Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất.. Tính diện tích đó..[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS THÀNH PHỐ VỊ THANH
HAU GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN: TOÁN Khóa ngày: 04/01/2013
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3.0 điểm)
Thực hiện tính:
√2 x+2√x2− 9
√x2− 9+x +3 với x=2√6 +2
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải phương trình:
√x2−7 x +6+√x+3=√x − 6+√x2 +2 x − 3
Bài 3: (3.0 điểm)
Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x.y.z=100 Tính giá trị của biểu thức: A= √x
√xy+√x +10+
√y
√yz+√y +1+
10√z
√xz +10√z +10
Bài 4: (2.0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố x,y,z Biết xyz=5(x+y+z)
Bài 5: (4.0 điểm)
Hình chữ nhật MNPQ có I, K lần lượt là trung điểm các cạnh MN, PQ Trên tia đối của tia PN lấy điểm S QN cắt SK tại R và cắt IK tại O Đường thẳng qua O song song với MN cắt RI tại H
a Chứng minh HI = HK
b Chứng minh IK là phân giác của góc RIS
Bài 6: (6.0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R AF cắt BE tại H AE cắt BF tại C
CH cắt AB tại I
a Tính góc CIF
b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn
c Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích đó
-Hết -(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)
Họ và tên thí sinh:………
Số báo danh:………
Trang 2UBND TP.VỊ THANH
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (3.0 điểm)
Thực hiện tính:
√2 x+2√x2− 9
√x2− 9+x +3 với x=2√6 +2
√x+3+√x −3¿2
¿
¿
√ ¿
¿√x +3+x − 3+2√(x+3)( x −3)
√(x +3)(x − 3)+x +3 =¿
1.5
Thay x=2√6 +2 vào được:
√3+√2 ¿2
¿
¿
√ ¿
1
√2√6+2+3=
1
¿
1.5
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải các phương trình:
√x2−7 x +6+√x+3=√x − 6+√x2+2 x − 3
√(x − 1)(x −6)+√x+3=√x − 6+√(x −1)(x+3) 0,5
√x −1(√x − 6 −√x +3)−√x −6+√x +3=0
√x −6 −√x +3=0 vô nghiệm; √x −1 −1=0 được x = 2 0,5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,5
Bài 3 ( 3.0 điểm)
+ ¿
x , y , z ∈ Z¿ ; x.y.z=100 => √x y z=10
Ta có A= √x
√xy+√x +10+
√y
√yz+√y +1+
10√z
√xz +10√z +10
= √x
√xy+√x +10+
√xy
√xyz+√xy +√x+
10√z
√xz+10√z +√xyz
= √x
√xy+√x +10+
√xy 10+√xy +√x+
10
√x+10+√xy
= √x +√xy +10
√xy+√x +10=1
0,5(điểm)
1.0(điểm) 0,5(điểm) 1.0(điểm)
Trang 3Bài 4: (2.0 điểm)
xyz = 5(x+y+z) Tích ba số nguyên tố xyz chia hết cho 5 nên có một số bằng
Giả sử x = 5 được 5yz = 5(5+y+z) yz = 5+y+z
yz -y - z + 1 = 6 (y-1)(z-1) = 6 1.0 y,z là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:
{z −1=6 y −1=1 ⇔{y =2 z=7 và {z −1=3 y −1=2 ⇔{y =3 z=4
Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7
0,5
Bài5: (4.0 điểm)
-Chứng tỏ INKQ là hình bình hành O là
trung điểm của IK
- OH // MN OH IK
- HIK cân tại H (Trung tuyến vừa là
đường cao) HI = HK
1.5
- OH // NI được: HRHI = OR
ON
- OK // NS được: ORON= NR
NS
HRHI = NR
NS KH//SI
HIK = KIS
HIK = KIS IK là phân giác của
góc RIS
2.5
Mỗi bước cho 0,5 điểm Bài 6: (6.0 điểm)
P Q
S
I
K
H
E
F C
H I
O
Trang 4- BE, AF là hai đường cao của ABC CI là đường cao thứ ba hay CIAB
- Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF = EBF
- EOF đều nên EOF = 600
- EF = 600 CIF = EBF = 300
2,0
- Chứng minh ACI đồng dạng với ABE
- được: ACAB= AI
AE ⇒ AC AE=AB AI
- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: BCBA= BI
BF⇒ BC BF=BA BI
- Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 =
const
2.0
- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC
- SFEC
SABC=(EFAB)2=(2 R R )2= 1
4 ⇒ SABFE= 3
4 SABC
- Để SABFE lớn nhất SABC lớn nhất CI lớn nhất C chạy trên cung
chứa góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I O CAB cân EF //
AB
- Lúc đó SABC=2 R R√3
2
.√3⇒ SABFE=3 R2.√3
4
2,0
(Mỗi bước cho 0,5 điểm)