Tìm hiểu phương pháp ma trận và phương pháp nhiễu loạn trong cơ học lượng tử

CHƯƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC ƯỢNG TỬ Cơ học lượng tử thừa nhận một số nguyên lý, luận điểm làm cơ sở để xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh như các lý thuyết khác và từ đó nghi n cứu cá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT

NGUYỄN THỊ DINH

TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN TRONG

CƠ HỌC ƯỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận này

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhậnđược những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 28 tháng4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Dinh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác giả

Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 28 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Dinh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đ ch nghi n cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghi n cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 3

1.1.Lưỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg 3

1.1.1.Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô 3

1.1.2.Hệ thức bất định Heisenberg 6

1.1.3.Nội dung của nguyên lý bất định 8

1.1.4.Ý nghĩa của nguyên lý bất định 8

1.2.Nguyên lí chồng chất các trạng thái. 9

1.3.Hàm sóng của hạt vi mô 10

1.3.1.Định nghĩa hàm sóng 10

1.3.2.Các tính chất của hàm sóng. 10

1.3.3.Ví dụ về hàm sóng 11

1.3.4.Hàm sóng của hệ N hạt 11

1.3.5.Trung bình của một đại lượng vật lý 11

1.3.6 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng. 12

1.4 Phương trình Schrodinger 13

1.4.1.Phương trình Schrodinger dừng 13

1.4.2.Phương trình Schrodinger thời gian 13

1.4.3.Tính chất của phương trình Schrodinger 14

1.5 Vai trò của cơ học cổ điển 14

1.5.1 Cơ học cổ điển là giới hạn của cơ học lượng tử 14

1.5.2 Cơ học cổ điển là cơ sở của cơ học lượng tử 15

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 16

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN 17

2.1 Toán tử và ma trận 17

2.2 Biểu diễn của toán tử 21

2.2.1 Khái niệm về biểu diễn của toán tử 21

2.2.2 Tính chất của biểu diễn của toán tử 23

2.3 Hệ phương trình ma trận 23

2.3.1 Hệ phương trình ma trận và sự tương đương với phương trình trị riêng 23

2.3.2 Dạng vecto của phương trình ma trận 25

2.4 Tính chất của ma trận của các toán tử 26

2.5 Spinor và ma trận Pauli 26

2.6 Biểu diễn ma trận của toán tử spin của electron 27

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 32

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN 33

3.1 Mở đầu 33

3.2 Trường hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian 34

3.2.1 Trường hợp mức năng lượng (0) n E không suy biến 34

3.2.2 Trường hợp mức năng lượng (0) n E suy biến 38

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 43

KẾT LUẬN CHUNG 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cơ học lượng tử ra đời vào đầu thế kỷ 20 và trở thành một lý thuyết vật

lý được thừa nhận vào cuối thập kỉ 20 của thế kỉ 20 Hiện nay cơ học lượng tử

đã trở thành một lý thuyết chủ yếu của vật lý hiện đại Cơ học lượng tử nghiên cứu các tính chất của các hạt vi mô và các quy luật chi phối các hạt vi mô Hạt

nghệ và kĩ thuật hiện đại có thể tạo ra các thiết bị có k ch thước cỡ nano mét

tử ngày càng quan trọng

Rất nhiều các công nghệ hiện đại sử dụng các thiết bị có k ch thước mà ở

đó hiệu ứng lượng tử rất quan trọng Ví dụ như là laser, transistor, hiển vi điện

tử, và ảnh cộng hưởng từ hạt nhân Nghiên cứu về chất bán dẫn dẫn đến việc phát minh ra các đi-ốt và transistor, đó là những linh kiện điện tử không thể thiếu trong xạ hội hiện đại

Việc giải bài toán trong cơ học lượng tử đều quy về việc giải phương trình Schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng Trong điều kiện l tưởng thì

ta hoàn toàn có thể giải được dễ dàng Nhưng trong thực tế việc giải phương trình này gặp nhiều khó khăn và phức tạp Do vậy ta phải sử dụng phương pháp gần đúng để phương trình schodinger được giải một cách dễ dàng và

ch nh xác hơn Phương pháp đó gọi là phương pháp nhiễu loạn

Để giải được các bài toán cơ học lượng tử , chúng ta cần phải hiểu và nắm vững được các toán tử cũng như các biểu diễn của nó Và biểu diễn ma trận của các toán tử là một vấn đề hay và hữu ích khi tìm hiểu về toán tử, giúp

ta giải một số bài toán trong cơ học lượng tử một cách thuận lợi

Với l do đã trình bày, tôi quyết định chọn đề tài “ Tìm hiểu phương

pháp ma trận và phương pháp nhiễu loạn trong cơ học lượng tử ” làm đề

tài khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đ ch nghi n cứu

Giải các bài toán trong cơ học lượng tử một cách thuận lợi và chính xác

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp ma trận và phương pháp nhiễu loạn trong cơ học lượng tử

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giải bài toán bằng phương pháp ma trận

- Giải bài toán bằng phương pháp nhiễu loạn

Phương pháp nghi n cứu

- Đọc tài liệu và tra cứu

- Tham khảo ý kiến giáo vi n hướng dẫn

CHƯƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC ƯỢNG TỬ

Cơ học lượng tử thừa nhận một số nguyên lý, luận điểm làm cơ sở để xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh như các lý thuyết khác và từ đó nghi n cứu các tính chất của các hạt vi mô Trong phần này chúng ta sẽ trình bày các

cơ sở của cơ học lượng tử, gồm có: lưỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg, cơ học cổ điển, hàm sóng và phương trình Schrodinger

1.1 ưỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg

1.1.1.Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô

Chúng ta đã biết, hạt vi mô có lưỡng tính sóng-hạt, chẳng hạn hạt photon trong những hiện tượng quang điện, bức xạ nhiệt biểu hiện tính chất hạt, nhưng trong các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực lại biểu hiện tính chất của sóng điện từ Nhiều hiện tượng thực nghiệm cũng cho thấy các hạt vi

mô khác đều có tính chất sóng Chúng ta xét một số ví dụ đối với hạt electron

1.1.1.1.Chuyển động của electron trong mô hình nguyên tử cổ điển

Electron trong nguyên tử cổ điển được coi như một hạt trong mô hình nguyên tử của Bohr Việc coi electron là hạt trong trường hợp này dẫn đến những mâu thuẫn với các lý thuyết cổ điển: electron là hạt mang điện chuyển động xung quanh hạt nhân tương đương với một dòng điện biến thi n, do đó bức xạ sóng điện từ và mất dần năng lượng, nghĩa là giá trị vận tốc giảm dần, điều này tương đương với sự giảm khoảng cách từ electron đến hạt nhân và cuối cùng electron rơi vào hạt nhân, dẫn đến nguyên tử bị phá hủy Từ đó suy

ra rằng, không thể coi một cách đơn giản electron chỉ là hạt Như chúng ta sẽ thấy ở dưới, việc coi electron có tính chất sóng sẽ khắc phục được nghịch lý này

1.1.1.2.Hiệu ứng đường ngầm

Xét chuyển động của một hạt có khối lượng bằng m chuyển động từ trái sang phải tới một hàng rào thế có độ cao bằng U (hình 1.1)

Nếu coi hạt không có t nh sóng, trước khi tới hàng rào thế (miền 1: U=0)

và E<U; để thỏa mãn hệ thức E=T+U động năng T phải âm (T<0) là điều vô

lý Có nghĩa là tại biên của hàng rào thế (giữa miền 1 và miền 2) thì T=0, hạt dừng lại, chuyển động theo chiều ngược lại và không thể đi xuy n qua hàng rào thế Nói tóm lại nếu hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của

1 qua miền 2 sang miền 3)

Tuy nhiên nhiều hiện tượng thực nghiệm đã xác nhận là trong trường hợp này hạt có thể vượt qua hàng rào thế để sang miền 3 Hiện tượng hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng có thể đi qua hàng rào thế năng gọi là hiệu ứng đường ngầm

3

a Hình 1.1

Lý thuyết lượng tử coi hạt có tính chất sóng đã giải th ch được hiện tượng thực nghiệm nêu trên Tính toán cho thấy hệ số truyền qua D của hạt từ miền 1 sang miền 3 được xác định bởi công thức:

D   a m U E 

Chúng ta thấy khả năng xuy n qua hàng rào thế theo hiệu ứng đường ngầm là không nhỏ

1.1.1.3.Nhiễu xạ electron

Chiếu chùm electron qua một khe hẹp K và hứng trên màn huỳnh quang

M Chúng ta thấy trên màn huỳnh quang hình ảnh phân bố cường độ sáng giống như hình ảnh phân bố cường độ sáng trong hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng (hình 1.2a)

Để khẳng định hình ảnh nhiễu xạ trên không phải do tương tác của electron với biên của khe K, người ta thực hiện thí nghiệm nhiễu xạ electron với 2 khe (hình 1.2b) và trên màn M là hình ảnh nhiễu xạ qua hai khe như trong nhiễu xạ ánh sáng

Hình 1.2a

Hình 1.2b

y

Kết quả trên chỉ có thể giải th ch được nếu coi electron có tính chất sóng Với các hạt vi mô khác cũng có kết quả tương tự

De Broglie đã coi hạt vi mô tự do tương ứng với một sóng gọi là sóng

De Broglie Một hạt vi mô có năng lượng E và động lượng p tương ứng với một sóng đơn sắc có tần số f và bước sóng λ theo các quan hệ sau:

Công thức cực tiểu nhiễu xạ (hình 1.3):

trong đó k=1 ứng với góc nhiễu xạ cực tiểu; sai số tọa độ theo phương x bằng một nửa độ rộng b của khe (Δx=b/2)

Ý nghĩa của hệ thức bất định: từ các hệ thức (1.2) chúng ta thấy tọa độ

và động lƣợng không thể đồng thời xác định chính xác Nếu trong một trạng

hoàn toàn bất định, ngƣợc lại tọa độ xác định thì xung lƣợng bất định

Hệ thức bất định có vai trò rất quan trọng trong vật lý hiện đại cũng nhƣ trong công nghệ tiên tiến Hàng loạt các lĩnh vực đã ứng dụng hệ thức bất định để đánh giá khả năng tối đa của mình Chúng ta có thể kể một vài ví dụ nhƣ:

Độ phân giải của truyền hình mật độ cao chỉ có thể đạt tới một giá trị cực đại nào đó, vì mật độ của các điểm hình càng cao thì số dòng quét càng lớn và muốn nhƣ thế thì thời gian giành cho một xung sẽ nhỏ, đi làm cho sai số về

Trong kĩ thuật xung, muốn tạo được các xung sắc nét, cần phải làm nhòe năng lượng và ngược lại

1.1.3.Nội dung của nguyên lý bất định

Trong cơ học cổ điển quỹ đạo hoàn toàn xác định trạng thái của hạt ở mọi thời điểm Căn cứ vào quỹ đạo của hạt chúng ta có thể chỉ ra tọa độ và vận tốc của hạt ở bất kì thời điểm nào

Tuy nhi n đối với hạt vi mô, vì có độ bất định về tọa độ và động lượng (hoặc vận tốc) chúng ta sẽ có một tập vô số các quỹ đạo có thể của vi hạt mà

không thể khẳng định là hạt chuyển động theo quỹ đạo nào Vì thế “Không

thể xác định trạng thái của hạt vi mô bằng quỹ đạo” Đó ch nh là nguy n lý

bất định Heisenberg

1.1.4.Ý nghĩa của nguyên lý bất định

Sở dĩ trạng thái của hạt vi mô không thể xác định bằng quỹ đạo chính là

vì hạt có tính chất sóng thể hiện bởi hệ thức bất định Heisenberg mà chúng ta

đã dẫn ra từ hiện tượng nhiễu xạ electron Điều đó có nghĩa là nguy n lý bất định thể hiện rõ rệt tính chất sóng của vi hạt Đó ch nh là ý nghĩa của nguyên

lý bất định Heisenberg

Vậy thì khi nào hạt vi mô là sóng và khi nào là hạt? Dễ thấy rằng hạt vi

mô bao giờ cũng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt Tuy nhiên việc biểu hiện ra tính chất sóng hay tính chất hạt phụ thuộc vào vật mà hạt vi mô tương tác V dụ trong hiện tượng nhiễu xạ electron thì hạt electron biểu hiện

tính chất sóng, còn trong việc đo tọa độ của hạt khi hạt qua khe hẹp thì nó lại biểu hiện tính chất hạt Điều đó có nghĩa là dù biết trạng thái của vi hạt ở thời điểm t, chúng ta không thể khẳng định ở điểm t‟>t hạt sẽ thể hiện tính chất nào và ở trạng thái nào Tính chất của vi hạt chỉ được biểu hiện ra khi nó tương tác với các vật xung quanh

1.2.Nguyên lí chồng chất các trạng thái

Nguyên lí chồng chất các trạng thái là một luận điểm rất cơ bản của cơ học lượng tử Nội dung của nguy n l như sau:

Nếu một hệ lượng tử nào đó có thể ở trong các trạng thái được mô tả bởi

là các trạng thái ứng với dao động ở khắp mọi nơi bi n độ dao động bằng không Còn trong cơ học lượng tử, các hàm sóng không mô tả một sóng thực nào cả, ở nơi nào hàm sóng bằng 0 thì nơi đó không có mặt của hạt

trạng thái của một hệ lượng tử, thì để cho nguyên lý chồng chất các trạng thái được thực hiện bắt buộc phương trình đó phải tuyến tính

Nguyên lý chồng chất các trạng thái phản ánh một tính chất rất quan trọng của các hệ lượng tử mà không có sự tương tự trong vật lý cổ điển

Nguyên lý chồng chất các trạng thái chỉ áp dụng trong không gian có

cm Việc áp dụng nguyên lý này cho không gian có k ch thước dài nhỏ hơn chưa được khẳng định

Hàm sóng φ(x,y,z,t) là nghiệm của phương trình sóng, tức phương trình

điểm (x,y,z) ở thời điểm t

Định nghĩa tr n cho thấy hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt là một hàm sóng không chỉ thỏa mãn phương trình sóng mà còn có tính xác suất là tính chất mà các sóng cổ điển không có

1.3.2.Các tính chất của hàm sóng

1.3.2.1.Liên tục, có đạo hàm bậc nhất liên tục, trừ trường hợp thế năng bằng

vô cùng

1.3.2.2.Hàm sóng thỏa mãn nguyên lý chồng chất

Các tính chất 1.3.2.1 và 1.3.2.2 thể hiện hàm sóng là nghiệm của phương trình sóng

1.3.2.3.Giới nội, đơn trị

Các tính chất 1.3.2.3, 1.3.2.4 và 1.3.2.5 thể hiện tính xác suất của hàm sóng

động lượng p của hạt tự do quan hệ với các đặc trưng của sóng De Broglie tương ứng theo công thức (1.1)

1.3.5.Trung bình của một đại lượng vật lý

φ(q,t) của hạt (hoặc hệ) bởi công thức sau:

*

Trong đó:

ˆ

giá trị của đại lượng F xuất hiện trong trạng thái φ(q,t) và được gọi là trung bình lượng tử của đại lượng F

1.3.6 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

Năm 1926 M.Born đã đưa ra giả thiết cho ý nghĩa của hàm sóng Theo giả thiết này, cường độ sóng De Broglie tại mỗi điểm của không gian, ở một thời điểm đã cho, tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại điểm đã cho của không gian đó

Như vậy, theo M.Born thì đại lượng:

Từ điều diện chuẩn hóa, ta thấy rằng các hàm chuẩn hóa sai khác nhau một nhân số modul bằng đơn vị, nghĩa là hơn kém nhau một hệ số exp(iα)

định này không còn nữa

vẫn xác định xác suất tỉ đối của các điểm tương ứng

là toán tử Laplace và U(x,y,z) là thế năng của hạt trong trường lực

1.4.2.Phương trình Schrodinger thời gian

Phương trình Schrodinger thời gian xác định sự phụ thuộc của hàm sóng theo thời gian:

Với các trường hợp năng lượng E của hạt có giá trị xác định, toán tử

là nghiệm của các phương trình Schrodinger:

H x y z t E x y z t (1.18b) Suy ra

Trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ

1.4.3.Tính chất của phương trình Schrodinger

Xuất phát từ dạng chung của phương trình Schrodinger, chúng ta có thể thấy phương trình này có một số tính chất chung như sau:

1.3.3.1.Nghiệm của phương trình Schodinger thỏa mãn tất cả các tính chất của hàm sóng

1.3.3.2.Năng lượng trung bình bao giờ cũng lớn hơn thế năng cực tiểu trung bình

1.3.3.3.Với U≠0 trạng thái ứng với E<0 là trạng thái ràng buộc

Chúng ta chứng minh bằng phản chứng: hạt tự do có U=0 do đó E=<T>>0, do đó hạt với E<0 không thể có U=0, tức hạt không thể là hạt tự do

và phải ở trạng thái ràng buộc (U≠0)

1.5.Vai trò củ cơ học cổ điển

1.5.1.Cơ học cổ điển là giới hạn của cơ học lượng tử

Từ hệ thức bất định Heisenberg chúng ta thấy khi cho h bằng 0,

và động lượng có thể đồng thời xác định chính xác, chúng ta nhận được các kết quả phù hợp với cơ học cổ điển Vậy cơ học cổ điển có thể coi là giới hạn của cơ học lượng tử khi cho h tiến tới 0

1.5.2.Cơ học cổ điển là cơ sở của cơ học lượng tử

Như tr n đã biết, để làm biểu hiện ra tính chất của hạt vi mô cần cho nó tương tác với một đối tượng nào đó Căn cứ vào sự thay đổi trạng thái của đối tượng tương tác ta suy ra t nh chất của hạt vi mô Để nghiên cứu định lượng các tính chất của hạt vi mô phải dùng đối tượng tương tác với hạt vi mô là máy đo Máy đo thực chất là các giác quan của con người, có thể được mở rộng bởi các thiết bị hỗ trợ Kết quả do thiết bị hiển thị ra mà giác quan của con người có thể nhận biết được đều là giá trị trung bình vĩ mô, vì thế bộ phận hiển thị kết quả của thiết bị đo và cơ quan cảm nhận của giác quan con người phải là hệ cổ điển, hoạt động tr n cơ sở của cơ học cổ điển Điều đó có nghĩa

là nếu không có cơ học cổ điển thì chúng ta không thể nào nghiên cứu được hạt

vi mô Vì vậy cơ học cổ điển là một trong những cơ sở của cơ học lượng tử

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1 chúng em đã trình bày về cơ sở của cơ học lượng tử là:lưỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg, nguyên lý chồng chất các trạng thái, hàm sóng của hạt vi mô, phương trình Schrodinger, vai trò của cơ học cổ điển.Chương này là cơ sở để chúng em nghiên cứu các vấn đề tiếp theo của khóa luận

Cho không gian X, dimX=p và không gian Y, dimY=q

Một phép toán nào đó, biến phần tử x∈X thành phần tử y∈Y được gọi là một ánh xạ Kí hiệu phép toán này là ̂, phép toán biến x→y được viết như sau:

Ánh xạ ̂ được gọi là tuyến tính nếu:

Từ đây về sau chúng ta sẽ sử dụng các ánh xạ tuyến tính

Phép toán ̂ biến các phần tử của hệ (1) thành các phần tử tương ứng của Y, các phần tử này lại được khai triển theo hệ (2)

Các tọa độ của x và y liên hệ với nhau bởi

Hai ánh xạ gọi là bằng nhau (viết ̂ ̂) nếu ̂ ̂ với ∀x∈ X

Chúng ta định nghĩa tổng và tích của hai ánh xạ và tích của một ánh xạ với một số bởi các hệ thức:

( ̂ ̂) ̂ ̂ ( ̂ ̂) ̂( ̂ ) ( ̂) ( ̂ )( ∈ ) nói chung ̂ ̂ ̂ ̂ , trường hợp ngược lại ̂ ̂ ̂ ̂ ta nói ̂ và ̂ giao hoán với nhau

∀ ∈ ∈

ánh xạ ngược của ̂ Những ánh xạ có ánh xạ ngược được gọi là ánh xạ không

thì toán tử ̂ được gọi là toán tử tự liên hợp hay là toán tử Hermite

̂ được gọi là toán tử Unite

của A

Các ma trận của các toán tử tuân theo một số phép toán mà các phép toán trên các ma trận sẽ phải phụ thuộc vào các phép toán trang bị cho các toán tử tương ứng

Giả sử A và B là hai ma trận của hai toán tử tương ứng ̂và ̂ trong cơ

sở (1) và (2) cho trước ở trên Các biểu thức sau viết cho

Từ đây suy ra các phép toán tr n các ma trận:

(1‟) Hai toán tử bằng nhau thì ma trận tương ứng bằng nhau và nếu thì

Bây giờ ta giả thiết ngoài X và Y ở trên còn không gian thứ ba là Z

Giả sử ̂ biến phần tử ∈ thành phần tử ∈ , trong cơ sở (1) và (2) cho trước nó có ma trận B Đến lượt ̂ lại biến phần tử ∈ thành phần tử ∈ , và trong cơ sở (2) và (3) cho trước nó có ma trận A

Phần tử có thể khai triển theo (3) Thành ra toán tử ( ̂ ̂) biến phần tử ∈ thành phần tử ∈ Trong cơ sở (1) và (3) xác định, toán tử này có ma trận ( ) và gọi là ma trận tích