Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử và lí thuyết trường lượng tử

Trong những năm gần đõy, hỡnh thức luận tớch phõn phiếm hàm của lớthuyết lượng tử đó được quan tõm phỏt triển và thu được nhiều thành cụngtrong việc nghiờn cứu cỏc lĩnh vực khỏc nhau của

MỤC LỤC Trang

Chương I Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử 5

II Hàm truyền – Biểu diễn tích phân đường của hàm truyền 7

1 Phiếm hàm sinh của trường vô hướng 27

1 Khái niệm về phiếm hàm sinh 31

1 Phương trình vi phân của phiếm hàm sinh trường tương tác 33

2 Dạng rút gọn của phiếm hàm sinh trường tương tác 35

KẾT LUẬN 38

MỞ ĐẦU

I Lớ do chọn đề tài:

Trong hỡnh thức luận thụng thường của cơ học lợng tử (CHLT), cỏc đạilượng động lực đặc trưng cho hệ được biểu diễn bằng những toỏn tử tuyếntớnh hermite tỏc dụng trong khụng gian cỏc vector trạng thỏi và chỳng tuõntheo cỏc hệ thức giao hoỏn nhất định Bờn cạnh đú CHLT cũng như lớ thuyếttrường lượng tử (gọi chung là lớ thuyết lượng tử) cũn cú một cỏch phỏt biểukhỏc dựa trờn phương phỏp tớch phõn phiếm hàm do Feynman đề xuất năm1948

Trong những năm gần đõy, hỡnh thức luận tớch phõn phiếm hàm của lớthuyết lượng tử đó được quan tõm phỏt triển và thu được nhiều thành cụngtrong việc nghiờn cứu cỏc lĩnh vực khỏc nhau của vật lớ đặc biệt trong nhữngtrường hợp mà lớ thuyết nhiễu loạn kinh điển tỏ ra kộm hiệu lực

Chớnh vỡ vậy, để cú cơ sở cho cỏc nghiờn cứu xa hơn sau này, tụi chọn đề

tài “Hỡnh thức luận tớch phõn đường của cơ học lượng tử và lớ thuyết

trường lượng tử”.

II.Mục đớch nghiờn cứu:

1 Tỡm hiểu hỡnh thức luận tớch phõn đường của cơ học lượng tử

2 Tỡm hiểu hỡnh thức luận tớch phõn đường của lớ thuyết trường lượng tửtrong đú tập trung vào lớ thuyết trường vụ hướng, tương tự với trườngvector, làm rừ những điểm cơ bản cần lưu ý khi ỏp dụng cho trườngspinor,…

3 Vận dụng tớnh toỏn một số quỏ trỡnh vật lớ quen thuộc như tỏn xạCoulomb, sự hủy hạt, tỏn xạ pion – nucleon…

III Nhiệm vụ nghiờn cứu:

Nghiờn cứu về hỡnh thức luận tớch phõn đường của cơ học lượng tử và lớthuyết trường lượng tử

IV.Đối tượng nghiờn cứu:

Cơ sở để trình bày CHLT dới dạng tích phân đờng

Các đại lợng đặc trng cho trờng vô hớng tự do và tơng tác

V.Phương phỏp nghiờn cứu:

Tra cứu tài liệu

Thảo luận, đỏnh giỏ

LỜI CẢM ƠN

Báo cáo thực tập chuyên ngành với đề tài “Hình thức luận tích phân

đường của cơ học lượng tử và lí thuyết trường lượng tử” đã được hoàn

thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của Th.S Nguyễn ThịPhương Lan cùng các thầy cô trong tổ Vật lí lý thuyết

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến cô giáo Nguyễn Thị PhươngLan, người trực tiếp hướng dẫn về chuyên môn trong quá trình tìm hiểu đề tài.Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã trang bị cho t«i những kiến thức vật lý cơ sở quan trọngtrong những năm học đã qua

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen vớiphương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếusót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và bạn bè

để đề tài này của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày……tháng 4 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phan Thị Thủy

Chương I HÌNH THỨC LUẬN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA CƠ HỌC

Trong phần đầu tiên này, ta sẽ trình bày CHLT với hình thức luận tíchphân phiếm hàm (cũng gọi là tích phân đường)

I Phiếm hàm và đạo hàm của phiếm hàm

1 Khái niệm phiếm hàm

Như đã biết khái niệm hàm số là quy tắc cho tương ứng một số với một

Giá trị của cường độ điện trường gây bởi điện tích điểm xác định E

Tuy nhiên chúng ta cũng thường gặp những quy tắc cho tương ứng một

hàm số với một số Những quy tắc ấy gọi là phiếm hàm.

Như vậy phiếm hàm là ánh xạ từ tập hợp các hàm số vào tập hợp số Ta

có thể viết dạng ngắn gọn:

Phiếm hàm: Hàm số → số.

Lưu ý: phiếm hàm không phải là hàm số của hàm số (chính là hàm hợp, mà

Kí hiệu công di chuyển hạt trên quỹ đạo x(t) là F thì F[x(t)] chính là mộtphiếm hàm theo định nghĩa

2 Đạo hàm của phiếm hàm

Tương ứng với đạo hàm của một hàm số ƒ theo định nghĩa thông thường,người ta định nghĩa đạo hàm của một phiếm hàm như sau:

Đạo hàm của phiếm hàm F[f] đối với hàm ƒ(y) được định nghĩa là biểuthức:

(1.1)

Ví dụ: Xét phiếm hàm ở trên, có thể biêu diễn nó dưới dạng biểu thức tường

minh như sau: F[ƒ] = ∫ƒ(x)dx ( đổi kí hiệu x(t) thành f(x) ) – với f(x) là 1 hàmthực Phiếm hàm này có dạng đạo hàm là:

= ∫(x-y)dx

= 1

Xét một ví dụ khác:

Cho phiếm hàm sau:

F[ƒ] = ∫G(x,y) ƒ(y)dy với x là tham số

Đạo phiếm hàm:

= ∫G(x,y) (y-x)dy

= G(x-z)

* Lưu ý: Trong một số sách cũng có khi người ta định nghĩa đạo phiếm hàm

II Hàm truyền – Biểu diễn tích phân đường của hàm truyền

1 Hàm truyền trong cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử trạng thái của các hệ vật lí được biểu diễn bằngcác hàm sóng q t i,  với q là các tọa độ không gian, t là tọa độ thời gian Gọi q t i, i là hàm sóng ở thời điểm t i,q t f, f  là hàm sóng ở thời điểmmuộn hơn t f thì hiển nhiên theo nguyên lý nhân quả:

q t f, f

Như vậy  ( , ; , )q t q t f f i i cho phép xác định hàm sóng ở thời điểm t f khibiết hám sóng ở thời điểm t i Nó được gọi là hàm truyền, chính là một đạilượng quen thuộc trong CHLT: biên độ xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu

q t i, i

 sang trạng thái cuối q t f, f

Thật vậy ta biết rằng hàm sóng q t i,  chính là biểu diễn tọa độ củavector trạng thái   t (trong biểu diễn Schrodinger) liên hệ với vector trạngthái trong biểu diễn Heisenberg bằng hệ thức:

2 Biểu diễn tích phân đường của hàm truyền

Ta hãy chia khoảng thời gian xảy ra quá trình đang xét t t f, f thành 2phần bằng thời điểm trung gian t, tọa độ không gian lúc đó là q, ta có:

Tương tự chia khoảng thời gian đó thành (n+1) phần bằng nhau Mỗikhoảng dài τ, ta viết được:

(Ta đã thay các q t q t n, ;n n1n1  bằng q t q t n, n n1n1  tương ứng)

Để ý thấy ở đây tích phân được lấy theo mọi “quỹ đạo” q(t) khả dĩ Tuynhiên cần nhấn mạnh, đây không phải là tích phân theo nghĩa thông thường vì

mỗi đoạn q t q t i, ;i j1 j1  ta lại có thể chia thành những đoạn nhỏ hơn, do đókhông tồn tại đạo hàm.

Ở vế phải (1.7) có n lớp tích phân với (n+1) hàm truyền, tương ứng với(n+1) phần nhỏ của “quỹ đạo”

Ta sẽ tính giá trị hàm truyền trên mỗi phần nhỏ này

Từ liên hệ giữa vector trạng thái trong biểu diễn Schrodinger và biểudiễn Heisenberg

2 1

ˆ 2

2 1

Biểu thức (1.14) chính là biểu diễn tích phân (theo) đường của biên độchuyển rời dời từ (q i,t i) đến (q f ,t f) hay của hàm truyền K (q f ,t f ; q i,t i) Nó

cũng chính là phiếm hàm của tọa độ q và xung lượng p, và vì có dạng tíchphân nên người ta cũng nói K có là một tích phân phiếm hàm.

Thay Hamiton dạng cổ điển vào (1.14) và áp dụng tích phân Poisson tathu được công thức gọn hơn của hàm truyền:

f f i i

q t q t

2 1

Trong đó L chính là Lagrangian cổ điển

Như vậy ta đã có biểu thức tích phân đường của hàm truyền, đã biểudiễn được 1 đại lượng đặc trưng CHLT là biên độ chuyển dời dưới dạng mộtphiếm hàm tích phân Ta thấy rằng dạng biểu diễn này tường minh hơn so vớidạng toán tử thường gặp, rất thuận lợi để xem xét các bài toán tán xạ Trongnhững phần sau của luận văn sẽ vận dụng dạng này

3 Một số tính chất của tích phân đường

Ở đây ta sẽ mở rộng khái niệm hàm truyền tử CHLT sang lý thuyếttrường lượng tử, xét tính chất của nó để áp dụng trong những phần sau

đã chỉ ra rằng biên độ chuyển rời từ q t i i đến q t f f trong trường hợp:

2

( ) 2

Cụ thể là trong lí thuyết trường lượng tử tương ứng vói các tọa độ hật sẽ

là các toán tử trường và điều kiện biên khi đó phải là: ( )( )i i

t t

Sự sinh có thể được thay thế bằng một nguồn và sự hủy giống như một

hố, mà thực ra cũng là cách gọi của một nguồn Vì thế ta có thể biểu diễn điềukiện biên trong trường hợp lượng tử như sau:

   

t

Nếu t J

là vector trạng thái của hệ được mô tả bởi Lagrangian (1.16) thì biên độchuyển dời CK – CK với sự có mặt của nguồn sẽ là:

gian ảo, với δ là góc bất kì

Q T QT i

Vế trái chính là giá trị trung bình của biên độ chuyển dời trong trạng thái

cơ bản Thời điểm t’ và –t có thể lấy lớn tùy ý vì vậy vế trái chính là

Tiếp theo ta xét đạo phiếm hàm của Z theo J(t) Để bắt đầu, thay cho

f f i i

q t q t

   ta xét q t q t q t f f ˆ(nli i, ở đây t f >t nl>t i và cần lưu ý q t ˆ( nl là toán tử.Xét phương trình (1.7) và chọn t nl là một trong các thời điểm t1,…t n tacó:

ˆ(

q t q t q t

    = dp dp q t q t1 n f f n nq t q t n n n1n1 q t q t q t nl nl ˆ ( )nl nl1nl1 q t q t l l i i

Tuy nhiên với t2>t1 thì điều này không đúng nữa Trong trường hợp này

vế phải của (1.28) tương đương với q t q t q t q t f f ˆ ( 1  ˆ ( 2 i i

Như thế nói chung vế phải của (1.28) là: q t T q t q t f f  ˆ ( 2  ˆ ( 1   q t i i

Ở đây T q t q t ˆ ( 2  ˆ ( 1  gọi là tích thứ tụ thời gian của hai toán tử q t ˆ( 2 , q t ˆ( 1

(hay T-tích) Toán tử T không có biểu thức cụ thể mà chỉ có tác dụng đưa thờiđiểm sớm hơn sang phải, được đinh nghĩa như sau:

[ ] ( ) ( )

III Lý thuyết nhiễu loạn và ma trận S

Với hình thức luận tích phân đường, các thành phần của ma trận S có thểtính một cách trực tiếp Trong mục này và mục sau ta sẽ thấy kết quả thuđược cũng giống như khi sử dụng hình thức luận chính tắc

Như đã biết trong trường hợp phi tương đối tính, tán xạ của một hạt lênhạt khác được mô tả giống như nó tương tác với một thế V(x) (từ đây sẽ thaytọa độ không gian từ q sang x)

1 Chuỗi Born

Vì không thể tính chính xác biểu thức của biên độ tán xạ nên ta phảidùng lý thuyết nhiễu loạn Điều này chỉ hợp lý khi thế V(x) là nhỏ hay chínhxác hơn, khi tích phân theo thời gian của V(x,t) nhỏ so với h

Với những điều kiện đó ta có thể viết khai triển như sau:

Khai triển (1.33) được gọi là khai triển nhiễu loạn

Thay thế (1.33) vào dạng tích phân đường của hàm truyền (1.15) ta sẽkhai triển được K thành một chuỗi các số hạng tương ứng

exp 2

Vì hàm truyền sẽ triệt tiêu nếu t f t i (theo nguyeen lý nhân quả), nênđiều kiên t f t i hiển nhiên phải thỏa mãn Như vậy có thể viết:

1

2 2



 

Lúc này K x t xt1 ( f f, ) triệt tiêu nếu t > t f và K xt x t0 ( , i i) triệt tiêu nếu t < t i,

vì vậy tích phân trong (1.37) có thể lấy với mọi giá trị của t và cho:



 

Đây là số hiệu chỉnh bấc nhất cho hàm truyền tự do, một cách tương tự

ta có thể chứng minh rằng lượng hiệu chỉnh bậc hai là:

K3… Đó là vì 2 tương tác với V xảy ra ở những thời điểm khác nhau nhưng

chúng có tính không phân biệt, vì vậy ta viết:

ở đây ta dã đổi 1 chiều sang 3 chiều

Giả sử chuỗi hàm trên hội tụ, khi đó tác dụng của những số hạng khôngviết là để hiệu chỉnh K0 so với K vì vậy ta có thể viết:

sử rằng ở xa vô cùng trong quá khứ ti → -∞;  là hàm sóng tự do, tức là hàmsóng phẳng  thì số hạng đầu tiên bên phải của (1.42) cũng là hám sóngphẳng Vì đó là kết quả của hàm truyền tự do  ( , )x t i i và ta có thể viết:

Bây giờ ta có thể tích biên độ tán xạ Chú ý điều kiện ban đầu: in( , )x ti i

là sóng phẳng ban đồng thời coi V→ 0 khi t có giá trị âm đủ lớn (trong quákhứ đủ xa), khi đó ở gần đúng Born thứ nhất ta có:

Đại lượng mà ta quan tâm ở đây chính là biên độ chuyển dời từ trạngthái  tới trạng thái cuối có xung lượng xác định, tức là trạng thái mô tảbằng sóng phẳng out Biên độ chuyển dời này còn được gọi là biên độ tán xạ

Nếu xung lượng ban đầu và cuối cùng là pi hki; pf hkf ta có điều kiệnchuẩn hóa trong thể tích  là:

Số hạng thứ nhất tương ứng với quá trình không có tương tác Thực chất

đó là biểu thức của định luật bảo toàn động lượng

Tương tác được mô tả bởi số hạng thứ hai Biên độ để trạng thái ra là

Biên độ (1.50) sẽ được biểu diễn là:

Với các quy tắc Feynman được biểu diễn trong bảng sau:

Như vậy, biên độ tương ứng cho quá trình bậc 2 cho bởi giản đồ sau:

Ta sẽ áp dụng những biểu thức vừa xây dựng cho một trường hợpthường gặp là tán xạ của hạt spin 0 mang điện tích trong trường tĩnh điệnCoulomb Vì đây là một ứng dụng quan trọng, ta sẽ trình bày dưới một mụcriêng



 chính là xácsuất để 1 hạt ra có xung lượng khoảng từ p f đến p f dp f Nếu tương tác kết

thúc sau thời gian T thì

2

3

2

f

dp A

T  h (*) chính là số hạt trong mỗi giây xuấthiện trong khoảng động lượng trên

Để tính tiết diện tán xạ, ta chia đại lượng (*) cho dòng tới và tích phântheo Pf Hạt tới có vận tốc p i

Khi đó tiết diện tán xạ là:

2

3

2

f i

Trong A2 có một thừa số là  E i E f /h2

  Để biến đổi nó, chú ý đếnđịnh nghĩa của  ( )x

 để viết p dp2f f 2m E3 f12 dE f và tích phân theo

f

E ta có:

2 4

2 2 0

4

mz e d

q  p  với  là góc tạo bởi p và pf

Cuối cùng đặt p=mv ta thu được:

2 2 2 4 0

Như vậy với phương pháp dùng dạng tích phân đường của các hàmtruyền ta đã thu lại được những kết quả đã biết của CHLT Điều này cho thấyđây là một hình thức luận phù hợp và chặt chẽ, đồng thời cũng gợi ý khả năng

mở rộng nó cho lý thuyết trường lượng tử Liệu khi xét trường lượng tử, hìnhthức luận này có cho một thuận lợi nào hơn khi giải quyết những vấn đề màhiện nay chúng ta đang gặp nhiều khó khăn?

Chương II HÌNH THỨC LUẬN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA LÝ

THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG Tö

Một cách tương ứng, trong lý thuyết trường lượng tử, ngoài hình thứcluận chính tắc dựa trên việc lượng tủ hóa bằng các toán tử sinh hủy, còn cóhình thức luận tích phân đường, lượng tủ hóa trường bằng tích phân đường, ởđây đẻ đơn giản ta sẽ chỉ xét trường vô hướng Các kết quả thu được có thểsuy ra cho các trường khác: spinor, vector…

I Phiếm hàm sinh của trường vô hướng tự do

Ở phần trước ta đã có phiếm hàm sinh của một hạt, trong mục này ta sẽtìm phiếm hàm sinh của trường lượng tử Từ đó có thể tìm hàm truyền chotrường và những đại lượng khác Đây chính là phép lượng tử hóa trườnglượng tử bằng tích phân đường

1 Z 0 [J] – Phiếm hàm sinh của trường vô hướng

Nếu gọi J là nguồn của trường vô hướng  ( )x Chương I đã có phiếmhàm sinh của một hạt, ta có thể tương tự viết phiếm hàm sinh cho một trườngbằng cách thay q t( )   ( )x , và thay vì chia thời gian thành các đoạn nhỏ tachia cả không gian và thời gian, tức là không gian Minkowski thành nhữnghình lập phương 4-chiều thể tích 4

Z[J] = 4 2

1 1

Đó chính là biểu thức của phiếm hàm sinh cho trường vô hướng tự do

Rõ ràng phiếm hàm sinh không phải là hàm truyền của trường (trong CHLTthì Z J0 [ ] chính là hàm truyền CK – CK) Vậy ý nghĩa của Z J0 [ ] là gì? Vì saolại gốn là phiếm hàm sinh?

2 Hàm truyền của trường vô hướng tự do

Để tính Z[J], ta thực hiện biến đổi:

II Các hàm Green của trường vô hướng tự do

Cho đến nay ta đã đưa ra biểu thức phiếm hàm sinh và hàm truyềntrường vô hướng tự do mà chưa giải thích ý nghĩa của những đại lượng này.Trong mục này ta sẽ làm rõ những vấn để đó

1 Khái niệm về phiếm hàm sinh

Với Z0 J ở (2.12) ta có thể viết nó dưới dạng khai triển:

n y

F y T

Khi đó F y[ ] được gọi là phiếm hàm sinh của các hàm số T x x n( ) 1 n

Bây giờ trở lại Z0 J Vì Z J là biên độ chuyển dời CK – CK với sự cómặt của nguồn J, nên ta sẽ chuẩn hóa sao cho ZJ=0  1 Trong trường hợpnày ta viết được:

 J

Dễ thấy khi đó điều kiện Z[0] = 1 tự động được thỏa mãn

(2.11) được viết lại là:

[ ] 1

• Hàm 2-điểm

Ta đã có công thức tổng quát xác định hàm Green  với n bất kì

Áp dụng cho n=2, viết được:

0

0

[ ] ( , )

Hàm Green 2-điểm chính là hàm truyền Feynman nhân them thừa số i ta

có thể kiểm chứng lại hệ thức trên bằng cách viết hàm truyền Feynman vàhàm 2-điểm dưới dạng tường minh là tích phân các hàm trường