Hướng dẫn giải toán 11 Đại số

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số

Vấn đề 1 Tập xác định và tập giá trị của hàm

sốBài 1

1 Điều kiện: cos3x 1 0 cos3x 1 x k2 , k

sinx sin 0

62

= = ⇒(1) không xảy ra với mọi x∈¡

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0= π2

2 Ta có f(x+π) tan2 x=  +π =tan(2x+ π =) tan2x f(x)=

1 Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2= π

2 Hàm số tuần hoàn với chu kì T= π

3 Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2= π

Bài 3

1 Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2= π

2 Hàm số tuần hoàn với chu kì T= π

3 Hàm số tuần hoàn với chu kì T 2= π

4 Hàm số không tuần hoàn

Vấn đề 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

của hàm số Bài 1 Đồ thị hàm số: y sin2x=

Bài 2 Đồ thị hàm số: y 2 cosx=

Vấn đề 4 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số Bài 1

Suy ra miny= −6; maxy 4=

4 Ta có: y 1 cos2x 3sin2x 2(1 cos2x)= − + − +

3sin2x 3cos2x 1 3 2sin 2x 1

4

Suy ra miny= −3 2 1; maxy 3 2 1− = −

5 Ta có: y 1 cos2x 3sin2x 3(1 cos2x)

• giá trị nhỏ nhất của hàm số y asinx bcosx= + bằng − a2+b2

• giá trị lớn nhất của hàm số y asinx bcosx= + bằng a2+b2

miny= −3 đạt được khi tanx 2=

Không tông tại max

4

π

= − + π.Không tồn tại maxy

Bài 5 Hàm số xác định với mọi x⇔5sin4x 6cos4x 1 2m x− ≥ − ∀

1 Ta có: 1 sin3x 1− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤1 y 5 Suy ra: miny= −1; maxy 5=

2 Ta có: 0 sin 2x 1≤ 2 ≤ ⇒ − ≤ ≤3 y 1 Suy ra: miny= −3; maxy 1=

3 Ta có: 1 3 2sinx 5≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ +2 y 1 5 Suy ra: miny 2; maxy 1= = + 5

4 Ta có: 2 2 sin 4x 3≤ + 2 ≤ ⇒ +3 2 2 y 3 2 3≤ ≤ +

Suy ra: miny 3 2 2; maxy 3 2 3= + = +

5 Ta có: 5 4sin3x 3cos3x 5− ≤ − ≤ ⇒ − ≤ ≤4 y 6 Suy ra:

Suy ra: miny 2; maxy 2

Yêu cầu bài toán 2 3k2 1 2

3

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Vấn đề 1 Giải các phương trình lượng giác cơ

bảnBài 1 :

1 Phương trình sin 2x sin

1 k2x

5 Phương trình cos7x sin 2x cos 3 2x

k2

kx5

= + π là nghiệm của phương trình

2 Điều kiện: sin2x 0 x k

x3

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm

7 Điều kiện: sin2x 0 x k

Phương trình vô nghiệm.

5 Phương trình ⇔ 3sin2x cos2x sin7x+ = − 3cos7x

9 Điều kiện: 2cos x sinx 1 02 + − ≠

Phương trình ⇔cosx sin2x− = 3cos2x+ 3sinx

2sin 2x sin(x )

tanx 1 x k

41

5 Phương trình ⇔sinx cosx sinxcosx 1 0+ + − =

Đặt t sinx cosx 2cos(x ), t 2; 2

8 Phương trình ⇔(cosx sinx)(1 sinxcosx) 1 0− + + =

Đặt t cosx sinx 2cos x ,t 2; 2

2

−

2 2

2 0 2cos x 3cosx 5 0cosx

cos x

6 Phương trình ⇔4cos x 13cosx 9 02 − + = ⇔cosx 1= ⇔ =x k2π

7 Phương trình ⇔ +5 5cosx 2 sin x cos x= + 2 − 2

3 Điều kiện: 2cos x sinx 1 02 + − ≠ ⇔cos2x sinx 0+ ≠

Phương trình ⇔cosx sin2x− = 3cos2x+ 3sinx

4 Điều kiên: cosx 0≠

Phương trình ⇔sinx cosx+ = 2sin2x

1 Phương trình ⇔5sin x 6sinxcosx cos x 02 + + 2 =

Giải ra ta được x k ;x arctan 1 k

3 Vì cosx 0= không là nghiệm cảu phương trình nên phương trình

đã cho ⇔2 2 tanx 1( + =) 3(1 tan x) 2+ 2 +

2

3tan x 2 2tanx 5 2 2 0

4 Điều kiện: sin2x 0≠

Phương trình 2 2(sin2x cos2x) 12 1 cot2x

Nên phương trình ⇔4tan x 3 3tanx(1 tan x) tan x 03 + − + 2 − 2 =

cos x sin x 2 cos x sin x 2cos x cos x 2sin x sin x

cos x 2cos x 1 sin x 2sin x 1 cos2x cos x sin x

giả

2

x ksinx 0

6sinx

Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về

của phương trình cho cos x hoặc sử dụng công thức2

+ + và chuyển phương trình ban đầu về

phương trình chỉ chứa hàm tan như trên

2 Điều kiện: sin2x 0 x k

2

π

≠ ⇔ ≠

Phương trình cosx sinx 4sin2x 1

cotx tanx 2cot2x− =

3 Ta có sin x cos x 16 6 3sin 2x2

Phương trình ⇔ −(1 sinx)(1 sinx)(cosx 1) 2(sinx cosx)(1 sinx)+ − = + +

(1 sinx)(sinx cosx sinxcosx 1) 0

32

6 ⇔4sinxcosx 1 2sin x 7sinx 2cosx 4 0− + 2 − − + =

2cosx(2sinx 1) (2sinx 1)(sinx 3) 0

sinx cosx 0 tanx 1

4 Điều kiện: sinx 0,cosx 0,cosx 0

5 Với điều kiện: cosx 0≠

Thì phương trình đã cho 1 1 cos x sin x 122 (1 cosx)

⇔ −(1 sinx 1 cos x) ( − 2 ) = +(1 cosx 1 sin x) ( − 2 )

⇔ −(1 sinx 1 cosx sinx cosx) ( − ) ( + )=0

6 Điều kiện: sinx 0,cosx 0≠ ≠

Khi đó phương trình cosx sinx sinx cosx

7 Phương trình ⇔sin4x( sinx + 3cosx) (− 3cosx sinx+ )=0

( 3cosx sinx sin4x 1) ( ) 0

k3

Phương trình ⇔(2− 3 cosx sinx 1 2cosx 1) − − = −

3cosx sinx 0 sin x 0 x k , k( )

( )3cos2x sin2x 2cosx cos 2x cos x

11 Điều kiện: cosx 0≠

Phương trình 3sinx 2cosx 2cosx 3sinx

tanx

k33

Điều kiện: cos2x≠ ± 1,sinx 0,cosx 0≠ ≠

Đặt t tanx cotx 2 t2 2 tan x cot x; t 22 2

=+

2

2sinx 1

sinxcos2x cos2xcosx 2cos2x 0

cos2x sinx cosx 2 0

3sinx sin3x 2 3cos3x sin3x 3sinx 4cos4x

2 sin3x 3cos3x 4cos4x sin 3x cos4x

20 3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0− − =

Phương trình ⇔ 3cos5x−(sin5x sinx+ )−sinx 0=

1 2cosx tanx 1 2sin2x+ = +

Điều kiện: cosx 0≠

Chi đó phương trình 2cosx sinx 1 4sinxcosx

sinx cosx 2sinxcosx 01

3 sin3x cosx.cos2x(tan2x tan x)= + 2

Điều kiện: cosx 0,cos2x 0≠ ≠

Khi đó phương trình

2 2

sin2x sin xsin3x cosxcos2x

4cosx sinx sin3x sinx cos3x cosx 2sin4x

42sin 3x 2sin4x

Điều kiện: sin2x 0,cos2x 0≠ ≠

Ta có: tan2xcotx 1 cos2x sin2xcotx cos2x 2cos x cos2x 1− − = − = 2 − =

Suy ra: tan2xcotx 1 1 cos 2x2 cos4x 3

giả

7 cosx 2cos3x 1− = + 3.sinx

Phương trình cosx 3sinx 2cos3x 1 2cos x 1 2cos3x

23x

3 32

Phương trình ⇔(2sinx 1 cos 2x 2 sinx 1 2sinx 1− ) 2 = ( − ) ( − )

Điều kiện: sinx 0≠

Phương trình ⇔2sin x 1 cos2x2 ( + ) =2sinxcosx 2sin 2x 2cos2x(− 2 + )+cos2x

127

Điều kiện: cos3x sin3x 0+ ≠

Ta có: cos4x sin2x cos4x cos 2x 2cos 3x cos x

3cos2x sin2x 0

31

sinx 3 4sin x 2cosx 4cos x 3 2sin x 4sinxcosx 2sinx 0

sinx 4cos x 1 2cosx 4cos x 1 4cosx 2sinx 4sinxcosx 2sin x 0sinx 2cosx 4cos x 2sinx 3 0

sinx 2cosx 0

tanx 2 x arctan 2 k4sin x 2sinx 1 0 VN

15.(2cos2x 1 cosx sinx− ) − = 2 sinx cosx sin3x( + )

Phương trình: ⇔(4cos x 3 cosx2 − ) = 2sin3x sinx cosx( + )

cos3x sinx 2sin3x sinx cosx

cos3x cos x 2sin3xsin x

16 tan x 3 (12 + = + 2sinx)(tanx+ 2cosx)

Điều kiện: cosx 0≠

Phương trình: ⇔sin x 3cos x cosx 12 + 2 = ( + 2sinx sinx) ( + 2cos x2 )

2 cos2x cosx 1 2sinx sinx 2(1 sin x

2 cos2x cosx sinxcos2x 2sinx 2

2 cos2x sinxcosx cos2x 2 2cosx

2 cos2x )( 2 sin2x 2 2cosx

giả

Nên dấu " "= xảy ra cosx 1 ,sin2x 1 x 2k ,k

42

Điều kiện: sin2x 0,cosx 0≠ ≠

Phương trình 1 cosxcos2x sinxsin2x 1 (1 2cos2x)

1 cos3x 1 cosx 2cosxcos2x

= − + ∈¢ là nghiệm của phương trình đã cho.

4 Phương trình ⇔2sin2x+(2 3 3 sinx− ) + −(2 3 3 cosx 6) = − 3

Suy ra sinx+ 2 sin x sinx 2 sin x 3− 2 + − 2 ≤

Do đó phương trình sinx 2 sin x2 sinx 1 x k2

0 sin x 1 sin x sin x

0 cos x 1 cos x cos x

5 Điều kiện: sinx 0≠ ⇔ ≠ πx k

Phương trình ⇔sin x 1 sin2x cos2x2 ( + + ) =2 2sin xcosx2

⇔ + − = giải phương trình này và đối chiếu điều kiện

ta được nghiệm của phương trình là: x k2

Vậy cos2x 0 cosx 1 x k2

42

3 Phương trình⇔ sinx cosx sinx cos x 0+ + − 2 =

( sinx cosx) ( sinx cosx)( sinx cosx) 0

1cos2x sin4x cos x 0

1 Phương trình

x k21

giả

Yêu cầu bài toán

2 2

Bài 6 Điều kiện: cos2x 1≠ ⇔2x k2≠ π ⇔ ≠ πx k

Phương trình 2cos2xsinx 2cos 2x 4

2 sinx

Ta thấy x= π không là nghiệm của phương trình

• Nếu x∈( )0;π thì phương trình 2cos2xsinx 2cos 2x

42sinx

giả

Vấn đề 3 Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiệnBài 1: Cách 1:

• Với sinx 0≥ (*) thì phương trình đã cho tương đương với

2cos2x sinx cos x

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm

A , A , A Trong đó chỉ có hai điểm A ,A nằm phía trên Ox1 2

Hai điểm này ứng với các cung x k2

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B , 1 B ,B2 3Trong đó chỉ có hai điểm B ,B nằm dưới Ox ( sinx 02 3 < )

Hai điểm đó ứng với cung: x k2

Bài 2: Điều kiện: cos4x 0≠

Phương trình ⇔sin4xcos3x sin5xcos4x=

sin7x sinx sin9x sinx sin9x sin7x

  đúng với mọi k

Vậy nghiệm của phương trình là: x k , x k

Phương trình ⇔ −tan2x(1 tan3xtan7x) tan3x tan7x− = +

Nếu tan3xtan7x 1= ⇒tan3x tan7x 0+ = vô lí

Nên ta có phương trình : tan2x tan3x tan7x tan10x

Loại nghiệm: Với bài toán này nếu chúng ta sử dụng phương pháp

loại nghiệm bằng cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp sẽ phải xét nghiều trường hợp Do đó ta lựa chọn phương pháp đại số

Bài 5: Điều kiện:

sin2x 2cosx 0

sinx 1

cosx 0x

2 Điều kiện: cosx 0≠

Phương trình ⇔2cos x 1 tan x 1 cosx 1 tan x2 − − 2 = − − − 2

cosx2





4 Điều kiện: cosx 0≠ ⇔sinx≠ ±1

Phương trình ⇔sin x cos x (2 sin 2x)sin3x4 + 4 = − 2

Ta thấy sinx= ±1 không thỏa (*)

Vậy nghiệm phương trình :

5 Điều kiện: cos5x 0≠

Phương trình sin12x sin8x x k ,x k

1 Điều kiện: sin2x 0≠ ⇔cos2x≠ ±1

Phương trình ⇔8sin x cos2x 4sin 2x 12 + = 2 +

2 Điều kiện: cos2x.cos3x.cos5x 0≠

Phương trình tan5x tan( x) x k

Phương trình ⇔cos x cos5xcos3x 8sinxcosxsin3xcos3x2 − =

1 cos8x 4sin6xsin2x cos4x(cos4x 1) 0

• Nếu m 1= ⇒phương trình (1) vô nghiệm

• Nếu m 1≠ ⇒phương trình đa cho cos 4x2 2m

 thì phương trình (2) vô nghiệm.

3 Với mọi giá trị của m ta có phương trình đã cho tương đương với

• Nếu m 0= ⇒phương trình vô nghiệm

• Nếu m 0≠ thì phương trình đã ch tương đương với

giả

+) Nếu

1m

• Nếu m 0= ⇒phương trình vô nghiệm

• Nếu m 0≠ ⇒phương trình sin 2x2 1 m

0

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm

2 Phương trình ⇔2cos x2 −(2m 1 cosx m 0+ ) + =

(2cosx 1 cosx m) ( ) 0 2cosx 1 0

3 Phương trình mcos2x cos2x2 2

sin2x 1 3sin xcos x

+) m 0≠ ⇒phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t t1 2 4

⇔ = = = = ⇒m 0= thỏa yêu cầu bài toán

• m 0≠ Vì phương trình luôn có 4 nghiệm trên (0;2π) nêu yêu cầu bàitoán ⇔phương trình msinx 1 0− = vô nghiệm hoặc có các nghiệm trên

Điều đó xảy ra khi

m 0

m 01

1

m 1m

(t 1) (t 1) 0

t t (t t ) 1 0(t 1)(t 1) 0

2

0 m 1

1

m 11

5 3

− Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm