Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm

CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

1 Đạo hàm tại một điểm

Hàm số y f(x) liên tục trên (a;b) , được gọi là có đạo hàm tại

x x và giá trịcủa giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x Ta kí 0hiệu f'(x ) 0

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

� Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạohàm tại mọi điểm thuộc (a;b)

� Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a;b] nếu nó có đạohàm tại mọi điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f'(b ) 

và đạo hàm phải f'(a ) 

4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x thì f(x) liên tục tại 0 x 0

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên

tục tại điểm x nhưng hàm đó không có đạo hàm tại 0 x 0

Chẳng hạn: Xét hàm f(x) x liên tục tại  x 0 nhưng không liên tục tại điểm đó

x x

� Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x x 0�f'(x ) f'(x )0  0

� Hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

1 f(x) 2x 1 tại   x01 2  



x 1f(x)

ax b khi x 1 có đạo hàm tại x 1.

x 1 khi x 0f(x)

2x ax b khi x 0có đạo hàm trên �

1.2 Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y f(u(x)) f(u) với  u u(x) Khi đóy'xy' u' u x

2 Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

(x 1)

(cx d) .

Ví dụ 2 Giải bất phương trình f'(x) 0 biết:�

[sin(tanx) cos(cotx)]'y'

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

4 y x 2x 1 5x 3  2      5 ��  ��

3 2

x x ,ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số Cụ thể

1f(x) 1 x f'(x)

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau

� Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f' Nếu f' cũng có

đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f'' , tức là: f'' (f')' 

� Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với

Ví dụ 1 Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau:  



3x 1y

(x 2) , 

7.2y''

(x 2)Bằng quy nạp ta chứng minh:   



n (n)

n 1

( 1) 7.n!

y(x 2) (2)

� Với n 1 ta thấy (2) đúng

� Giả sử (2) đúng với n k , tức là:   



k (k)

k 1

( 1) 7.k!

y(x 2)

Ví dụ 2 Cho đa thức f(x) x 35x21 Viết f(x) dưới dạng lũy thừa của x 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số y sin2x

Bài 5 Chứng minh các đẳng thức sau

1 y y'' xy' y 0 với 2    y 1 x 2

2 xy'' 2y' 4xy 2sin2x 0 với     y xsin2x

Bài 6 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

2.Cho hàm số f :��� thỏa : f(x) f(y) �x y Với  2 x,y�� và



f(1) 2011 Tính f(2011) ?.

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA

ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f(x) tạiđiểm x là hệ số góc 0

của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x ;f(x ) 0 0 0 

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x ;f(x ) là:0 0 0

Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp

- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M x ;y , 0 0

hoặc hoành độ x , hoặc tung độ 0 y 0

- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm

- Hoành độ tiếp điểm: x0

- Tung độ tiếp điểm: y (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách0thay x vào hàm số 0 y0f x 0 )

- Hệ số góc k f' x  0

Vấn đề 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị hàm số khi biết tiếp điểm.

f x � Nghiệm bội lớn hơn hoặc 0

bằng 2 chứ không phải nghiệm kép.

Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm

Ví dụ 1 Đường cong y x không tiếp xúc với trục hoành tại 0, tức

là phương trình x 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặcbằng 2 Khi đó đồ thị  C :y x 3của hàm số tiếp xúc với trục hoànhtại x 0 nhưng phương trình x3 nhận 0 làm nghiệm bội 3 0

Ví dụ 2 Đồ thị  C :y sinx của hàm số tiếp xúc với đường thẳng

 d : y x tại x 0 nhưng phương trình sinx x 0  thì không thể có nghiệm kép

Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm Đây cũng là sailầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến

Bài toán 2 :

* Đường cong  C : y f x   có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x khi 0

và chỉ khi hàm số y f x   khả vi tại x Trong trường hợp 0  C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x thì tiếp tuyến đó có hệ số góc 0 f' x  0

* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C : y f x   tại điểm

 

M x ;f x có dạng : y f' x   0 x x 0  f x0

Bài toán 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x   

tại điểm M(x ;f(x )) 0 0

Giải Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f(x) tại M(x ;y ) là:0 0

y f'(x )(x x ) y

biết hoành độ tiếp điểm x x 0

Giải:

Tính y0f(x ),y'(x )0 0 � phương trình tiếp tuyến: y f'(x )(x x ) y0  0  0

biết tung độ tiếp điểm bằng y 0

Giải Gọi M(x ;y ) là tiếp điểm0 0

Giải phương trình f(x) y ta tìm được các nghiệm  0 x 0

Tính y'(x ) và thay vào phương trình (1).0

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Cho hàm số y x 33x2 có đồ thị là (C) Viết phương 1trình tiếp tuyến của (C) :

1 Tại điểm M 1;3  ;

2 Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;

3 Tại điểm có tung độ bằng 1 ; 4 Tại giao

điểm (C) với trục tung ;

5 Có hệ số góc là 9 ;

6 Song song với đường thẳng (d ): 27x 3y 5 0   ;

7 Vuông góc với đường thẳng (d’ ) : x 9y 2013 0  

Tương tự câu 1, phương trình  t là: y 24x 27 

Tương tự câu 1, phương trình  t là: y 1 , y 9x 28 

tung độ tiếp điểm bằng y Gọi 0 M x ;y là tiếp điểm 0 0

Giải phương trình f x y0 ta tìm được các nghiệm x 0

Tính y' x � phương trình tiếp tuyến:  0 y f' x   0 x x 0y0

4 Trục tung Oy : x 0 �y 1 .Tương tự câu 1, phương trình  t là:

� hoặc x0 Tương tự câu 11

6 Gọi x ;y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp 0 0

A 2; 1

Cách 1: Gọi M x ;y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến  0 0  t và đồthị  C của hàm số Khi đó, ta có phương trình:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 6 x 1 4      6x 10

Cách 2 Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song

song với đường thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm I(0; - 1) của đoạn AB

Phương trình (*) vô nghiệm do đó trường hợp này không xảy ra

* Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB

Phương trình (d) có dạng y = kx – 1

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0

0 0 0

2 0

2 Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng :

Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C :

1 y x 33x2 , biết d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A , B thỏa 2mãn: OB 9OA

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C : y x 36x29x 2 tại điểm M , biết M cùng 2 điểm cực trị của  C tạo thành tam giác có diện tích bằng 6

Lời giải.

1 Gọi M x ;y x 0  0 là toạ độ tiếp điểm

Theo bài toán, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A ,B

Gọi  là góc tạo bởi giữa d và Ox, do đó d có hệ số góc k�tan

Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại O , suy ra tan OB 9

Với x0  suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 71  

Với x0 suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 253  

Vậy, có 2 tiếp tuyến y 9x 7  , y 9x 25  thỏa đề bài

2 Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 1;2 ,   B 3; 2  và đường thẳng 

đi qua 2 cực trị là AB: 2x y 4 0  

Gọi M x ;y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị  0 0  C của hàm số và tiếp tuyến  d cần tìm Khi đó 3 2

Tiếp tuyến tại M là: y 9x 34 

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x 2  và y 9x 34 

1 Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ

bằng 5 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

2 Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng của

(C) tại A , cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối xứng của (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết:

M

M M

TH2:

M

M M

2 i) Ta có �ABI bằng góc hình học hợp bởi tiếp tuyến (d) với trục

hoành suy ra hệ số góc của (d) là k tanABI� IA 4

IB

Phương trình tiếp tuyến  d : y 4x 5  hoặc y 4x 21. 

ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng :

Tiệm cận ngang của (C) :  D : y 1.2 

A là giao điểm của (d) và  D 1 20 0

1 Biết rằng trên đồ thị y x 3m 1 x  24m 2 x 1   ,  Cm tồn tại

đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

x 10y 2013 0   Viết phương trình tiếp tuyến của  Cm tại điểm đó

2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C : y 2x 3

x 1





 tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng  d :

3x 4y 2 0   bằng 2

Lời giải.

1 Gọi tiếp điểm là M a;b , tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 

k y' a 3a 2 m 1 a 4m 2   , theo giả thiết suy ra k 10

Trên đồ thị chỉ có 1 điểm nên phương trình 3a22 m 1 a 4m 8 0     

có nghiệm kép hay ' 0  tức m 5 , thay vào ta được a 2 �M 2;29 .Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y 10x 9 

2 Gọi M x ;y là điểm thuộc đồ thị  0 0  C , khi đó:

Phương trình tiếp tuyến  d tại 2 M2 1 11;

Phương trình tiếp tuyến  d tại 4 M4 4; 1

Ta có y' 3x 26x

Hệ số góc của các tiếp tuyến của  C tại A và B lần lượt là

hoặc ngược lại

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số y x33x26x 1 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết

1 Hoành độ tiếp điểm bằng 1

2 Tung độ tiếp điểm bằng 9

3 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  1x 1

18

4 Tiếp tuyến đi qua điểm N(0;1)

Bài 2 Cho hàm số y x33x 1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của 

đồ thị (C), biết:

1 Hoành độ tiếp điểm bằng 0

2 Tung độ tiếp điểm bằng 3

3 Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

4 Tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 2x44x21biết:

1 Tung độ tiếp điểm bằng 1

2 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 48x 1.

Bài 4 Cho hàm số y x4x21 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C), biết:

1 Tung độ tiếp điểm bằng 1

2 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 6x 1

3 Tiếp tuyến đi qua điểm M 1;3  

Bài 5 Cho hàm số  



2x 2y

x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

1 Tung độ tiếp điểm bằng 2

2 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x 1

3 Tiếp tuyến đi qua điểm A(4;3)

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai

trục tọa độ một tam giác vuông cân

Bài 6 Cho hàm số  



2x 1y

x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)biết:

1 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y1x 2

3

2 Tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có

diện tích bằng 1

6

3 Tiếp tuyến đi qua A 7;5  

Bài 7 Cho hàm số y x48x2m 1  (C ) Chứng minh rằng tiếp m

tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x01 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt Tìm tọa độ các giao điểm

Bài 8 Cho hàm số   



2x m 1y

x 1 (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm)

1 Tại điểm có hoành độ x00 đi qua A(4;3)

2 Tại điểm có hoành độ x02 tạo với hai trục tọa độ một tam giác

có diện tích bằng 25

2 .

Bài 9 Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y f(x),y g(x),y  f(x)

g(x) tại điểmcủa hoành độ x 0 bằng nhau Chứng minh rằng  f(0)�1

5 Tìm m�� để từ điểm M 1;2 kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị 

7 Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến    d , t của đồ thị  C :

10 Cho hàm số y x 33x 1 có đồ thị là  C Giả sử  d là tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x 2 , đồng thời  d cắt đồ thị  C tại

N, tìm tọa độ N

Bài 11:

1 Cho hàm số y x 32x28x 5 có đồ thị là  C Chứng minh không

có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

3 Cho hàm số y x 42x2 Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm 3

số có khoảng cách đến điểm M 0; 3  bằng  5

65.

4 Tìm m để đồ thị y x 33mx 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng

d : x y 7 0   góc  sao cho cos 1

a Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y   4x 1

c Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.

d Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2

7 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y 2x ,

x 1



 biết:

a Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d :x 2y 0 

c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng   :9x 2y 1 0  

d Tạo với đường thẳng  d' :4x 3y 2012 0   góc 450

e Tạo với chiều dương của trục hoành một góc  sao cho

2

cos  

f Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm 2

 , có đồ thị là  C Tìm a,bbiết tiếp tuyến của

đồ thị  C tại giao điểm của  C và trục Ox có phương trình là

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với

(C) tại hai điểm phân biệt

Bài 15: Gọi (C) là đồ thị của hàm số x3 2

3.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành , trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O

là gốc tọa độ )

Bài 16: Cho hàm số y x 32x2(m 1)x 2m  có đồ thị là (C ) m

1 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ x 1m  song song với đường thẳng y 3x 10 

2 Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C ) vuôngmgóc với đường thẳng : y 2x 1  

3 Tìm m để từ điểm M(1;2) vẽ đến (C ) đúng hai tiếp tuyến.m

Bài 17: Tìm m để đồ thị :

3

dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x 2y 3 0  

 sao cho khoảng cách

từ M đến đường thẳng : x 3y 3 0   đạt giá trị nhỏ nhất Trongtrường hợp này, chứng minh  song song với tiếp tuyến của  C tại

� Phương trình tiếp tuyến: y f'(x )(x x ) f(x ) (i 1,2, ,n) i  i  i 

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

� Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình :

f'(x) k

� Cho hai đường thẳng d : y k x b và1  1  1 d : y k x b Khi đó2  2  2

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này cắt các

trục Ox, Oy lần lượt tại A, B mà OA 4OB

2 2

 

Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình 12 1 x 3

4(x 1)

0 0

Với giả thiết OA 4OB a 4 b a 4b b 1

    tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi và chỉ 0

khi hệ sau có nghiệm x : 0 0 2

0

0 0

(*)a(x 1)

0 0

3



1.Chứng minh rằng nếu (C) cắt Ox tại điểm M có hoành độ x thì hệ 0

số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là : 0

2.Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến của (C) tại hai

điêm đó vuông góc với nhau

3

 thì đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu

do đó đồ thị hàm số không suy biến thành đường thẳng

Hệ số góc của tiếp tuyến (d) của (C) tại M là

So với điều kiện (*) nhận m = 5.

Ví dụ 3 : Cho hàm số y x

x 1



 có đồ thị là (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I 1;1  

0 0

x1

x1

�

(d) có vec tơ chỉ phương 2

mink 12,đạt được khi: x0 1�y016

Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại

x 3 Tìm giao điểm khác A của (d) và (C)

2 Xác định tham số a để tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ

số góc là a

3 Chứng minh rằng chỉ có duy nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua

điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình y'' 0 của (C)

Suy ra giao điểm của (d) và (C) khác A là B 3;103  

2 Tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là a

x , y'(x ) a