TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ 9 TẬP 2

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 1,2,3 trang 7 SGK Toán 9 tập 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn – Chương 3 Đại số 9: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. A. Tóm tắt lý thuyết bài phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c (1) Trong đó a, b và cc là các số đã biết (a ≠ b hoặc b ≠ 0). 2. Tập hợp nghiệm của phương trình: a) Một nghiệm của phương trình (1) là một cặp số (x0, y0) sao cho ax0 + by0 = c. b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d). – Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

Trang 1

A Tóm tắt lý thuyết bài phương trình bậc nhất hai ẩn

1 Khái niệm:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng:

ax + by = c (1)

Trong đó a, b và cc là các số đã biết (a ≠ b hoặc b ≠ 0)

2 Tập hợp nghiệm của phương trình:

a) Một nghiệm của phương trình (1) là một cặp số

(x0, y0) sao cho ax0 + by0 = c

b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c,

kí hiệu là (d)

– Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

hoặc Khi đó đường thẳng (d) cắt cả hai trục tọa độ

– Nếu a = 0, b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

và (d) // Ox

– Nếu a ≠ 0, b = 0 thì công thức nghiệm là: và (d) // Oy

B Hướng dẫn giải bài tập SGK trang 7 Toán 9 tập 2 bài Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 trang 7 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số

Trong các cặp số (-2; 1), (-1; 0), (1,5; 3) và (4; -3), cặp số nào là nghiệm của phương trình:

a) 5x + 4y = 8 ? b) 3x + 5y = -3 ?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

Trang 2

– 5 (-1) + 4 0 = -5 ≠ 8 nên (-1; 0) không là nghiệm của phương trình.

– 5 1,5 + 4 3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8 nên (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình

– 5 4 + 4 (-3) = 20 -12 = 8 nên (4; -3) là nghiệm của phương trình

Vậy có hai cặp số (0; 2) và (4; 3) là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8

Vậy có hai cặp số (-1; 0) và (4; -3) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3

Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

Biều diễn cặp số A(0; -2) và B(1;1) trên hệ trục tọa độ và đường thẳng AB chính

là tập nghiệm của phương trình 3x – y = 2

Tương tự các em làm các câu sau như câu a)

b) x + 5y = 3

Trang 3

Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình:

c) 4x – 3y = -1

diễn tập nghiệm của phương trình:

Trang 4

f) 0x + 2y = 5.

Nghiệm tổng quát: Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình:

Cho hai phương trình x + 2y = 4 và x – y = 1 Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào

Vẽ đường thẳng x + 2y = 4

– Cho x = 0 => y = 2 được A(0; 2)

Trang 5

– Cho y = 0 => x = 1 được D(1; 0).

Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng (d2) đi qua C, D

Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là M (2; 1)

Ta có (2; 1) cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 4,5,6 trang 11 ; bài 7,8,9,10,11 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 : Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

A Tóm tắt lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1 Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (I) trong đó ax +

by = c và a’x + b’y = c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phươngtrình (I) Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I)

là vô nghiệm

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

2 Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất

Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm

Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm

3 Hệ phương trình tương đương:

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

B Hướng dẫn giải bài tập SGK trang 11, 12 Toán 9 bài: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

Trang 6

a)

Ta có a = -2, a’ = 3 nên a ≠ a’ => Hai đường thẳng cắt nhau

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã chotrong hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất)

b) Có a =-1/2, a’ =-1/2, b = 3, b’ = 1 nên a = a’, b ≠ b’

⇒ Hai đường thẳng song song

Vậy hệ phương trình vô nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường khác nhau và cso cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau)

c)

Có a =-3/2, a’ =2/3 nên a ≠ a’ => Hai đường thẳng cắt nhau

Vậy hệ phương trình có một nghiêm

d)

Có a = 3, a’ = 3, b = -3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’

⇒ Hai đường thẳng trùng nhau

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ trùng nhau)

Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

Trang 7

Cho x = 0 => y = -1, ta được A(0; -1).

Cho y = 1 => x = 1, được B(1;1)

Vẽ (d2): x – 2y = -1

Cho x = -1 => y = 0 , được C (-1;0)

Cho y = 2 => x = 3, được D = (3; 2)

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ (x = 1, y = 1)

Thay x = 1, y = 1 vào các phương trình của hệ ta được:

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ (x = 1; y = 2)

Thay x = 1, y = 2 vào các phương trình của hệ ta được:

2 1 + 2 = 4 và -1 + 2 = 1 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 2)

Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn

Trang 8

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chũng cùng có tập nghiệm bằng Φ

Bạn Phương nhân xét sai Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y = x, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diện bởi đường thẳng y = -x Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm)

Giải bài 7,8,9,10,11 trang 12 Luyện tập Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một

hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng

a) 2x + y = 4 ⇔ y = -2x + 4 ⇔ x = -1/2y + 2 Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau:

Hai đường thẳng cắt nhau tại M(3; -2)

Thay x = 3, y = -2 vào từng phương trình ta được:

Trang 9

Cho các hệ phương trình sau:

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ

lí do) Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình

a) Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng x = 2 song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng y = 2x – 3

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(2; 1)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1)

b)

Trang 10

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng y =-x/3 +2/3 cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng y = 2 song song vơi trục hoành.

Vẽ (d1): x + 3y = 2

– Cho x = 2 => y = 0 được A(2;0)

– Cho y = 1 => x = -1 được B(-1; 1)

Vẽ (d2): y = 2

Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(-4; 2)

Thay x = -4, y = 2 vào phương trình x + 3y = 2 ta được -4 + 3 2 = 2 (thỏa mãn).Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2)

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Ta có: a = 3/2, a’ =3/2, b = -1/2, b’ = 0 nên a = a’, b ≠b’

=> Hai đường thẳng song song với nhau

Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Trang 11

Ta có:

a = a’ = 1, b = b’ = -1/2=> Hai đường thẳng trùng nhau

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ là trùng nhau

b)

Ta có a = a’ =1/3, b = b’ = -2/3 nên hai đường thẳng trùng nhau

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì

về số nghiệm của hệ phương trình đó ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải bài 11:

Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì

ta có thể kết luận hệ phương trình có vô số nghiệm, vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có hai điểm chungphân biệt, suy ra chúng trùng nhau

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 12,13,14, 15 trang 15 ; Bài 16,17, 18,19 trang

16 SGK Toán 9 tập 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế –

Chương 3 Đại 9.

A Tóm tắt lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1 Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc thế gồm hai bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta

biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một

phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ

Trang 12

Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

3 Chú ý: Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì

hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

B Đáp án và hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 9 tập 2 bài: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế trang 15,16.

Bài 12 trang 15 SGK Toán 9 tập 2 – Phần Đại số

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) Từ x – y = 3 ⇒ x = 3 + y

Thay x = 3 + y vào phương trình 3x – 4y = 2

Ta được 3(3 + y) – 4y = 2 ⇔ 9 + 3y – 4y = 2

⇔ -y = -7 ⇔ y = 7

Thay y = 7 vào x = 3 + y ta được x = 3 + 7 = 10

Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (25/19; – 21/19)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Trang 13

Thế (3) vào y trong phương trình (2):

Thế (3) vào x trong phương trình (2):

⇔ 10y + 30 – 24y = 9 (Quy đồng mẫu số 2 vế)

⇔ -14y = -21 ⇔ y =3/2

Thế y = 3/2 vào (3) ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;3/2)

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = -y√5

Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:

-y√5.√5+ 3y = 1 – √5

⇔ -2y = 1 – √5

Trang 14

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y) = b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 – 2√3- 4x.

Thế vào y trong phương trình thứ hai được

(2 -√3 )x – 3(4 – 2√3- 4x) = 2 + 5√3⇔ (14 – √3 )x = 14 – √3

⇔ x = 1

Từ đó y = 4 – 2√3- 4 1 = -2√3

Vậy hệ phương trình có nghiệm:(x; y) = (1; -2√3)

Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1

a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình

Hệ phương trình vô nghiệm

b) Khi a = 0, ta có hệ Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 – 3y.Thế vào x trong phương trình thứ hai, được:

1 – 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = -1/3

Từ đó x = 1 – 3(-1/3) = 2

Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -1/3)

c) Khi a = 1, ta có hệ

Hệ phương trình có vô số nghiệm

Trang 15

Thế (3) vào y trong phương trình (1): 3x + 5(2x + 8) = 1

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6)

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

Trang 16

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là (√2 – 1; √2).

Đáp án và hướng dãn giải bài 18:

a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) có nghĩa là xảy ra

b) Hệ phương trình có nghiệm là (√2 – 1; √2),

Trang 17

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0

Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1

và x – 3:

P(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n

Đáp án và hướng dãn giải bài 19:

P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m – 2) + (3n – 5) – 4n = 0 hay -7 -n =

0 (1)

P(x) chia hết cho x – 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m – 2) – 3(3n – 5) – 4n = 0 hay 36m

-13m = 3 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 19 ; Bài 27 trang

20 SGK Toán 9 tập 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

A Tóm tắt lý thuyết bài giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Trang 18

Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình mộtẩn)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

B Đáp án và hướng dẫn giải bài tập bài giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số SGK Toán 9 tập 2 trang 19,20

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

a)

b)

c)

Trang 19

e)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

Nhân cả hai vế của (1) với -√2, ta có hệ tương đương

Trang 20

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

Hệ phương trình có vô số nghiệm

Giải hệ phương trình sau:

Trang 22

b) Thu gọn vế trái của hai phương trình:

Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0 Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

P(x) = (3m – 5n + 1)x + (4m – n -10)

Ta có P(x) = (3m – 5n + 1)x + (4m – n -10)

Nếu P(x) = 0

Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(2; -2) và B(-1; 3); b) A(-4; -2) và B(2; 1);

c) A(3; -1) và B(-3; 2); d) A(√3; 2) và B(0; 2)

a) Vì A(2; -2) thuộc đồ thì nên 2a + b = -2

Vì B(-1; 3) thuộc đồ thì nên -a + b = 3 Ta có hệ phương trình ẩn là a và b

Từ đó b) Vì A(4; 2) thuộc đồ thị nên 4a + b = 2

-Vì B(2; 1) thuộc đồ thị nên 2a + b = 1

Trang 23

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b:

c) Vì A(3; -1) thuộc đồ thị nên 3a + b = -1

Vì B(-3; 2) thuộc đồ thị nên -3a + b = 2

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

d) Vì A(√3; 2) thuộc đồ thị nên √3a + b = 2

Vì B(0; 2) thuộc đồ thị nên 0 a + b = 2

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b

Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng

hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

a) Điền kiện x ≠ 0, y ≠ 0

Đặt u = 1/x, v = 1/y

ta được hệ phương trình ẩn u, v: (1) ⇔ u = 1 + v (3)Thế (3) vào (2): 3(1 + v) +4v = 5

⇔ 3 + 3v + 4v = 5 ⇔ 7v =2 ⇔ v =2/7

Từ đó u = 1 + v = 1 + 2/7 = 9/7

Trang 24

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

b) Điều kiện x – 2 ≠ 0, y – 1 ≠ 0 hay x ≠ 2, y ≠ 1

ta được hệ đã cho tương đương với:

(1) ⇔ v = 2 – u (3)

Thế (3) vào (2): 2u – 3(2 – u) = 1

⇔ 2u – 6 + 3u = 1 ⇔ 5u = 7 ⇔ u =7/5

Từ đó v = 2 – 7/5 = 3/5

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 28,29,30 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 : Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Chương 3 Đại số 9.

A Tóm tắt lý thuyết giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta làm theo

ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình

– Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

– Lập hai phương trình biểu thị mỗi quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm

nào thích hợp với bài toán và kết luận

B Đáp án và hướng dẫn giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – SGK trang 22 Toán 9 tập 2.

Trang 25

Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294.

Giải bài toán cổ sau:

Quýt, cam mười bảy quả tươiĐem chia cho mọt trăm người cùng vui

Chia ba mỗi quả quýt rồiCòn cam mỗi quả chia mười vừa xinh

Trăm người, trăm miếng ngọt lành

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ?

Gọi số cam là x, số quýt là y Điều kiện x, y là số nguyên dương

Vậy có 7 quả cam và 10 quả quýt

Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h

Trang 26

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB, y (giờ) là thời gian dự định đi để đến B đúng lúc 12 giờ trưa Điều kiện x > 0, y > 1 (do ôtô đến B sớm hơn 1 giờ).

Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 35km là x/35 = y + 2

Thời gian đi từ A và B với vận tốc 50km là x/50= y – 1

Ta có hệ phương trình:

Phương trình (1) – (2) ta được 0 = 35(y+2) – 50 (y -1) ⇔ 0 = 35y +70 – 50y +50 ⇔ 15y =120 ⇔ y = 8 (3)

Thay y =8 vào phương trình (1) ta tính được x = 350

Vậy quãng đường AB là 350km

Thời điểm xuất phát của ô tô tại A là: 12 – 8 = 4 giờ

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 31,32 trang 23 ; Bài 33, 34, 35, 36, 37,

38 trang 24 ; Bài 39 trang 25 SGK Toán 9 tập 2 : Giải bài toán bằng cách lập

hệ phương trình (Tiếp theo).

Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 tập 2 – Chương 3 Đại số

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông Điều kiện

x > 0, y > 0

Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm2 nên ta được:

Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 26

cm2 nên ta được

Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ra ta được nghiệm x = 9; y = 12

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm

Trang 27

bao lâu mới đầy bể ?

Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (x > 0)

y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (y > 0)

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1/x bể, vòi thứ hai chảy được 1/y bể

Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau giờ = 24/5 giờ nên trong 1 giờ cả hai vòicùng chảy được 1/(24/5) = 5/24 bể

Ta được: 1/x + 1/y = 5/24 (1)

Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ 2 thì

sau 6/5 giờ mới đầy bể, nghĩa là 9/x + 6/5 (1/x + 1/y) = 1 (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được x =12; y =8 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ 2 sau 8 giờ vòi chảy đầy bể

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong x giờ, ngườithứ hai trong y giờ Điều kiện x > 0, y > 0

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được 1/x công việc, người thứ hai 1/y công việc,

cả hai người cùng làm chung thì được 1/16

công việc

Ta được 1/x + 1/y = 1/16

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được 3/x công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được 6/y công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay 1/4 công việc

Ta được 3/x + 6/y = 1/4 ⇔ 1/x + 2/y = 1/12

Trang 28

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 24 giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ.

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ 2 sau 8 giờ vòi chảy đầy bể

Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây Nếu giảm đi 4 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ? (Số cây trong các luống như nhau)

Gọi x là số luống rau, y là số cây của mỗi luống Điều kiện x > 0, y > 0 Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta được:

Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng trong vường là: 50.15 = 750 (cây)

(Bài toán cổ Ấn Độ) Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107rupi Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ?

Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên

Gọi y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng

Điều kiện x > 0, y > 0

Giải ra ta được x = 3, y = 10

Trang 29

điểm Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bi mờ không đọc được (đánh dấu *):

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó

Gọi số lần bắn được 8 điểm là x Điều kiện x là số nguyên 0 ≤ x ≤ 100

Gọi số lần bắn được 6 điểm là y Điều kiện y là số nguyên 0 ≤ y ≤ 100

Giải hệ này ta được x =4; y = 14

Hai vật chuyển động đểu trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùngmột lúc, từ cùng một điểm Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật

Hai vật chuyển động cùng chiều (h.1)

Hai vật chuyển động ngược chiều (h.2)

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s) (giả sử x > y > 0)

Nếu chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường mà vật đi nhanh đi được trong 20 giây hơn quãng đường mà vật kia cũng

đi trong 20 giây là đúng 1 vòng (= 20π cm) Ta có phương trình 20(x – y) = 20π

⇔ x – y = π (1)

Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng

Trang 30

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:

Vậy vận tốc của hai vật là 3π cm/s, 2π cm/s

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong

1 giờ 20 phút Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Giả sử khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong x phút, vòi thứ hai trong y phút Điều kiện x > 0, y > 0

Ta có 1 giờ 20 phút = 80 phút

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được 1/x bể, vòi thứ hai chảy được 1/y bể, cả hai

vòi cùng chảy được 1/80 bể nên ta được 1/x + 1/y = 1/80 (1)

Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được 10/x bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được 12/y bể Vì cả hai vòi cùng chảy được 2/15 bể Ta được: 10/x + 12/y =

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả baonhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?

Giả sử không kể thuế VAT, người đó phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ

Trang 31

hay 1,1x + 1,08y = 2,17Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là:

hay 1,09x + 1,09y = 2,18

Ta có hệ phương trình: Giải ra ta được: x = 0,5; y = 1,5Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loạihàng thứ nhất cà 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ 2

Đáp án và hướng dẫn Giải bài ôn tập chương 3 Đại số 9 tập 2: Bài 40, 41,

42, 43, 44, 45, 46 trang 27 SGK Toán 9 tập 2.

Ôn lại lý thuyết và các bài tập trong chương 3: Hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn – Chương 3

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tiếp theo

6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tiếp theo

A/ Kiến thức cơ bản cần ghi nhớ chương 3

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số và a ≠0 hoặc b ≠ 0

2 Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô sô nghiệm Trong mặt phẳng toạ độ, tập nghiệm của nó được biểu diễn bằng đường thẳng ax + by

= c

3 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế:

a) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để ‘được 1 hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn

b) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

4 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

Trang 32

b) Áp dụng qui tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới trong đó, một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).c) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ta nghiệm của hệ đã chọ.

5 Giải bài toán bàng cách lập hệ phương trình

 Bước 1: Lập hệ phương trình:

– Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

– Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

 Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên

 Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B Hướng dẫn giải bài tập ôn tập chương 3 Toán 9 tập 2 – Đại số

Bài 40 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 – ôn tập chương 3

Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được

a) Ta giải hệ

Không có giá trị x, y nào thỏa mãn hệ phương trình đã cho Hệ vô nghiệm

Hai đường thẳng 2x + 5y = 2 và 2/5x + y = 1 song song với nhau

b)

Trang 33

Giải hệ này, ta được nghiệm (x;y) =(2;-1)

Công thức tổng quát

Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2 – Ôn tập chương 3

Giải các hệ phương trình sau:

Hướng dẫn câu b) Đặt ẩn phụ

Trang 34

 Nhân phương trình (1) cho √5 và phương trình (2) cho (1+√3) rồi cộng

vế theo vế ta được: 3x = 1+√3+√5 ⇔x = (1+√3+√5)/3

 Nhân phương trình (1) cho (1-√3) và phương trình (2) cho -√5 rồi cộng

vế theo vế ta được: -3y = 1-√3-√5 ⇔ y = (-1+√3+√5)/3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

b) Điều kiện x≠-1 và y≠-1

hệ này ta có:

Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp:

Trang 35

Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường Tính vận tốc của mỗi người

Gọi x và y là vận tốc của hai người Đơn vị km/h, điều kiện x>y>0

– Họ ra đi cùng 1 lúc tại A,B và gặp nhau tại C nên thời gian của người đi từ A

và người đi từ B bằng nhau Đoạn đường người đi từ A đến C là 2 km, người đi

từ B đến C là 1,6km Ta có phương trình:

2/x = 1,6/y ⇔ 5/y = 4/y (1)

– Lần này hau người gặp nhau ở giữa đường nên:

Thời gian người đi từ A: 1,8/x(phút)

Thời gian người đi từ B: 1,8/y(phút)

Vì x>y nên người đi từ B chậm hơn 6 phút = 1/10 giờ

Ta có phương trình: 1,8/x – 1,8/y =1/10

1/x -1/y = 1/18 (2)

Giải hệ tạo bởi (1) và (2):

Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15 cm3 là hợp kim của đồng và kẽm Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3

Gọi x (gam) và y (gam) lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đã cho.Điều kiện: x >0; y>0

Vì khối lượng của vật là 124 gam, ta có phương trình: x + y =124 (1)

Khi đó, thể tích của x (gam) đồng là 10/89 x (cm3) và thể tích của y (gam) kẽm

Trang 36

Giải hệ phương trình ta được x = 89 (nhận) và y = 35 (nhận) Vậy vật đã cho có

89 gam đồng và 35 gam kẽm

Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi kàn việc khác Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Gọi x,y theo thứ tư là thời gian mà mỗi đội làm một mình thì hoàn thành công việc Với năng suất ban đầu: x,y > 0 và tính theo đơn vị ngày

Trong 1 ngày đội I làm được 1/x công việc

1 ngày đội II làm được 1/y công việc

1 ngày cả 2 đội làm được 1/12 công việc

Ta có phương trình: 1/x + 1/y = 1/12 (công việc)

Trong 8 ngày cả hai đội làm được 8 1/12 = 2/3 (công việc)

Sau khi một đội nghỉ, năng suất của đội II là 2/y

Họ phải làm trong 3,5 ngày thì xong công việc nên ta cos phương trình 1/3 : 2/y

= 7/2

Ta có hệ: Giải hệ này, ta được x = 28 (ngày); y = 21(ngày)

Chú ý: Ta có thể đặt hệ:

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ 2 làm vượt mức 12% so với năm ngoái Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Gọi x(tấn) là số thóc mà năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được

Trang 37

Theo bài ra, cả hai đơn vị thu hoạch nhiều hơn năm ngoái là 819 -720 =

99(tấn) nên ta có phương trình 15%x + 12%y = 99

Vậy x, y là nghiệm của hệ phương trình

Trả lời: – Năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc Đơn vị thứ hai thu hoạch được 300 tấn thóc

– Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 + 420 15% = 483 tấn thóc Đơn

vị thứ hai thu hoạch được 300 + 300.12% = 336 tấn thóc

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 1 trang 30 ; bài 2,3 trang 31 Đại số 9 tập 2: Hàm số y = ax² (a ≠ 0) – Chương 4 Hàm số y = ax² (a ≠ 0) Phương trình bậc hai một ẩn.

A Tóm tắt lý thuyết: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

1 Tập xác định của hàm số y = ax2 ( a ≠ 0) xác định với mọi giá trị của x ∈ R

2 Tính chất:

– Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

– Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Bài 1 trang 30 SGK Toán 9 tập 2 – Chương 4

Diện tích S của hình tròn được tính bởi công thức S = πR2, trong đó R là bán kính của hình tròn

a) Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị của S rồi điền vào các ô trống trong bảng sau (π ≈ 3,14, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Trang 38

c) Tính bán kính của hình tròn, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, nếu biết diện tích của nó bằng 79,5 cm2

a) Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị của S như sau:

Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m Quãng đường chuyển động s (mét)của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) bởi công thức: s = = 4t2

a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét ? Tương tự, sau 2 giây ?

b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất ?

a) Quãng đường chuyển động của vật sau 1 giây là: S = 4 12 = 4m

Vì thời gian không thể âm nên t = 5(giây)

Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là F = av2 (a là hằng số) Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120 N (Niu –tơn)a) Tính hằng số a

b) Hỏi khi v = 10 m/s thì lực F bằng bao nhiêu ? Cùng câu hỏi này khi v = 20 m/

s ?

c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12 000 N, hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 90 km/h hay không ?

Trang 39

b) Với a = 30 N/m2 Ta được F = 30v2nên khi vận tốc v = 10 m/s2 thì F = 30

102 = 3000N

Khi vận tốc v = 20m/s2 thì F = 30 400 = 12000N

c) Gió bão có vận tốc 90 km/h hay 90000m/3600s = 25m/s Mà theo câu b), cánh buồm chỉ chịu sức gió 20 m/s Vậy cơn bão có vận tốc gió 90km/h thuyền không thể đi được

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 4 trang 36 ; bài 5 trang 37; bài 6,7,8 trang

38 ; bài 9,10 trang 39 Đại số 9 tập 2: Đồ thị Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

A Tóm tắt lý thuyết: Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

1 Đồ thị hàm số:

Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.– Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.– Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất cảu đồ thị

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	1,54 MB