của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể nh sau:
B A
P
Q
M N
Trang 10Gọi I là trung điểm của BM khi đó IE, IF là đờng trung bình của các tam giácBCM và MBN, Từ tính chất đờng trung bình của tam giác và giả thiết của bài toán
ta có tam giác IEF cân tại I Từ đặc điểm các góc của tam giác IEF và các góc tại
đỉnh A ta có đợc EF song song với phân giác của góc BAC
Ta biết từ bài toán này chúng ra có thể đa ra nhiều yêu cầu khá hay nh:
+ Chứng minh đờng thẳng MN tạo với hai đờng thẳng AB, AC những góc bằngnhau
+ Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn nằm trên một đờng
cố định
Bài toán 19: Chứng minh rằng trong một tam giác Trọng tâm, Trực tâm và Tâm
đờng tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đờng thẳng ( Đờng thẳng Ơ le).
Hớng làm: Có rất nhiều cách chứng minh bài toán này, các cách đều sử dụng tính
chất của trung điểm để tạo ra đờng trung bình của tam giác để chứng minh: Khoảngcách từ trực tâm đến mỗi đỉnh luôn gấp đôi khoảng cách từ tâm đờng tròn ngoạitiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó (HA = 2 OM)
M I
K
O
G H
C B
A
A
B
MN
E
FI
C
Trang 11
Sau đó lại sử dụng tính chất đờng trung bình IK của tam giác GAH để chứngminh hai tam giác: GIK và GOM bằng nhau từ đó có đợc ba điểm G, H, O thẳnghàng ( Xin phép không trình bày chi tiết phép chứng minh này vì đây là bài toán
điển hình mà ai cũng biết)
Bài toán 20: Cho lục giác ABCDEF
có M, N, P, I, K, L lần lợt là trung
điểm các cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA
Chứng minh hai tam giác MNP và IKL
có chung trọng tâm
Hớng làm: Từ kết quả bài toán 10, gọi S là trung điểm đoạn BE thì hai đoạn
MP và LS cũng nh hai đoạn IK và SN có chung trung điểm là X và Y, khi đó NX
và LY là các đờng trung tuyến của các tam giác MNP và IKL, đồng thời NX và LYcũng là các đờng trung tuyến của tam giác SNL mà NX và LY cắt nhau tại G nên G
là trọng tâm của các tam giác này
Vậy hai tam giác MNP và IKL có chung trọng tâm
Bài toán 21: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AB, CD.Trên
đoạn MN lấy điểm I bất kỳ, một đờng thẳng d qua I cắt AD, AC, BD, BC lần lợt tại
Hớng làm: Do có các trung điểm M,N nên ta nghĩ đến đờng trung bình, mà bài
toán lại có các tỷ số nên ta lại nghĩ đến định lý Talet, từ đó buộc ta phải nghĩ đếnviệc tạo ra các đờng thẳng song song cụ thể qua A, B, C, D kẻ các đờng thẳng songsong với MN chúng lần lợt cắt đờng thẳng d tại A’, B’, C’, D’ Khi đó IM, IN là đ-ờng trung bình của các hình thang ABB’A’, DCC’D’, sử dụng tính chất đờng trungbình của hình thang và định lý Talet ta có biểu thức vế trái đợc thay bằng tổng sau:
S
G
Y X
F
E
D
C B
A
