cong thuc mu logarit

IV .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.[r]

CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT

I Công thức mũ và lũy thừa

a α=an=a a a¿ thừa số )

=a0=1

α=− n(n ∈ N❑

=1

a n α= m

n(m∈ Z , n ∈ N❑

a α=a

m n

=√n a m

(√n a=b ⇔b n=a)

* Tính chất: Khi các lũy thừa và căn đã xác định

1 a a m n a m n

6



 



½

n n a khi n lÎ a

a khi n ch n 11

n n n

b  b

3

m

m n n

a



 8 n a p  n a p

13

m

n a m a n( khi a>0)

4

n n

n

( )

9

m n

m n m n

a

a a



14

1

n n a a





5 (a ) m n (a ) n ma m.n 10 n

√k

√a=nk√a

15 m n a mn a

II Công thức logarit

* Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: Cơ số lớn hơn 0 và khác 1

Biểu thức dưới dấu lôgarit phải lớn hơn 0

1 log 1 0,loga  a a 1 6 loga( x

y)=−loga(y

x)

2 loga a m=m 7 loga x α=α loga x ,

loga x2=2 loga|x|

a α x =1

α loga x ,

loga β x α=α

βloga x

4 loga(x y)=loga x +loga y 9 lg b=log b=log10b ( logarit thập

phân)

5 loga(x

y)=loga x − log a y , loga(1

y)=−loga y

10 ln b=log e b , ( e = 2,718… )

( logarit tự nhiên hay loga Nêpe)

Công thức đổi cơ số

loga b=logc b

logc a hay

log logc a a blogc b

loga b= 1

logb a hay log loga b b a 1

loga b= ln b

ln a loga b= lg b

logb c

=clogba

II. Đạo hàm của hàm mũ và logarit

Đạo hàm của hàm số sơ cấp Đạo hàm của hàm số hợp Công thức đạo hàm cơ bản

(ex)'=ex

(ax)'=ax ln a

(ln|x|)'=1

x

(eu)'=u' e u

(au)'=u ' a u ln a

(ln|u|)'= u '

u

u v ' u v u v'  '

2

u u v u v



 



 

 

(loga|x|)'= 1

a x ln a

(x α)'=α x α −1(α ≠ 0 , x >0)

(√n x)'= 1

n√n x n− 1

(loga|u|)'= u'

u ln a

(uα)'=α uα −1 u '

(√n u)'= u '

n.√n u n −1

' 2

 



 

' ' 2

 



 

 

x



,  u ' 2u'

u



IV CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.

a) 0<a≠ 1 a f ( x)=ag( x) ⇔ f (x)=g(x)

loga f (x)=log a g (x) ⇔

f (x )>0 hay (g( x)>0)

f (x )=g(x )

¿{ b) a>1 a f (x)

>a g( x) ⇔ f (x )>g(x)

loga f (x)>log a g(x ) ⇔f (x)>g(x)>0

c) 0<a<1 a f (x)

>a g (x) ⇔ f (x)<g(x)

loga f (x)>log a g(x ) ⇔0<f (x)<g (x)

* So sánh:

+) a > 1 : a α

>a β ⇔ α>β

+) 0 < a < 1 : a α

>a β ⇔ α<β

+) Với 0 a b  , m Z thì : a m b m  m0

a m b m  m0

+) Với a b ,n N lẻ thì: a n b n

+) Với a b , 0, n  * thì: a n b n  a b

V Hàm số mũ, hàm số logarit

+) Hàm số mũ: y a x(a>0), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1

Áp dụng khi so sánh: +) a>1: x1x2 thì a x1 a x2

+) 0<a<1: x1 x2thì a x1 a x2

+) Hàm số logarit: yloga x ( 0a1,x0 ), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1

Áp dụng khi so sánh: +) a>1: x1x2 thì loga x1loga x1

+) 0<a<1: x1 x2thì loga x1loga x1

VI Công thức lãi kép.

1 Gửi A đồng, lãi xuất r/1 kì hạn Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? T A(1r)n

2 Gửi A đồng, kì hạn m tháng với lãi xuất r/1 tháng Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng?

(1 )n

T A m r

3 Vay A đồng, lãi xuất r/ 1 tháng Từ tháng thứ 2 trả đều đặn vào cuối mỗi tháng m đồng Sau n tháng

hết nợ Hỏi mỗi tháng trả bao nhiêu tiền?

1

n n

m

r





 

4 Gửi A đồng, lãi xuất r/ 1 kì hạn Sau bao nhiêu kì hạn(N) thì có B đồng?

log log log(1 )

N

r







5 Mỗi tháng gửi đều đặn A đồng vào đầu tháng, với lãi xuất r/ 1 tháng ( lãi kép) Số tiền thu được sau

n tháng T A(1 r) 1 rn 1

r

+) a1 : loga bloga c bc

loga b 0 b1

+) 0a1 : loga bloga c bc

loga b 0 b1

+) loga bloga c bc